2025届辽宁省沈阳市高三三模数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省沈阳市2025届高三三模数学试卷一、选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，，则.

故选：C2.已知为虚数单位，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，故.故选：B.3.双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，得，，故渐近线方程为．故选：B.4.已知向量，满足，，则等于（）A.12 B.10 C. D.【答案】C【解析】由有，所以，所以，故选：C.5.等比数列中，，则“”是“”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设等比数列的公比为，由可得，因为，则，解得，由可得，因为，则，解得或，因为是或的真子集，因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.6.近日，数字化构建社区服务新模式成为一种趋势．某社区为了优化数字化社区服务，通过问卷调查的方式调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分）进行统计，根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，图中，则满意度计分的第一四分位数约为（）A87.5 B.85 C.70 D.62.5【答案】C【解析】由题意可得，解得，且第一个小矩形面积为，第二个小矩形面积为，则第一四分位数即第百分位数为.故选：C7.如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖．可放小球的最大半径为．若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设储物盒所在球的半径为，如图，小球最大半径满足，所以，正方体的最大棱长满足，解得，所以.故选：D.8.已知函数在区间上有且仅有一个零点，当最大时，的图象的一条对称轴方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当时，且，，由可得，所以，，解得，，若无解，则或，解得或，由于且存在，故或，即或，则有或，故的最大值为，此时，由可得，当时，函数的一条对称轴方程为，故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代数学名著《九章算术·商功》．如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）．如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑．则（）A.阳马的四个侧面中仅有两个是直角三角形B.鳖臑的四个面均为直角三角形C.阳马的体积是鳖臑的体积的两倍D.堑堵、阳马与鳖臑的外接球的半径都相等【答案】BCD【解析】对于A，如图，由题意可知平面，平面，所以，因为平面，平面，所以，因为平面，平面，所以，所以阳马的四个侧面都是直角三角形，所以A错误，对于B，如图由题意可知平面，平面，所以，因为平面，平面，所以，所以鳖臑的四个面均为直角三角形，所以B正确，对于C，设长方体的长，宽，高分别为，则，所以阳马的体积，鳖臑的体积，所以阳马的体积是鳖臑的体积的两倍，所以C正确，对于D，由题意可知堑堵、阳马与鳖臑都是由同一个长方体分割而成，且堑堵、阳马与鳖臑的顶点都是原长方体的顶点，所以堑堵、阳马与鳖臑均可以补成原长方体，所以它们的外接球的半径都等于原长方体外接球的半径，所以D正确.故选：BCD10.已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，点M为内一动点，且，则（）A. B.C.a的最大值为2 D.的最小值为【答案】ABD【解析】对于A，由可得，则，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，由余弦定理可得，即，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，故C错误；对于D，因为，且，则，即，所以，当且仅当时，即时，等号成立，故D正确；故选：ABD.11.已知点，分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的右焦点，且，点P是椭圆上异于，的一动点，直线，分别与直线交于点，，则下列说法正确的有（）A. B.C.的最小值为 D.的最小值为【答案】AB【解析】设点，设直线的倾斜角为，斜率为，直线的倾斜角为，斜率为，对于A，由题意可得，且，所以，则椭圆方程为，又由为椭圆上的动点，所以，即，又由，所以，故A正确；对于B，由，得，令得，，所以，则，所以，故B正确；对于C，同理，得，令，得，所以，又由，得，则，当且仅当时，等号成立，故C错误；对于D，不妨设且，则，设分别为直线的倾斜角，则，即，即为钝角，又由，得，则，当且仅当时，等号成立，此时取最大值，即最大，因此的最小值为，故D错误；故选：AB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则的值等于_____．【答案】【解析】因为，则.

