贵州省普通高等学校招生2022届高三全国统一模拟测试数学（理）试题（四）

贵州省普通高等学校招生2022届高三全国统一模拟测试数学(理)

试题(四)

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4=卜|。-5)工＜。｝,B=4｝,则()

A.[-L0)B.[4,5)C.(0,41D.1-1,5)

2.若z=M，则|z|二()

2+1

A.2B.&C.2&D.3

3.记5”为等差数列｛q｝的前〃项和，若$3=%，牝=1。，则｛4｝的公差为()

A.2B.3C.-1D.-2

__1一?___

4.在“8c中，BC=ABD^且人。=5人B+§AC,则2=()

32I

A.2B.-2C.3—D.2—

5.在正三楂柱ABC-Aqa中，"=3,的=布，D,E分别在48BC上，且BD=BE=1,则

过DE,G三点的平面截此棱柱所得截面的面积为()

A.4B.2%C.6D.2M

6.已知函数y=/(x)的部分图象如图所示，则/(X)可以是()

AA.f(x\)=x2s•inxBn.f乙\x、)=S-i^nx-

C./(x)=lnx+cosxD.f(x)=ex-cosx

7.已知B,尸2是椭圆。的两个焦点，尸是。上一点，且/耳2工=30。，|P£|二G|P周，则椭圆。

的离心率为()

A>/3-1R6-1r6+1nV3+1

4243

8.执行如图所示的程序框图，若输入的。=1,则输出的5=()

1开蛤)

/^7

C.—5D.0

9.在数列｛q｝中，％=1,牝。向=2",若4+凡川+…+。吁9=248,则加=()

A.3B.4C.5D.6

10.中国文字博物馆荟萃历代中国文字样本精华，用详尽的资料向世界展示了中华民族一味相承的

文字和辉煌灿烂的文明.该博物馆馆藏的重要藏品主要分为铜器、碑碣、钱币、陶器、玉石器、甲骨、竹

木、纸质、瓷器共九类.小明去中国文字博物馆参观，并任意选取了三类重要藏品重点参观，则小明

在碑碣、甲骨、瓷器三类中至少参观了一类的概率为()

6c16「5n2

A.-B.—C.—D.—

72173

11.若存在两条过点(-11)的直线与曲线y=相切，贝J实数。的取值范围为()

X

A.(y,-4)5L+e)B.(FT)U(4,+OO)

C.(-oo,0)u(3,-boo)D.(-8,-3)5。,+8)

12.如图，在三棱锥。一A3c中，ZDAC=ABCA=ZBCD=9()°,DC=M，44=3,且直线A8

与。。所成角的余弦值为巫，则该三棱锥的外接球的体积为()

19

二、填空题

13.已知函数八幻的定义域为R,/*+2)-1为奇函数，则/(2)=.

14.一组样本数据-2,3,6的中位数为4,则该组数据的方差为.

15.已知函数/(x)=sin(5+°)3>0),〃_刍=1,且/(当=0,写出一个满足条件的函数/⑴

X8

的解析式：.

16.已知小乃分别是双曲线C:二-的左、右焦点，”是第一象限内双曲线。的渐近

线上一点，设归耳|=川夕周，若2的最大值为后，则双曲线。的渐近线方程为.

三、解答题

17.在锐角“18。中，a,〃，c分别是内角A,B,C的对边，、/Necos'±£=sinA(acos8+Z?cosA).

2

⑴求A；

(2)若。=1,求c的取值范围.

18.如图，在多面体ABCQE/中，四边形A8CO是菱形，ZZMB=60°,AB=2,平面/BCJ•平面

ABCD,BF=CF=6.，EDJ■平面ABCD.

(1)证明：OF_LBC.

(2)若止=3,求直线Er与平面AEB所成角的正弦值.

19.某企业为加强科研创新，加大研发资金的投入，新研发了•种产品.该产品的生产成本由直接

生产成本(如原料、工人工资、机器设备折旧等)和间接生产成本(如物料消耗、管理人员工资、车间

房屋折旧等)组成.该产品的间接生产成本y(万元)与该产品的生产数量x(千件)有关，经统计

并对数据作初步处理，得到散点图及一些统计量的值.

ycdEG一初无一刃

l-ll-ll-lr-1

3.513.241.8117.51.4619.95.84

]6

表中例=口，5=/2例・

Vf=1

⑴根据散点图判断y=bx+a与）,="6+c哪一个更适合作为间接生产成本.v与该产品的生产数量

x的回归方程类型：（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（I）的判断结果及表中数据，建立），关于x的I可归方程，并预测生产9千件产品时，间接

生产成本是多少万元；

（3）为确保产品质量，该企业在生产过程中对生产的每件产品均进行五个环节的质量检测，若检测

出不合格产品，则需在未进入下一环节前立即修复（修复后再进入下一环节），己知每个环节是相

互独立的，且每个环节产品检测的合格率均为98%,各环节中不合格的一件产品所需的修复费用均

为100元，求一件产品需修复的平均费用.

