专题12 等腰三角形（解析版）

数学七年级升八年级暑假预习专题训练专题十二等腰三角形（解析版）【专题导航】目录【考点一等腰三角形性质】...........................................1【考点二等腰三角形判定】...........................................8【考点三等腰三角形判定性质综合应用】..............................14【聚焦考点1】等腰三角形的概念有两边相等的三角形是等腰三角形。等腰三角形的性质1、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．2、解题方法：设辅助未知数法与拼凑法．3、重要的数学思想方法：方程思想、整体思想和转化思想．在解决等腰三角形边长的问题时，如果不明确底和腰时，要进行分类讨论，同时要养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去。【典例剖析1】【典例1-1】如图，点D是△ABC的BC边上一点，AB＝AD＝DC．若∠BAD＝80°，则∠C＝（）​A．50° B．40° C．20° D．25°【答案】D【解答】解：∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB，∵∠BAD＝80°，∴∠B＝50°＝∠ADB，∵AD＝DC，∴∠C＝∠DAC，∴∠C＝∠ADB＝25°．故选：D．【典例1-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，DE⊥AB于点E，若BC＝4，△BDC的周长为10，则AE的长为（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．4【答案】B【解答】解：∵BC＝4，且△BDC的周长为10，∴BD+CD＝10﹣4＝6，∵AD＝BD，∴AD+DC＝6，∴AC＝6，∵AB＝AC，∴AB＝6，∵AD＝DB，DE⊥AB，∴AE＝AB＝3，故选：B．【典例1-3】如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD是边BC上的高，∠ABC的平分线交AD于点F，交AC于点E，则图中等腰三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：∵AD是边BC上的高线，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵∠ABC＝60°，∠C＝45°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝30°，∠DAC＝90°﹣∠C＝45°，∴△ADC是等腰三角形，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABF＝∠CBE＝∠ABC＝30°，∴∠ABF＝∠BAD，∴△ABF是等腰三角形，则∠BEA＝∠EBC+∠C＝45°+30°＝75°，而∠BAC＝180°﹣60°﹣45°＝75°＝∠BEA，故△ABE为等腰三角形，故选：C．【典例1-4】在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使△ABP为等腰三角形，则点P有（）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个【答案】C【解答】解：如图：在格点上找一点P，使△ABP为等腰三角形，则点P有8个，故选：C．针对训练1【变式1-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D．若∠A＝36°，则∠BDC＝（）A．36° B．54° C．72° D．108°【答案】C【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°．故选：C．【变式1-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，DE⊥AB于点E，若BC＝4，△BDC的周长为10，则AE的长为（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．4【答案】B【解答】解：∵BC＝4，且△BDC的周长为10，∴BD+CD＝10﹣4＝6，∵AD＝BD，∴AD+DC＝6，∴AC＝6，∵AB＝AC，∴AB＝6，∵AD＝DB，DE⊥AB，∴AE＝AB＝3，故选：B．【变式1-3】如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D，E是BC上的两点，且∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，则图中等腰三角形的个数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解答】解：AB＝AC，∠ABC＝36°，∴∠BAC＝108°，∴∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，∴等腰三角形△ABC，△ABD，△ADE，△ACE，△ACD，△ABE，共有6个，故选：C．【变式1-4】如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：当AB为腰时，点C的个数有2个；当AB为底时，点C的个数有1个，故选：C．【能力提升1】【提升1-1】如图，中，，，则等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用AD=AC，求出∠ADC=∠C=，利用AD=AB，即可求得∠B=∠BAD．【解析】∵AD=AC，∴∠ADC=∠C，∵，∴∠ADC=∠C=，∵AD=AB，∴∠B=∠BAD，故选：A．【点评】此题考查等边对等角的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．【提升1-2】在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为16cm，则AB边的取值范围是（）A．1cm＜AB＜4cm B．3cm＜AB＜6cm