故答案为：13.函数的最小值为_____．【答案】【解析】，令，，且该二次函数的对称轴为直线，故函数在上单调递增，故，即函数的最小值为.故答案为：.14.已知过点的直线在轴和轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线的条数为_____．【答案】【解析】设直线在轴和轴上的截距分别为、，则、，则直线的截距式方程为，由于直线过点，则，故，所以为的正约数，故.即满足条件的正整数的个数为.因此，满足题设条件的直线的条数为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列中，，，且数列为等差数列．（1）求的通项公式；（2）记为数列的前n项和，证明：．（1）解：因为数列中，，，且数列为等差数列，设数列的公差为，则，故，所以，故.（2）证明：因，所以，故原不等式成立.16.甲、乙两个箱子中，各装有个球，其中甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球，其余都是白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为或，则从甲箱中随机摸出个球；如果点数为、、、，则从乙箱中随机摸出个球．已知掷次骰子后，摸出的球都是红球的概率是．（1）求的值；（2）记摸到红球的个数为随机变量，求的分布列和数学期望．解：（1）设事件为“掷出骰子的点数为或”，则事件为“掷出骰子的点数为、、、”，则，，设事件为“摸出的球都是红球”，则，，由全概率公式可得，整理可得，解得或（舍去），故.（2）由题意可知，随机变量的可能取值有：、、，则，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：则.17.已知圆，抛物线的准线与圆相切，过抛物线焦点的动直线与抛物线交于、两点，线段的中点为．（1）求抛物线的方程；（2）当轴时，求直线的斜率；（3）求证：为定值，并求出该定值．（1）解：由题意可得，圆的圆心为，半径为，且抛物线的准线为，与圆详相切，则，因为，解得，故抛物线的方程为.（2）解：设点、、，显然直线的斜率不为零，设直线的方程为，联立可得，则，由韦达定理可得，，则，，即点，因为轴，则，解得，因此，直线的斜率为.（3）证明：由抛物线焦点弦长公式可得，由（2）可得，所以.18.已知函数，．（1）已知在处的切线斜率为，求实数的值；（2）若，且关于的方程有个不相等的实数解，求的取值范围；（3）若函数在上单调递增，求的取值范围．解：（1）因为，则，由题意可得，解得.（2）当时，，，则，由可得，列表如下：单调递减极小值单调递增又因为，，因为关于的方程有个不相等的实数解，则直线与函数在上的图象有两个交点，如下图所示：由图可知，实数的取值范围是.（3）由题意，当时，，则恒成立，令，则，因为，，所以对任意的恒成立，故函数在上单调递减，所以，因为对任意的恒成立，所以，解得.因此，实数的取值范围是.19.如图所示，在直角梯形中，，A，D分别是，上的点，且，，，，将四边形沿向上折起，连接，，，在折起的过程中，记二面角的大小为，记几何体的体积为V．（1）求证：平面；（2）当时，请将V表达为关于的函数，并求该函数的最大值；（3）若平面和平面垂直，当取得最大值时，求V的值．（1）证明：在梯形中，因为，所以翻折后有，且，因为平面，平面，故平面，同理可得平面，因为，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面.（2）解：由题意，在梯形中，，，即，且，所以翻折后有，，且，所以平面，同理，平面，由二面角的大小为，得，过点作垂线，交直线于，由平面，平面，所以，且，所以平面，即是四棱锥的高，由，所以，由，平面，平面，所以平面，又因为平面，且，所以，所以，，当时，取得最大值.（3）解：过点作的垂线，交直线于点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系，则，，在平面中，，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，在平面中，，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，因为平面和平面垂直，所以，即，整理可得，因为，，所以，当且仅当时，等号成立，故当取得最大值时，即取得最小值，此时，由，，，所以，则.辽宁省沈阳市2025届高三三模数学试卷一、选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，，则.

