北京大学2022年强基计划笔试数学试题（原卷版）

2022年北京大学强基计划笔试数学试题备注：数学一共20道题目1.已知与均为完全平方数且不超过2022，则正整数的个数为___________.2.已知凸四边形满足，则符合题意且不相似的凸四边形的个数为___________.3.已知正整数不超过2022且满足100整除，则这样的的个数为___________.4.已知表示不超过的整数，如.已知，则（）A.321 B.322 C.323 D.以上都不对5.已知六位数，满足，则所有满足条件的六位数之和为___________.不必为三位数）6.已知整数满足，则的正整数取值个数为___________.7.已知凸四边形满足：，则其内切圆半径取值范围为___________.8.已知，当最小时，___________.9.已知复数，满足与实部和虚部均属于，则在复平面上形成轨迹的面积为___________.10.在中，，其外接圆半径，且，则___________.11.在梯形中，在边上，有，则取值范围为___________.12.已知，则该方程所有实根个数与所有实根乘积比值为___________.13.若为十进制数，，记.已知，则各位数字的平方和___________200（横线上填大于，小于或等于）.14.已知数列满足，则最接近的整数为___________.15.已知是二次函数，，且，则___________.16.已知数列各项均为正整数，且中存在一项为3，可能数列的个数为___________.17.将不大于12正整数分为6个两两交集为空的二元集合，且每个集合中两个元素互质，则不同的分法有___________种.18.已知为正整数，.其中的系数为10，则的系数的最大可能值与最小可能值之和为___________.19.若三边长为等差数列，则的取值范围是___________.20.内接于椭圆菱形周长的最大值和最小值之和是（）A. B. C. D.上述三个选项都不对2023年北京大学强基计划测试数学试题考试时间2023年6月29日10：00-11：00，总共20道单选题，时间为1小时1.定义有理复数为实部和虚部均为有理数的复数，无理复数为实部和虚部为无理数的复数，半有理复数为实部和虚部一个是有理数一个是无理数的复数，已知在复平面内三角形的三个顶点对应的复数均为半有理复数，则三角形的重心对应的复数是（）A.只能是有理复数或半有理复数B.只能是无理复数或伴有理复数C.只能是半有理复数D.以上都不对2.方程在上解得个数为______.3.数列满足：，则除以7的余数为（）A.1B.2C.4D.以上都不对4.集合，则的元素两两互素的三元子集个数为_______.5．函数在上最大值是_______.6.集合，则的互不相交各元素之和为17的倍数的二元子集最多有_____个.7.方程的实根个数为_____.8.十边形内任意三条对角线都不会在其内部交于同一点，问这个十边形所有对角线可以把这个十边形划分为______个区域.9.一个三角形的一条高长为2，另一条高长为4，则这个三角形内切圆半径取值范围是______.10.表示正整数除以的余数之和，则满足的两位数的个数为______.11.已知正整数数列严格递增，，且，则这样的数组的个数为______.12.已知点，延长至使，那么点到距离最大值和最小值之积为______.13.三个互不相等的正整数最大公约数为20，最小公倍数为20000，那么这样的不同的正整数组的个数为______.14.由构成的集合元素的个数为______.15.已知集合，甲虫第一天在原点,第天从第天位置出发沿向量移动，其中，用表示第天甲虫可能在多少个不同的位置上，则______.16.方程解得个数为______.17.已知均为正整数，且均为正整数，则的最大值和最小值之和为______.18.已知，且是的一个排列，则得到的不同数的个数为______.19.已知正整数且，则在取得最大值的情况下，的最大值为______.20.由50个队伍进行排球单循环比赛，胜一局积1分，负一局积0分，且任取27支队伍能找到一个全部战胜其余26支队伍和一支全部负于其余26支队伍的，问这50支队伍总共最少有______种不同的积分.2023年北京大学强基计划测试数学试题解析1.定义有理复数为实部和虚部均为有理数的复数，无理复数为实部和虚部为无理数的复数，半有理复数为实部和虚部一个是有理数一个是无理数的复数，已知在复平面内三角形的三个顶点对应的复数均为半有理复数，则三角形的重心对应的复数是（）A.只能是有理复数或半有理复数B.只能是无理复数或伴有理复数C.只能是半有理复数D.以上都不对解：D重心为有理复数的例子：重心为无理复数的例子：重心为半有理复数的例子：2.方程在上解得个数为______.解：0设，则方程为，考虑方程实根，设其共轭虚根为，得，所以没有模长为1的根。3.数列满足：，则除以7的余数为（）A.1B.2C.4D.以上都不对解：B设数列满足：,则，进而，所以4.集合，则的元素两两互素的三元子集个数为_______.解：42三个奇数：两个奇数一个偶数，按照选择的偶数分类计算可得答案为5．函数在上最大值是_______.解：在上等号当且仅当取得。6.集合，则的互不相交各元素之和为17的倍数的二元子集最多有_____个.解：由，所以答案为7.方程的实根个数为_____.解：1设，则所以在上单调递增，其次数为5，只有一个实根.8.十边形内任意三条对角线都不会在其内部交于同一点，问这个十边形所有对角线可以把这个十边形划分为______个区域.解：246设分成区域的个数为，其相当于某个具有个面的多面体的投在其中一个面所在面的投影，则,其中所以.9.一个三角形的一条高长为2，另一条高长为4，则这个三角形内切圆半径取值范围是______.解：设三角形的边为，内切圆半径为，则则，所以.10.表示正整数除