切线长定理课件北师大版九年级数学下册

第三章圆3.7

切线长定理

理解、掌握切线长定理的概念.（重点、难点）学习目标新课导入前面我们已经学习了切线的判定和性质，已知⊙O和⊙O外一点P，你能够过点P画出⊙O的切线吗？1.猜想：图中的线段PA与PB有什么关系？2.图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？新课讲解切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长.PCO思考：切线长和切线的区别和联系？新课讲解切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量.新课讲解PABO切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.请你们结合图形用数学语言表达定理PA、PB分别切⊙O于A、B,连结POPA=PB∠OPA=∠OPB新课讲解练一练

1.已知⊙O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm.过点P画⊙O的两条切线，求这两条切线的切线长.如图，PA，PB为⊙O的切线．由题意可知OA＝3cm，PO＝6cm，OA⊥PA，∴PA＝(cm)．又由切线长定理知PA＝PB，∴PB＝33cm.解：新课讲解例典例分析如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，BC为⊙O的直径，连接AB，AC，OP.求证：(1)∠APB＝2∠ABC；(2)AC∥OP.新课讲解(1)由切线长定理知∠BPO＝∠APO＝∠APB，

而要证∠APB＝2∠ABC，即证明∠ABC＝

∠APB＝∠BPO，利用同角的余角相等可证；(2)证明AC∥OP，可用AC⊥AB，OP⊥AB，也

可用同位角相等来证．分析：新课讲解(1)∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，

∴由切线长定理知∠BPO＝∠APO＝∠APB，

PA＝PB，∴PO⊥AB，∴∠ABP＋∠BPO＝90°.又∵PB是⊙O的切线，∴OB⊥PB.∴∠ABP＋∠ABC＝90°.∴∠ABC＝∠BPO＝∠APB，即∠APB＝2∠ABC.证明：(2)∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，即AC⊥AB.由(1)知OP⊥AB，∴AC∥OP.课堂小结切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.当堂小练1.如图，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝50°，下列结论不正确的是(

)A．PA＝PB

B．∠APO＝25°C．∠OBP＝65°D．∠AOP＝65°C当堂小练2.如图，AB为半圆O的直径，AD，BC分别切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于点D，BC与CD相交于点C，连接OD，OC，对于下列结论：①OD2＝DE·CD；②AD＋BC＝CD；③OD＝OC；④S梯形ABCD＝

CD·OA；⑤∠DOC＝90°.其中正确的结论是(

)A．①②⑤B．②③④C．③④⑤D．①④⑤A拓展与延伸既有外接圆，又有内切圆的平行四边形是(

)A．矩形B．菱形C．正方形D．矩形或菱形C1.如图，PA，PB是☉O的切线，切点分别是A，B.若∠APB＝60°，OA＝3，则OP＝

.

6

课后练习2.(北师9下P96)如图，P为☉O外一点，PA，PB分别切☉O于点A，B，CD切☉O于点E且分别交PA，PB于点C，D，若PA＝4，则△PCD的周长为

.

8

A.32

B.34

C.36

D.383.(北师9下P95改编)如图，四边形ABCD的四条边都与☉O相切，且BC＝10，AD＝7，则四边形ABCD的周长为(

)B4.(北师9下P96、人教9上P100)(2023韶关期中)如图，△ABC的内切圆☉O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13，求AF，BD，CE的长.

方法2：设AF＝x，则AE＝x，CD＝CE＝AC－AE＝13－x，BD＝BF＝AB－AF＝9－x.由BD＋CD＝BC，可得(9－x)＋(13－x)＝14.解得x＝4.因此AF＝4，BD＝5，CE＝9.5.(人教9上P102改编)如图，直线AB，BC，CD分别与☉O相切于E，F，G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm.(1)求∠BOC的度数；(2)求BE＋CG的长；(3)求☉O的半径.解：(1)如图，连接OF.根据切线长定理得BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG.∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°，∴∠OBF＋∠OCF＝90°，∴∠BOC＝90°.(2)求BE＋CG的长；(3)求☉O的半径.

6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，☉O分别内切Rt△ABC的三边AB，BC，CA于D，E，F，半径r＝2，求△ABC的周长.解：根据切线长定理，得BD＝BE，CE＝CF，AD＝AF.如图，连接OE，OF，则OE⊥BC，OF⊥AC，又∠C＝90°，∴四边形OECF是矩形，又∵OE＝OF，∴矩形OECF是正方形，∴CE＝CF＝r＝2.又∵BC＝5，∴BE＝BD＝3.设AF＝AD＝x，∴AC＝x＋2，AB＝x＋3，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得(x＋2)2＋25＝(x＋3)2，解得x＝10.则AC＝12，AB＝13.故△ABC的周长是5＋12＋13＝30.

(1)证明：作DF⊥BC于点F，∵DB＝DC，∴CF＝BF.由题意知AD，BC是☉O的切线，∴∠DAB＝∠ABF＝∠DFB＝