故选：C2.已知为虚数单位，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，故.故选：B.3.双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，得，，故渐近线方程为．故选：B.4.已知向量，满足，，则等于（）A.12 B.10 C. D.【答案】C【解析】由有，所以，所以，故选：C.5.等比数列中，，则“”是“”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设等比数列的公比为，由可得，因为，则，解得，由可得，因为，则，解得或，因为是或的真子集，因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.6.近日，数字化构建社区服务新模式成为一种趋势．某社区为了优化数字化社区服务，通过问卷调查的方式调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分）进行统计，根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，图中，则满意度计分的第一四分位数约为（）A87.5 B.85 C.70 D.62.5【答案】C【解析】由题意可得，解得，且第一个小矩形面积为，第二个小矩形面积为，则第一四分位数即第百分位数为.故选：C7.如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖．可放小球的最大半径为．若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设储物盒所在球的半径为，如图，小球最大半径满足，所以，正方体的最大棱长满足，解得，所以.故选：D.8.已知函数在区间上有且仅有一个零点，当最大时，的图象的一条对称轴方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当时，且，，由可得，所以，，解得，，若无解，则或，解得或，由于且存在，故或，即或，则有或，故的最大值为，此时，由可得，当时，函数的一条对称轴方程为，故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代数学名著《九章算术·商功》．如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）．如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑．则（）A.阳马的四个侧面中仅有两个是直角三角形B.鳖臑的四个面均为直角三角形C.阳马的体积是鳖臑的体积的两倍D.堑堵、阳马与鳖臑的外接球的半径都相等【答案】BCD【解析】对于A，如图，由题意可知平面，平面，所以，因为平面，平面，所以，因为平面，平面，所以，所以阳马的四个侧面都是直角三角形，所以A错误，对于B，如图由题意可知平面，平面，所以，因为平面，平面，所以，所以鳖臑的四个面均为直角三角形，所以B正确，对于C，设长方体的长，宽，高分别为，则，所以阳马的体积，鳖臑的体积，所以阳马的体积是鳖臑的体积的两倍，所以C正确，对于D，由题意可知堑堵、阳马与鳖臑都是由同一个长方体分割而成，且堑堵、阳马与鳖臑的顶点都是原长方体的顶点，所以堑堵、阳马与鳖臑均可以补成原长方体，所以它们的外接球的半径都等于原长方体外接球的半径，所以D正确.故选：BCD10.已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，点M为内一动点，且，则（）A. B.C.a的最大值为2 D.的最小值为【答案】ABD【解析】对于A，由可得，则，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，由余弦定理可得，即，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，故C错误；对于D，因为，且，则，即，所以，当且仅当时，即时，等号成立，故D正确；故选：ABD.11.已知点，分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的右焦点，且，点P是椭圆上异于，的一动点，直线，分别与直线交于点，，则下列说法正确的有（）A. B.C.的最小值为 D.的最小值为【答案】AB【解析】设点，设直线的倾斜角为，斜率为，直线的倾斜角为，斜率为，对于A，由题意可得，且，所以，则椭圆方程为，又由为椭圆上的动点，所以，即，又由，所以，故A正确；对于B，由，得，令得，，所以，则，所以，故B正确；对于C，同理，得，令，得，所以，又由，得，则，当且仅当时，等号成立，故C错误；对于D，不妨设且，则，设分别为直线的倾斜角，则，即，即为钝角，又由，得，则，当且仅当时，等号成立，此时取最大值，即最大，因此的最小值为，故D错误；故选：AB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则的值等于_____．【答案】【解析】因为，则.

故答案为：13.函数的最小值为_____．【答案】【解析】，令，，且该二次函数的对称轴为直线，故函数在上单调递增，故，即函数的最小值为.故答案为：.14.已知过点的直线在轴和轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线的条数为_____．【答案】【解析】设直线在轴和轴上的截距分别为、，则、，则直线的截距式方程为，由于直线过点，则，故，所以为的正约数，故.即满足条件的正整数的个数为.因此，满足题设条件的直线的条数为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列中，，，且数列为等差数列．（1）求的通项公式；（2）记为数列的前n项和，证明：．（1）解：因为数列中，，，且数列为等差数列，设数列的公差为，则，故，所以，故.（2）证明：因，所以，故原不等式成立.16.甲、乙两个箱子中，各装有个球，其中甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球，其余都是白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为或，则从甲箱中随机摸出个球；如果点数为、、、，则从乙箱中随机摸出个球．已知掷次骰子后，摸出的球都是红球的概率是．（1）求的值；（2）记摸到红球的个数为随机变量，求的分布列和数学期望．解：（1）设事件为“掷出骰子的点数为或”，则事件为“掷出骰子的点数为、、、”，则，，设事件为“摸出的球都是红球”，则，，由全概率公式可得，整理可得，解得或（舍去），故.（2）由题意可知，随机变量的可能取值有：、、，则，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：则.17.已知圆，抛物线的准线与圆相切，过抛物线焦点的动直线与抛物线交于、两点，线段的中点为．（1）求抛物线的方程；（2）当轴时，求直线的斜率；（3）求证：为定值，并求出该定值．（1）解：由题意可得，圆的圆心为，半径为，且抛物线的准线为，与圆详相切，则，因为，解得，故抛物线的方程为.（2）解：设点、、，显然直线的斜率不为零，设直线的方程为，联立可得，则，由韦达定理可得，，则，，即点，因为轴，则，解得，因此，直线的斜率为.（3）证明：由抛物线焦点弦长公式可得，由（2）可得，所以.18.已知