附：对于一组数据数，4），（卬匕），…，（以，匕）,其回归直线的斜率和截距的最小二乘

估计分别为夕=「----------，a=v-fiu.

E（W/-w）2

c-l

20.已知抛物线。：/=2〃〉，（口>0）的焦点为尸，尸（-4,〃。（，〃>〃）是抛物线。上一点，且IP/1=5.

（1）求抛物线。的方程；

（2）设直线48与抛物线。交于A,8两点，且直线以，P8关于直线），=4对称，当|人团=20时，求

直线A8的方程.

21.已知函数f（x）=21n%+二（awR）有两个零点.

x

（1）求。的取值范围.

（2）记两个零点分别为X/,戈2,证明：A|+^>1.

x=T+〃cosa

22.在平面直角坐标系中，曲线C/的参数方程为〈,.（。为参数，a>0）,以坐

标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为夕=4cos。.

⑴求曲线。的普通方程与曲线C2的直角坐标方程：

⑵设C/与C2的公共点分别为人，B,求〃的值.

23.己知函数/（幻=卜2-1卜次-2|.

⑴求不等式/(x)..3的解集；

(2)若/(城,匠+〃一3|,求满足条件的实数。的取值范围.

参考答案：

1.D

【解析】

【分析】

由一元二次不等式的解法求出集合A,再根据并集的定义即可求解.

【详解】

解：因为集合4=卜|(*-5)*<0}=卜|0—<5},«={r|-1^Jr4},

所以4DB={M0<X<5}3RT融4}=[-1,5).

故选：D.

2.B

【解析】

【分析】

由复数除法的运算法则求出复数z,再根据复数的模长公式即可求解.

【详解】

解：因为/=号占=2—i、l+2i，所以忖=石.

故选：B.

3.A

【解析】

【分析】

设公差为d,根据等差数列的通项公式及前〃项和公式列出方程组，解之即可.

【详解】

3a.+3d=a1+5d

解：设公差为4由题意知解得…乜

故选：A.

4.B

【解析】

【分析】

—2——2—

由题可得8。=—(AC—A8)=-8C,即得.

33

【详解】

_____।9__

\AD=AB+W=-AB+-AC,

3_____3

_9__2

・•・BD=-(AC-AB)=-BC,

33

故选：B.

5.C

【解析】

【分析】

连接A。，则过。，E,G三点的截面的面积即等腰梯形。A的面积，再根据几何关系求解即可.

【详解】

解：连接4。，易知。E//AC//AC，

过。，E,G二点的截面的面浜即等腰梯形。EGA的面枳.

因为正三棱柱ABC-AqG中，BD=BE=1,

所以。月=1,/\D=Vio,

所以，等腰梯形。EGA的面积为:x(l+3)xjim=6.

故选：C

6.D

【解析】

【分析】

根据函数的奇偶性，定义域，特殊值排除即可得答案.

【详解】

解：由函数"X)的定义域R,由于选项C的定义域为(0,+8),故排除；

对于A选项，/(-x)=(-x)2sin(-x)=-x2sinx=-/(,v),即函数/(x)=丁rinx,不符合函数图

像特点，排除；

对于B选项，当时，/(r)<l,又/(一多)>1,不符合给出的函数图象的特点排除；

对于D选项，函数的定义域为R,且x>0时，函数为增函数，且图像特征满足；

故选：D

7.B

【解析】

【分析】

设|P用="，|P用=〃，然后根据已知条件结合椭圆的定义，余弦定理可求出〃=君:，〃="，

从而可求出离心率

【详解】

设|历|=机，归周=〃，m=底，m+n=2a,则〃=耳彳，

因为/耳尸玛=30。,

所以由余弦定理得4(二="1+r?2-2/w?cos30°»

所以4c*=3/J+n2-x苧

解得〃=2c,

所以磊=2c

所以e=£=在二1.

a2

故选：B

8.C

【解析】

【分析】

该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值

的变化情况，直到结束循环即可得答案.