C．4cm＜AB＜8cm D．5cm＜AB＜10cm【答案】C【分析】设AB=AC=x，则BC=16-2x,根据三角形的三边关系即可求出AB的取值范围.【解析】在等腰△ABC中，AB=AC,其周长为16cm，设设AB=AC=cm，则BC=16-2x,依题意得,解得4cm＜AB＜8cm,选C.【点评】此题主要考察三角形的三边关系，熟知等腰三角形的性质、不等式的解法是关键.【提升1-3】探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE.（1）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；（2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系.【答案】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°，∵∠BAD=60°，∴∠DAE=30°，∵AD=AE，∴∠AED=75°，∴∠CDE=∠AED-∠C=30°；（2）设∠BAD=x，∴∠CAD=90°﹣x，∵AE=AD，∴∠AED=45°+，∴∠CDE=；∠CDE=∠BAD（3）设∠BAD=x，∠C=y，∵AB=AC，∠C=y，∴∠BAC=180°﹣2y，∵∠BAD=x，∴∠DAE=y+，∴.∠CDE=∠BAD【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得∠B=∠C=45°，根据角的和差得∠DAE=30°，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得∠AED=75°，最后根据三角形外角的性质，由∠CDE=∠AED-∠C即可求解；

（2）设∠BAD＝x，于是得到∠CAD＝90°−x，根据等腰三角形的性质得∠AED=45°+，进而根据三角形外角的性质由∠CDE=∠AED-∠C即可求解；

（3）设∠BAD＝x，∠C＝y，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理及三角形外角性质可求解.【聚焦考点2】等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用【典例剖析2】【典例2-1】在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：2：5，则△ABC是（）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形【答案】A【知识点】等腰三角形的判定【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：2：5，∴设∠A＝2x，则∠B＝2x，∠C＝5x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2x+2x+5x＝180°，解得x＝20°，∴∠A＝∠B＝40°，∠C＝5x＝5×20°＝100°.∴AC＝CB.∴△ABC是钝角三角形，等腰三角形.故答案为：A.【点评】设∠A=2x，则∠B=2x，∠C=5x，再由三角形内角和定理求出x的度数，进而可得出∠C的度数，由此判断出△ABC的形状即可。【典例2-2】已知：如图，下列三角形中，，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【知识点】等腰三角形的判定【解析】【解答】由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°，72°，能；②不能；③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；④中的为36°，72，72°和36°，36°，108°，能.故答案为：C.【点评】顶角为：36°，90°，108°的等腰三角形都可以用一条直线把等腰三角形分割成两个小的等腰三角形，再用一条直线分其中一个等腰三角形变成两个更小的等腰三角形.针对训练2【变式2-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E．（1）求∠ADB的度数；（2）求证：△ADE是等腰三角形．【答案】（1）108°；（2）见解析．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝36°，∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝72°+36°＝108°；（2）证明：∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠C＝72°，∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，∴∠ADE＝∠CDB＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∴△ADE是等腰三角形．【变式2-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°．求证：△ADC是等腰三角形．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∵∠C+∠BAC+∠B＝180°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵∠DAB＝45°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝120°﹣45°＝75°；∵∠DAB＝45°，∠B＝30°∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝75°，∴∠DAC＝∠ADC，∴DC＝AC，∴△ADC是等腰三角形．【能力提升2】【提升2-1】．