福建省莆田市仙游第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页2024-2025学年下学期福建省仙游第一中学高二期中考试数学试卷2025.04（考试时间120分钟考试满分150分）选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的）展开式中的常数项为（

）A．10 B．-80 C．80 D．-10函数，是的导函数，则的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

3．某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（

）A．60种 B．120种 C．180种 D．240种若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．5．三个男生三个女生站成一排，已知其中女生甲不在两端，则有且只有两个女生相邻的概率是（

）A． B． C． D．6．已知对恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．2024年全民健身运动的主题“全民健身与奥运同行”，为了满足群众健身需求，某健身房近几年陆续购买了几台型跑步机，该型号跑步机已投入使用的时间（单位：年）与当年所需要支出的维修费用（单位：千元）有如下统计资料：234562.23.85.56.57根据表中的数据可得到线性回归方程为，则（

）A．与的样本相关系数B．C．表中维修费用的第60百分位数为6.5D．该型跑步机已投入使用的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元8．已知连续型随机变量服从正态分布，N12，14记函数，则的图象（A．关于直线x=12对称 C．关于点12，12成中心对称二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.下列命题正确的是（

）A．是一组样本数据，去掉其中的最大数和最小数后，剩下10个数的中位数小于原样本的中位数B．若事件A，B相互独立，且，，则事件A，B不互斥C．若随机变量，，则D．若随机变量X的方差D(X)=10，期望E(X)=4，则随机变量的期望E(Y)=2610．已知抛物线：的焦点为F，准线为，过点F的直线与抛物线交于，两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．以为直径的圆与准线相切C．设，则D．过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条11．在直三棱柱中，，，点，分别是，的中点，则下列说法正确的是（

）A．异面直线与所成的角为45°B．C．若点是的中点，则平面截直三棱柱所得截面的周长为453+D．点是底面三角形内一动点（含边界），若二面角的余弦值为33，则动点的轨迹长度为22

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12．已知是等差数列，若分别是函数的两个零点，则.13．新高考数学试卷共有3道多项选择题，每题有个选项，每题正确选项有2个或3个．得分规则如下：每道题满分为6分，全部选对得满分，有错选或者不选得0分，答案选项为2个的，只选一个正确选项得3分，答案选项为3个的，每选一个正确选项得2分．现甲，乙，丙，丁四位同学的作答和总得分情况如下表，则丁同学的总得分情况为．甲乙丙丁9题10题11题得分1091014．已知若函数y=fafx所有零点的乘积为1，则实数的取值范围是.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．已知是无穷正整数数列，定义操作为删除数列中除以余数为的项，剩下的项按原先后顺序不变得到新数列.若，，进行操作后剩余项组成新数列，设数列的前项和为.(1)求；(2)设数列满足，求数列的前项和.16．“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据：单位：人学历使用情况合计经常使用不经常使用本科及以上6535100本科以下5050100合计11585200(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？(2)某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲，乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，．（ⅰ）求比赛结束后甲获胜的概率；（ⅱ）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率．附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82817．在平面直角坐标系中，为坐标原点，F，T分别是椭圆：的左焦点，右顶点，过F的直线交椭圆C于A，B两点，当轴时，的面积为.(1)求；(2)若斜率为的直线交椭圆C于G，H两点，N为以线段为直径的圆上一点，求的最大值.18．某学校数学小组建立了如下的数学模型：将一个小盒里放入6个小球，其中4个黑球，2个红球.模型一为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则放回小盒并再往小盒里加入2个红球；模型二为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中.(1)分别计算在两种模型下，抽两次球，第二次取到的球是红球的概率；(2)在模型二的前提下：①求在第次抽球时，抽到的球恰好是第二个红球的概率（结果用表示）.②现规定当两个红球都被抽出来时停止抽球，且最多抽球10次，第10次抽球结束后无论盒中是否还有红球均停止抽球，记抽球的次数为，求的数学期望.19．泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式．当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：．注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，和表示在原点处的阶导数．(1)求的泰勒公式（写到含的项为止即可），并估算的值（精确到小数点后三位）；(2)当时，比较与的大小，并证明；(3)设，证明：．参考答案一、单选题题号12345678答案BACDDABC二、多选题题号91011答案BCDABCBCD三、填空题12．213．0或120,四、解答题15．(1)(2)【分析】（1）分析可知，进而可得，结合等差数列求和公式运算求解；（2）整理可得，利用裂项相消法运算求解.【详解】（1）因为，可知（满足除以3余数为1），当时，为3的倍数，进行操作，即删除，剩余，则，可得，所以.（2）由（1）可知，则，所以数列的前项和.16．(1)认为DeepSeek的使用情况与学历无关(2)（ⅰ）；（ⅱ）【分析】（1）先假设DeepSeek的使用情况与学历无关，再根据卡方的计算式计算出卡方的结果，和6.635去比，根据独立性检验的理论即可做出判断；（2）（i）对于一道题而言，先分析甲得分的可能情况并求出概率，即可知道比赛结束后甲获胜的所有可能情况，再根据重伯努利实验的概率计算式计算即可；（ii）由（i）可知甲获胜的概率，只须计算出比赛结束后甲获胜的同时乙恰好回答对1道题的概率，再按照条件概率的计算式计算即可.【详解】（1）零假设为：DeepSeek的使用情况与学历无关，根据列联表中的数据，可得，依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关；（2）（ⅰ）当甲，乙同时回答第道题时，甲得分为，，，，比赛结束甲获胜时的得分可能的取值为10，20，30，则，，，所以比赛结束后甲获胜的概率；（ⅱ）设“比赛结束后甲获胜”，“比赛结束后乙答对一道题”，，则，所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为．17．(1)(2)【分析】（1）在椭圆方程中，令，解得，得，再根据结合，求出答案；（2）设直线：与椭圆方程联立，由韦达定理求得的中点为，利用弦长公式求得，进而得到以为直径的圆的半径，由，三角换元利用三角函数性质求出最大值.【详解】（1）依题意有，当轴时，在椭圆方程中，令，解得，则，，又．解得，．（2）设直线：，设，，联立，得，所以，所以.，所以的中点为，所以.又的轨迹是以为圆心，半径的圆，所以.令，，记，又，所以，时，.18．(1)；(2)①；②【分析】（1）分为取到“黑红”和“红红”两种情况，分别对两种模型第二次取到的球是红球的概率进行计算即可；（2）①先算出第次是第一次取到红球，第次是第二次取到红球的概率为，则第次恰好抽到第二个红球的概率为中从到取值累加求和；②利用数学期望的定义和①中的概率公式可得到的表达式，再利用错位相减法计算得出期望值.【详解】（1）记在模型一下，第二次取到红球的概率为，则分为取到“黑红”和“红红”两种情况，则；记在模型二下，取到红球的概率为，同样分为取到“黑红”和“红红”两种情况，则；（2）①设第次是第一次取到红球，第次是第二次取到红球的概率为，则，则第次恰好抽到第二个红球的概率为中从到取值累加求和，即，利用等比数列求和公式即可得；②由题可知，的取值依次为，当时，，由数学期望的定义和①中的概率公式可知，，设，由错位相减法可得，所以.19．(1)，；(2)，证明见详解；(3)证明见解析.【分析】（1）求出，根据泰勒