【详解】

解；山程序框图可知，循环结果执行如下；

S=-l,a=-\>k=2；S=-1>a=\»4=3；5=-4,<7=-1,〃=4；

S=0,a=\,k=5；S=—5,a=-\,k=6,结束循环，输H|S=—5.

故选：C.

9.B

【解析】

【分析】

由题知当〃为奇数时，a"；当〃为偶数时，〃=2"前〃项和为3满足5=3(2A-1),

n=2n2t

A+2

52A+I=2-3,进而分加为奇数和〃?为偶数讨论求解即可.

【详解】

解：由题意得4%=2,出=2,型g=m=2,即％,2=2%,

所以当〃为奇数时，a=2限1当〃为偶数时，“=2、

n一n

设｛q｝的前〃项和为S”，则s2k=W+当手=3(2X-1),

S?印=邑*+。29=3(»-1)+»=2H2—3.

若加为奇数，则册+。,向+…+勺+9为3的倍数，248不是3的倍数，不合题意：

当初为偶数，则%+4讨+…+J=鼠+9—黑_|=§仔4卜一$伊卜

(w.-、，所,一、/wm.mn\

—+4+2—1+2-x--+1-/人\-m

=22-3-22-3=22-22=22(26-2)=62X22=248,即罚=4,所以==上

X//

故选：B

10.B

【解析】

【分析】

9类藏品中选取3类藏品共有C；=84种不同情况,利用间接法可得在碑碣、甲骨、瓷器三类中至少参

观了一类有C；-C；=84-20=64种不同情况，由古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】

解：9类藏品中选取3类藏品共有C；=84种不同情况，

碑碣、甲骨、瓷器二类都不选布c；=20种不同情况，

则所求概率为。=与三=印

故选：B.

11.C

【解析】

【分析】

设切点4(/2-凯则由导数的几何意义求出切线方程)，=(2+*(XT)+2/-；,再将点(-1/)的坐

标代入化简得3产++a=0，则由△>0可求出答案

【详解】

/'(幻=2+=，设切点4，,2”与，则曲线)，=/。)在点4处的切线方程为

厂t

>'=(2+4)U-/)+2/--,

rt

切线过点(-L1),g|Jl=(2+4)(-l-O+2z--,

rt

化简得3t2+2at+a=0,

由题意可得方程有两个不同的根，

所以A=4〃2-1ZZ>0,avO或a>3.

故选：C

12.C

【解析】

【分析】

由题意，将三棱锥D-AKC放入对应的长方体中，根据已知条件建立关于长方体的长、宽、高的边长

a,4c•的方程组，求解得片+从+°2=25,进而可得外接球的直径即为长方体的体对角线长，从

而根据球的体积公式即可求解.

【详解】

解：由题意知ACJ.AC,DCLBC,则8C_L平面AOC,所以8C_L4O,

又人。_LAC,ACC\BC=C,所以AD_L平面/18C,将三棱锥。一八4(7放入对应的长方体中，如图：

易知EB〃DC,所以乙腕为直线A8与。。所成的角，

所以4石2=AB2+BE?-2AB-BEcosNABE，解得A£=后.

22

设长方体的长、宽、高分别为mb,c,则4+82=9,/+d=22,b+c=19,

三式相加得/+//+/=25,所以长方体的外接球的半径为应运运=』，

22

所以该三棱锥的外接球的体积为V=g;r(|)=等

故选：C.

13.1

【解析】

【分析】

由奇函数的性质直接求解

【详解】

因为函数的定义域为R,为奇函数，

所以八0+2)-1=0,即/⑵=1.

故答案为：I

14.-##2.5

2

【解析】

【分析】

先求出斯再套公式求出方差.

【详解】

由中位数的定义，样本数据乂2,3,6的中位数为4,则3<“<6

所以三工二4,解得x=5.

rc：Hi—2+3+5+6JU.、4+1+1+45

所以平均数为x=------；--------=4,方差为s-=--------——=-.

442

故答案为：!

15./(x)=sin(2x--)(答案不唯一)

4

【解析】

【分析】

由题可得;+3J）=与,进而可得八羔‘取即得.

