专题09 全等三角形中的常见模型（原卷版）

数学七年级升八年级暑假预习专题训练专题九全等三角形中的常见模型【专题导航】目录【考点一一线三垂直（等角）】........................................1【考点二手拉手】....................................................4【考点三旋转模型】..................................................7【聚焦考点1】一线三等角模型【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.如图，【典例剖析1】【典例1-1】如图1，在长方形中，，点P从点B出发，以的速度沿向点C运动（点P运动到点C处时停止运动），设点P的运动时间为．（1）_____________．（用含t的式子表示）（2）当t为何值时，？（3）如图2，当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点D运动（点Q运动到点D处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动），是否存在这样的值使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【典例1-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．针对训练1【变式1-1】如图，点A是线段DE上一点，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥DE，CE⊥DE．（1）求证：DE=BD+CE．（2）如果是如图2这个图形，BD、CE、DE有什么数量关系？并证明．【变式1-2】如图，在中，，点D，E分别为上的点，，若，求证：．能力提升1】一线三等角【提升1-1】（1）如图（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE＝BD+CE；（2）如图（2）将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【提升1-2】.CD是经过∠BCA定点C的一条直线，CA=CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠β．（1）若直线CD经过∠BCA内部，且E、F在射线CD上，①若∠BCA=90°，∠β=90°，例如左边图，则BECF，EF|BE-AF|（填“＞”，“＜”，“＝”）；②若0°＜∠BCA＜180°，且∠β＋∠BCA=180°，例如中间图，①中的两个结论还成立吗？并说明理由；（2）如右边图，若直线CD经过∠BCA外部，且∠β=∠BCA，请直接写出线段EF、BE、AF的数量关系（不需要证明）．【提升1-3】已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为，CE与AD的数量关系为；（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．【聚焦考点2】手拉手模型将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等．【模型图示】公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”．对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得．【常见模型】（等腰）（等边）（等腰直角）【典例剖析2】【典例2-1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．当AD＝BF时，∠BEF的度数是（）A．45° B．60° C．62.5° D．67.5°【典例2-2】如图，图1等腰△BAC与等腰△DEC，共点于C，且∠BCA＝∠ECD，连结BE、AD，若BC＝AC、EC＝DC．（1）求证：BE＝AD；（2）若将等腰△DEC绕点C旋转至图2、3、4情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么？（请你用图2证明你的猜想）针对训练2【变式2-1】如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接．(1)求证：≌；(2)求的度数；(3)求证：平分．【变式2-2】如图，D为△ABC内一点，AB＝AC，∠BAC＝50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合．（1）求证：EB＝DC；（2）若∠ADC＝115°，求∠BED的度数．【能力提升2】【提升2-1】如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°后得到CE，连接BE，若∠DAB＝10°，则∠ABE是()A．75° B．78° C．80° D．92°【提升2-2】（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：；（2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：．【聚焦考点3】旋转模型【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件.【常见模型】【典例剖析3】【典例3-1】如图，，求证：（1）；（2）．【典例3-2】如图，已知AE∥BC，∠B＝∠ADB，∠BAD＝∠EAC＝∠E．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）若∠BAE＝110°，求∠E的度数．针对训练3【变式3-1】如图，△ABC与△DCE中，CA＝CD，∠1＝∠2，BC＝EC．求证：∠A＝∠D．【变式3-2】．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠CED＝∠AEB，AE交BD于点F．（1）求证：△AEC≌△BED；（2）求证：DE平分∠BDC．【能力提升3】【提升3-1】．如图，点D在△ABC的外部，点E在BC边上，DE与AB交于点O，∠1＝