专题03 多边形及其内角和（原卷版）

数学七年级升八年级暑假预习专题训练专题三多边形及其内角和【专题导航】目录【考点一多边形】............................................2【考点二多边形的内角】.......................................3【考点三多边形外角】.........................................7【聚焦考点1】定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形.2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：凸多边形凸多边形凹多边形要点诠释：（1）正多边形必须满足两个条件（1）各边相等，各角相等。（2）过多边形一个顶点有（n-3）条对角线。N边形共有n(n−3)2（3）过n边形一个顶点把n边形分成(n-2)个三角形。【典例剖析1】关于正多边形的概念，下列说法正确的是（）A．各边相等的多边形是正多边形B．各角相等的多边形是正多边形C．各边相等或各角相等的多边形是正多边形D．各边相等且各角相等的多边形是正多边形【典例1-2】若一个多边形的对角线共有14条，则这个多边形的边数是（）A．6 B．7 C．10 D．14针对训练1【变式1-1】下列平面图形中，属于八边形的是（）A． B． C． D．【变式1-2】三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上（）根木条．A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-3】若一个正多边形每一个外角都相等，且一个内角的度数是140°，则这个多边形是（）A．正七边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形【能力提升1】多边形【提升1-2】（1）如图，要使四边形木架（由四根木条钉成）不变形，可以再钉上几根木条．请在图①中画出你想到的方法（至少画两种），至少要钉几根木条？（2）五边形呢？请在图②中画出你想到的方法（至少画两种），至少要钉几根木条？（3））由以上探究猜想，要使n边形的木架不变形，至少要钉上几根木条？【聚焦考点2】n边形的内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°【典例剖析2】多边形的内角和【典例2-1】（1）正八边形的每个内角是每个外角的m倍，求m的值；（2）一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数．【典例2-2】在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：【问题再现】：（1）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，∠A＝40°，则∠BPC＝110°；【问题解决】：（2）如图2，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BPC的度数；【问题推广】：（3）如图3，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP于点H，若∠ACB＝82°，直接写出∠PBH＝°；【拓展提升】：（4）在四边形BCDE中，EB∥CD，点F在射线DE上运动（点F不与E，D两点重合），连接BF，CF，∠EBF、∠DCF的角平分线交于点Q，若∠EBF＝α，∠DCF＝β，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系．【典例2-3】将三角形纸片ABC沿直线DE折叠，使点A落在A′处．【感知】如果点A′落在边AB上，这时图①中的∠1变为0°，那么∠A′与∠2之间的关系是；【探究】如果点A′落在四边形BCDE的内部（如图①），那么∠A′与∠1、∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．【拓展】如果点A′落在四边形BCDE的外部（如图②），那么请直接写出∠A′与∠1、∠2之间存在数量关系．针对训练2【变式2-1】如图，已知四边形纸片ABCD的边AB∥CD，E是边CD上任意一点，沿BE折叠△BCE，点C落在点F的位置．（1）如图①，点F落在四边形ABED的内部，探索∠FED，∠ABF，∠C之间的数量关系，并说明理由；（2）如图②，点F落在边CD的上方，设BF与CD交于点N，直接写出∠FED，∠ABF，∠C之间的数量关系，不需要说明理由．【变式2-2】阅读小明和小红的对话，解决下列问题．​（1）这个“多加的锐角”是30​度．（2）小明求的是几边形内角和？（3）若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？【变式2-3】如图1，四边形ABCD中，∠PAD，∠QCD是四边形ABCD的外角．