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD是∠ABC的平分线，BD=BE．求证：(1)△CED是等腰三角形；(2)BD+AD=BC．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由AB=AC，∠A=100°求出∠ABC=∠C=40°，再由BD是∠ABC的平分线求出∠DBC=12∠ABC=20°，根据BD=BE求出∠BED=∠BDE=80°，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求得∠EDC=40°，则∠EDC=∠C，从而证明ED=EC，即△CED（2）在BE上截取BF=BA，连结DF，先证明△FBD≌△ABD，则FD=AD，∠BFD=∠A=100°，可证明∠EFD=∠FED=80°，则AD=FD=ED=EC，即可证明BD+AD=BE+EC=BC．(1)∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠C=12∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC=12∠ABC∵BD=BE，∴∠BED=∠BDE=12∴∠EDC=∠BED-∠C=80°-40°=40°，∴∠EDC=∠C，∴ED=EC，∴△CED是等腰三角形．(2)如图，在边BC上取点F，使BF=BA，在△ABD和△FBD中∵AB=FB∴△ABD≌△FBD∴AD=DF，∠BFD=∠A=100°，∴∠DFE=180°−100°=80°，∴∠DFE=∠DEF∴DF=DE∴AD=EC∴BD+AD=BE+EC=BC．【点评】此题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及其推论等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．【提升2-2】下列给出的5个图中，能判定△ABC是等腰三角形的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】①根据三角形内角和定理得∠A≠∠B≠∠C，则△ABC不是等腰三角形；②证出∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形；③由平行线的性质得∠C＝∠CAD＝50°，则∠B＝∠C，得△ABC是等腰三角形；④由平行线的性质得∠BCA＝∠CAD＝30°，∠BAD＝60°，则∠BAC＝∠BCA，得△ABC是等腰三角形；⑤先由平行线的性质得∠A＝∠D＝30°，再由三角形的外角性质得∠B＝60°﹣∠A＝30°，则∠B＝∠A，得△ABC是等腰三角形；即可得出结论．【解析】图①中，∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣70°﹣66°＝44°，∴∠A≠∠B≠∠C，∴△ABC不是等腰三角形；图②中，∵∠B+∠C＝140°，∠B＝70°，∴∠C＝140°﹣70°＝70°，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形；图③中，∵AD∥BC，∴∠C＝∠CAD＝50°，∵∠B＝50°，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形；图④中，∵AD∥BC，∴∠BCA＝∠CAD＝30°，∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣120°＝60°，∴∠BAC＝60°﹣30°＝30°，∴∠BAC＝∠BCA，∴△ABC是等腰三角形；图⑤中，∵AB∥DE，∴∠A＝∠D＝30°，∵∠BCD＝∠A+∠B＝60°，∴∠B＝60°﹣∠A＝30°，∴∠B＝∠A，∴△ABC是等腰三角形；能判定△ABC是等腰三角形的有4个，故选：C．【聚焦考点3】等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．等腰三角形的判定是证明两条线段_相等_的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理【典例剖析3】【典例3-1】如图，在中，平分于点D，交于点E，若，求的长．【答案】4【分析】根据角平分线的定义可得∠CAD=∠BAD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CAD=∠ADE，然后求出∠ADE=∠BAD，根据等角对等边可得AE=DE，然后根据等角的余角相等求出∠ABD=∠BDE，根据等角对等边可得DE=BE．【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠BAD，∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠ADE=∠BAD，∴AE=DE，∵BD⊥AD，∴∠ADE+∠BDE=∠BAD+∠ABD=90°，∴∠ABD=∠BDE，∴DE=BE=4．【点评】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，以及等角的余角相等的性质，熟记性质并准确识图，准确找出图中相等的角是解题的关键．【典例3-2】如图，△ABC中，∠C=2∠A，BD平分∠ABC交AC于D，求证：AB=CD+BC．（用两种方法）【分析】方法一：先在AB上取BE=BC，根据SAS证出△CBD≌△EBD，得出CD=ED，∠C=∠BED，再证明∠A=∠ADE，得出AE=DE=CD，最后根据AB=BE+AE，即可得出答案；方法二：先延长BC至F，使CF=CD，得出∠F=∠CDF，再利用AAS证出△ABD≌△FBD，得出AB=BF，最后根据BF=BC+CF=BC+CD，即可得出答案．