湖南省娄底市部分学校2024-2025学年高一下学期4月期中数学试卷（含解析）

湖南省娄底市2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合，则（

）A． B．C． D．2．若复数（为虚数单位），则的虚部为（

）A． B． C．1 D．3．在中，为线段的靠近点的一个三分点，则（

）A． B．C． D．4．若，则（

）A． B．2 C．2023 D．20255．在中，角的对边分别为，则的外接圆面积为（

）A． B． C． D．6．已知，且，则的值为（

）A． B． C． D．7．在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（

）A．B．若，则C．若，则D．若，则三角形为锐角三角形8．已知单位向量、、满足，则的值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列各组向量中，不能作为基底的是（

）A． B．C． D．10．已知函数，则下列命题正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于直线对称C．函数在区间上单调递增D．将函数的图象向右平移个单位长度后所得的图象与函数的图象重合11．已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意a，都满足，则下述正确的是（

）A． B． C．是奇函数 D．若，则三、填空题12．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的是.13．已知向量，则在上的投影向量为.14．已知，且，则的最小值是.四、解答题15．娄底四中校内有块空地，为美化校园环境，学校决定将空地建成一个小花园，市园林公司中标该项目后须购买一批机器投入施工，据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转的时间（单位：年）的函数关系为.(1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润是多少？(2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？16．已知.(1)若，求的坐标；(2)若，求与的夹角的余弦值.17．在中，角的对边分别为.(1)求.(2)若，求的面积的最大值.18．在中，已知分别为上的点，且.(1)求；(2)求证：；(3)若是线段上的动点，满足均为正常数，求的最大值.19．已知函数.(1)解方程；(2)判断函数的奇偶性，并说明理由；(3)若函数在上只有一个零点，求的取值范围.湖南省娄底市2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题参考答案题号12345678910答案CABADBBDCDABD题号11答案ACD1．C【详解】由题意知.故选：C.2．A【详解】，则的虚部为.故选：A.3．B【详解】因为为线段的靠近点的一个三分点，所以，所以.故选：B4．A【详解】.故选：A.5．D【详解】由题设，则，所以外接圆半径，故圆的面积为.故选：D6．B【详解】因为，由于，则，令，则，于是有，整理可得，因为，解得，即，解得.故选：B.7．B【详解】A：由，错；B：由，则，又，则，对；C：对于钝角三角形，若，此时，错；D：由，则，故，所以为锐角，但不能说明三角形为锐角三角形，错.故选：B8．D【详解】因为单位向量、、满足，则，所以，所以，，解得，同理可得，因为.故选：D.9．CD【详解】对于A，令，则，显然无解，则向量不共线，故A不合题意；对于B，令，则，显然无解，则向量不共线，故B不合题意；对于C，令，则，解得，则向量共线，故C符合题意；对于D，令，则，解得，则向量共线，故D符合题意.故选：CD.10．ABD【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，A对；对于B选项，因为，故函数的图象关于直线对称，B对；对于C选项，当时，，所以，函数在区间上不单调，C错；对于D选项，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，D对.故选：ABD.11．ACD【详解】令，则，故A正确；令，则，则，故B错误；令，则，所以，又令，则，所以是奇函数，故C正确；令，则，所以，故D正确；故选：ACD12．①【详解】由斜二测画法规则知，斜二测画法保持平行性不变，因此原相交直线，利用斜二测画法得到的仍是相交直线，三角形的直观图一定是三角形，①正确；斜二测画法中只有平行于轴或在轴上的线段，长度保持不变，因此正方形、菱形的相邻两边，利用斜二测画法得到的线段不等，②③错误.故答案为：①13．【详解】在上的投影向量为.故答案为：.14．【详解】因为，且，所以，当且仅当，即，时取等号.故答案为：15．(1)第7年时，可获得最大利润45万元(2)【详解】（1）故当时，取得最大值，最大值为45，所以这批机器运转第7年时，可获得最大利润45万元；（2）记年平均利润为，则14当且仅当，即时，等号成立.16．(1)的坐标为或(2)【详解】（1）设，由题意有，解得或.故的坐标为或；（2）由化简整理得，则，解得，=.17．(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理可得，因为0，所以，，又，所以.（2）因为，由余弦定理可得，所以4，，当且仅当时，取的面积的最大值.18．(1)(2)证明见解析(3)【详解】（1），-，，所以，；（2），所以，所以；（3）因为，由三点共线可得，，所以，所以，当且仅当时取最大值.19．(1)(2)偶函数，理由见解析(3)2或【详解】（1）由得，所以，所以，令，解得，所以；（2）定义域为，关于原点对称，，所以函数为偶函数；（3）函数