（1）若∠B＝40°，∠ADC＝120°，则∠PAD+∠QCD＝160°；（2）如图2，AE平分外角∠PAD，CF平分外角∠QCD，AE与CF相交于点M，若∠ADC＝∠B+90°，求∠AMC的度数；（3）如图3，AE平分外角∠PAD，CF平分外角∠QCD，若∠ADC＝∠B，判断AE与CF的位置关系，并说明理由．【能力提升2】多边形的内角和【提升2-1】如图，在四边形ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分线分别与CD、AB相交于点E、F．（1）若∠A＝∠C＝90°，试说明DF∥BE．（2）若DF∥BE，则结论“∠A＝∠C＝90°”一定成立吗？说明你的理由．【提升2-2】已知，如图，AD与BC交于点O．（1）如图1，判断∠A+∠B与∠C+∠D的数量关系：∠A+∠B＝∠C+∠D，并证明你的结论．（2）如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠M的度数为540°．（3）如图3，若CF平分∠BCD，DE平分∠ADC，CF与DE交于点M，∠E+∠F＝50°，请直接写出∠A+∠B＝100°．【提升2-3】直线在同一平面内有平行和相交两种位置关系，线段首尾连接可以变换出很多不同的图形，这些不同的角又有很多不同关系，今天我们就来探究一下这些奇妙的图形吧!【问题探究】（1）①如图1，若AB∥CD，点P在AB，CD内部，∠B＝55°，∠D＝30°，则∠BPD＝85°；②如图2，若AB∥CD，将点P在AB，CD外部，则∠BPD，∠B，∠D之间数量关系：∠BFD+∠D＝∠B（不需证明）；③如图3，写出∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之间的数量关系：∠B+∠D+∠BQD＝∠BPD（不需证明）．【变式拓展】（2）如图4，五角星ABCDE，请直接写出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．（3）如图5，将五角星ABCDE去掉一个角后，∠B+∠C+∠D+∠E+∠P+∠Q是多少？请证明你的结论．【聚焦考点3】n边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°（与多边形的形状和边数无关）。【典例剖析3】多边形的外角和【典例3-1】一个多边形的外角和与它的内角和的比是2：9，求这个多边形的边数．【典例3-2】如图，淇淇从点A出发，前进10米后向右转20°，再前进10米后又向右转20°，这样一直下去，直到他第一次回到出发点A为止，他所走的路径构成了一个多边形．（1）求淇淇一共走了多少米？（2）求这个多边形的内角和．针对训练3【变式3-1】阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：（1）“多边形内角和为2020°”，为什么不可能？（2）明明求的是几边形的内角和？（3）多加的那个外角为多少度？【变式3-2】（1）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是几边形？（2）小明求得一个多边形的内角和为1180°，小强很快发现小明所得的度数有误，后来小明复查时发现他重复加了一个内角，你能求出这个多边形的边数以及他重复加的那个角的度数是多少吗？【能力提升3】多边形的外角和【提升3-1】利用图形这一直观性语言，在一定程度上可以降低我们认识和理解抽象逻辑推理的难度；利用图形建构几何直观，可以轻松实现空间形式和数量关系的相互转化．让我们在如下的问题解决中体验一下吧!【模块探究】如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C【直观应用】（1）应用上述结论，若图2中，∠EOF＝α，则∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的度数之和等于2α（直接给出结论，不必说明理由）（2）应用上述结论，求图3所示的五角星中，∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的度数之和是多少？证明你的结论；【类比联系】如图4，求∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F、∠G的度数之和是多少？证明你的结论．【提升3-2】（1）问题发现：由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”联想到四边形的外角．如图①，∠1，∠2是四边形ABCD的两个外角．∵四边形ABCD的内角和是360°，∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，由此可得∠1，∠2与∠A，∠D的数量关系是∠1+∠2＝∠A+∠D；（2）知识应用：如图②，已知四边形ABCD，AE，DE分别是其外角∠NAD和∠MDA的平分线，若∠B+∠C＝220°，求∠E的度数；（3）拓展提升：如图③，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠CDN和∠CBM是它的两个外角，且，，求∠P的度数．【提升3-3】如图，AB⊥CD，垂足为O，点P、Q分别在射线OC、OA上运动（点P、Q都不与点O重合），QE是∠AQP的平