【解析】解；方法一：在AB上取BE=BC，∵BD平分∠ABC交AC于D，∴∠CBD=∠EBD，∵在△CBD和△EBD中，，∴△CBD≌△EBD（SAS），∴CD=ED，∠C=∠BED，∵∠C=2∠A，∴∠BED=2∠A，∵∠BED=∠A+∠ADE，∴∠A=∠ADE，∴AE=DE，∴AE=CD，∵AB=BE+AE，∴AB=CD+BC；方法二：延长BC至F，使CF=CD，则∠F=∠CDF，∵∠ACB=∠F+∠CDF，∴∠ACB=2∠F，∴∠ACB=2∠A，∴∠A=∠F，在△ABD和△FBD中，，∴△ABD≌△FBD（AAS），∴AB=BF，∵BF=BC+CF，∴BF=BC+CD，∴AB=BC+CD．【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，用到的知识点是三角形的外角、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，关键是作出辅助线，构造全等三角形．针对训练3【变式3-1】如图，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于点E.求证：BE＝AD.【解析】证明：如图，延长BE、AC交于点F.∵∠1＝∠2，AE＝AE，∠AEB＝∠AEF＝90°，∴△AEB≌△AEF（ASA）.∴BE＝FE＝BF.∵∠3＝90°－∠F＝∠2，BC＝AC,∴△BCF≌△ACD（ASA）∴BF＝AD，BE＝AD.【点评】在几何解题的过程中，当遇到角分线或线段垂线时常考虑使用翻折变换，可保留原有图形的性质，且使原来分散的条件相对集中，以利于问题的解决．【变式3-2】如图，是的两条高线，且它们相交于F，于点H，与相交于点G，已知．（1）求证：．（2）若平分．求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据垂直的定义得到∠CEF=∠ADC=∠BDF=90°，求得∠ACD=∠DBF，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据DH⊥BC，求得∠HGB+∠HBG=90°，根据角平分线的定义得到∠HBG=∠FBD，求得∠DFG=∠DGF．【详解】解：（1）证明：∵CD，BE是△ABC的两条高线，∴∠CEF=∠ADC=∠BDF=90°，∵∠CFE=∠BFD，∴∠ACD=∠DBF，∵CD=BD，∴△ACD≌△FBD（ASA），∴BF=AC；（2）∵∠BDC=90°，CD=BD，∴△BDC是等腰直角三角形，∵DH⊥BC，∴∠HGB+∠HBG=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠HBG=∠FBD，∵∠DFB+∠DBF=90°，∴∠DFG=∠BGH，∵∠BGH=∠DGF，∴∠DFG=∠DGF．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．【变式3-3】如图，和均为等腰三角形，，，点A，D，E在同一直线上，连接．（1）如图1，若．①求证：；②则的度数为_______．（2）如图2，若，为中边上的高，试猜想，，之间的数量关系，并简要证明你的结论．【答案】（1）①见解析；②；（2）．理由见解析．【分析】（1）①证明即可；②根据①得到结合已知条件，即可求解；（2）由（1）结论，可得，都是等腰直角三角形，从而得出结论．【详解】（1）①证明：，，，，，，，在和中，，，．②由①，（2）结论：．理由：，都是等腰直角三角形，，由（1）可得，，，，．【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练以上性质定理是解题的关键．【能力提升3】【提升3-1】已知在△ABC中，AB=AC．（1）若D为AC的中点，BD把三角形的周长分为24cm和30cm两部分，求△ABC三边的长；（2）若D为AC上一点，试说明AC＞（BD+DC）．【答案】（1）三角形的三边长为16，16，22或20，20，14；（2）理由见解析【详解】试题分析：（1）分两种情况讨论：当AB+AD=30，BC+DC=24或AB+AD=24，BC+DC=30，所以根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质可求得，三边长为16，16，22或20，20，14；（2）根据三角形两边之和大于第三边即可得到AC＞（BD+DC）.试题解析：（1）设三角形的腰AB=AC=x，若AB+AD=24cm，则：x+x=24∴x=16三角形的周长为24+30=54cm所以三边长分别为16，16，22；若AB+AD=30cm，则：x+x=30∴x=20∵三角形的周长为24+30=54cm∴三边长分别为20，20，14；因此，三角形的三边长为16，16，22或20，20，14．（2）∵AC=AD+CD，AB=AC，∴2AC=AB+AD+CD＞BD+DC，∴AC＞（BD+DC）．【点评】主要考查了等腰三角形的性质；解题的关键是利用等腰三角形的两腰相等和中线的性质求出腰长，再利用周长的概念求得边长．同时考查了三角形三边关系。【提升3-2】如图，在中，为的中点，，，动点从点出发，沿方向以3个单位长度每秒的速度向点运动；同时动点从点出发，沿方向以3个单位长度每秒的速度向点运动，运动时间是秒．（1）在运动过程中，当______秒时，；（2）在运动过程中，当时，求出的值；（3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）不存在；答案见解析．【分析】（1）根据题意求出BP，CQ，结合图形用含t的代数式表示CP的长度，根据CP＝CQ，列式计算即可；（2）根据全等三角形的对应边相等列式计算；（3）根据全等三角形的对应边相等列式计算，判断即可．【详解】解：（1）由题意得BP＝CQ＝3t，则CP＝8﹣3t，∵CP＝CQ，∴8﹣3t＝3t，解得，t，则当t时，；（2）∵D为AB的中点，AB＝AC＝10，∴BD＝5，∵△BPD≌△CQP，∴BD＝CP，∴8﹣3t＝5，解得，t＝1，则当△BPD≌△CQP时，t＝1；（3）不存在，∵△BPD≌△CPQ，∴BD＝CQ，BP＝CP，则3t＝5，3t＝8﹣3t解得，t，t，∴不存在某一时刻t，使△BPD≌△CPQ．【点评】本题考查的是几何动点运动问题、全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．【提升3-3】如图，BD和CD分别平分△AB