【详解】

:/(x)=sin(〃)*+0)(〃)>0),/(一!)=1,且/(—5万)=(),

o8

.TkT、兀冗3兀

・・一+—=-----(---)=—,&wN,

42884

T=».,后eN,

2Z+1

令k=l,T=7r,co=2,2x(-9)+。=，〃乃+J,mwZ,

82

7rjr

令m=T,(p=---,f(x)=sin(2x---).

44

故答案为：心…叫号）（答案不唯一）.

16.y=±2>/2x

【解^51

【分析】

根据题意，设P（x,二），XX）,进而结合题意，根据基本不等式得

a

44

r-M-1+----------4]+5-----=2,此时根据等号成立的条件求解得答案.

I明-^x+--2--2

a“xa

【详解】

解：根据题意，双曲线的渐近线中经过第一象限的渐近线方程为y=?x,

a

故设P（x,竺bx），x>0,

a

b2x2

d|叫2_(…)，+

24<l+y^—=2,

a=i,

b2x2-c空-2

当且仅当叮=。”时取“二”,

此时，离心率e=3,1+(-)2=9,-=272,

aa

曲线C的渐近线方程为y=±2>/2x.

故答案为：y=±2&x

17.(1)|

叫,2)

【解析】

【分析】

(1)利用正弦定理和二倍角公式求出8s4=且，即可求出A=f；

223

(2)由余弦定理得/=/+l-c，.分别由C为锐角和3为锐角，列不等式，求出。的范围.

(1)

LA

由题意,J3sinCsin—=sin力(sinAcosB+sin3cosA)=sinAsinC.

2

因为Ce(o,乃)，所以sinChO,所以氐吟=sinA=2sin*os*

因为人£(0,乃，所以?e(0仁)，所以sin^.O,所以cos^二¥，

则Ag

(2)

由余弦定理得/=《2+1-如

△ABC是锐角三角形，若C为锐角，则〃2+力2—.2>0,把〃=/+1一代入得2—c>0,c<2,

若5为锐角，则/+02一//>0,把/=。2+]_0代入得2c2〉心c>1,

故cw(5,2).

18.(1)证明见解析

⑵圣

28

【解析】

【分析】

(1)取4c的中点G,连接QG,FG,则产G_LAC,由于四边形A8C。是菱形，ND48=60。，所

以可得Z)GJL8C,再利用线面垂吏的判定可得8CJL平面OFG,从而可得OF_L8C,

(2)设ACnBD=O,以。为原点，OAO4所在的直线分别为X)，轴，以过。平行于EO的直线为

z轴，建立空间直角坐标系。-xyz,如图所示，利用空间向量求解

(1)

如图，取8c的中点G,连接。G,FG,BD,

E

•：BF=CF=4i,BC=2,

j.FGLBC,且尸G=1,

:四边形A8c。是菱形，ZZ>4B=60°,

・••△BDC为等边三角形,

,/AB=2,

DG工BC,且OG=G

又DGc产G=G,平面。尸G.

•••。尸u平面拉尸G,s.DFVBC.

(2)

设AC(W=O,

;四边形是菱形，AACA.BD,

ED_L平面ABC。，AC,BOu平面ABC。，

・•・EDA.AB,EDLCD,

平面所C_L平面ABCD,FGA.BC,平面/8。门平面ABCD=BC,

・•・AG_1"平面ABC。，

・••以。为原点，QAOB所在的直线分别为轴，以过。平行于EQ的直线为z轴，建立空间直角

坐标系。一冷2,如图所示，

ZDAB=60°,AB=2,AC=2&BD=2,

易知人(石,0,0),8(0.1,0),£(0,-1,3),F(-—,-J).

22

设平面E43的法向量为/；=(x,y,z),a*=(-G』,0),3后=2,—2,3),

fi-AI3=—A+y=0

75>令y=3,则3=(6,3,2),

・BE=-2y+3z=0

不

|cos〈〃,FE)|=

28

故直线E尸与平面AEB所成角的正弦值为立.

28

19.(l))，=dx/7+c更适合

⑵），=6+4&,18万元

⑶10（元）

【解析】

【分析】

（1）山散点图和一次函数及痔函数图象的特征即可判断；

（2）根据表中的数据及参考公式即可求解『关于x的回归方程，从而即可求出预测值;

（3）由题意，J服从二项分布，根据二项分布的期望公式及期望的性质即可求解.

（1）

解：由散点图判断），=，/4+。更适合作为间接生产成本y与该产品的生产数量x的回归方程类型;

⑵

解：令。=4,先建立)，关于。的线性回归方程,

£©一砌,一用二5.84

之⑷-才-1.46

.•"=^-45=13.24-4xl.81=6,

，)，关于①的线性回归方程为y=6+4。,

・•・)，关于x的回归方程为》，=6+4五，当x=9时，y=6+4x3=18,即生产9千件产品时，间接生

产成本是18万元；

(3)

解：设每件产品需修复的环节为4个，则彳~8(5,0.02),E(g)=o.i,

设一件产品需修复的费用为〃元，则〃=1003E(〃)=100EC)=10(元).

20.(l)x2=4y

(2)2.v-y+l=0

【解析】

【分析】

(1)由IP用=5,即42+(〃L§2=25,又〃?+勺5,解方程组即可得答案；

(2)由题意，直线布，P8的斜率互为相反数且不为0,设直线总：)」4=&。+4),与C的方程

联立，由韦达定理可得A(4伏+1),4+2)+4),同理可得B(-4(k-l),4A(火-2)+4),进而可得

&AB=区二区=2,设直线AB:)，=2x+〃，与C的方程联立，由弦长|AB|=20,根据弦长公式可得

XA~XH

〃的值.

(1)

解：由题意知尸(0,5),抛物线C的准线方程为,，=-日，

由|P用=5,即42+(〃L£)2=25,又出+与=5,解得[，=：或[，=：(舍去)，

22[in=4[tn=1

所以抛物线C的方程为f=4y；

(2)

解：因为直线%,P8关于直线)，=4对称，所以直线%,P6的斜率互为相反数且不为0,

设直线PA：)=4=-x+4),与。的方程联立，消去)，得/_4履_162-16=0，

由韦达定埋得4=4(2+D，则A(4(攵+1),4依攵+2)+4),

设直线PB.y-4=-&(x+4),同理可得B(-4(k-1),4攵(&-2)+4),则直线AB的斜率L=上五=2,

XA-AR

设直线AB:y=2x+〃，与C的方程联立消去)，得f-8x-4〃=。，A=82+167?>0>

设4(%为)，8(乙,>2)，玉+与=8,内七=-4〃，|A31="+/9一.|=4"5(〃+4),

•.M例=20,

〃=1,

，直线A8的方程为2x-)，+l=0.

21.⑴(0，)；

e

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)由题可得，(外=2(」;"),分类讨论，利用导数求函数的最值，可得/(&)<(),结合零点

x

存在定理即得；

(2)设々=必，，>1，由题可得ln(K+x,)=’7|"空幽土D-空］，构造函数双幻=任(x>l),

利用导数可得函数的单调性，进而可得ln(%+w)>。，即证.

(1)

•・,/(x)=21nx+=(aeR)

x~

当4,0时,ru)>o,函数/⑺在(0,+00)上递增,不合题意，

当。>0时，令/'")>(),得；>右，令/'(x)<0,得0vx<G.

所以函数/(灯在(0,4)上递减，在(G,+m)上递增..f(x)..f(G).

令/(&)<。，即lna+l<。，得0<a<L

e

因为/(1)=。>。，所以函数/“)在(五/)上有一个零点，

f(a)=21n«+—,m(x)=21nx+—(0<x<-),

axe

ffJW=---T=J,易知函数〃?(x)在(0,-)上递减，

xxxe

m[x)>in(­)=e-2>0,即f(a)>0,函数f(x)在(a,6)上杓一个零点.

e

综上，函数/(x)有两个零点，«e(0,l).

e

(2)

由(I)知设％=戊1，，>1，

2InX.+-^-=0

由]4

21nx2—7=0

1nt

2

InX]=rlnx2=/(lnr+lnx)),In%=--；——，

广一1

2ln+,nt

fz、।i一八rlnr2/(^)^、/「(f+l)ln(f+1)t\nt

ln(xl+x2)=ln[(/+l)^]=ln(/+l)--=)=—^—宁———

…xinx，/、x-lnx-1

设g(x)=——-U>l),gW=—――,

x-\(x-l)

设力(幻二彳一111%一1,//(x)=l--,当X>1时，/f(x)>0,

X

函数〃(X)在(l，y)上递增，/Xx)>/?(l)=0,即当X>1时，/(x)>0,

函数g(x)在(1,田)上递增，

则g(x+l)>g(x),(2)2)〉皿,即(—"+1)一位,

xx-1tt-\

・••所以ln(N+w)>0,

xt+x2>1.

【点睛】

利用导数研究零点问题：

(1)确定零点的个数问题：可利用数形结合