新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县2024-2025学年高一下学期期中数学试卷（含解析）

新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县2024-2025学年高一下学期5月期中质量监测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知单位向量的夹角为，则（

）A．1 B． C． D．33．i是虚数单位，则的共轭复数是（

）A． B． C． D．4．已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（

）A． B． C． D．5．已知向量，则在上的投影向量为（

）A． B． C．3 D．66．下列命题正确的是（

）A．B．若向量，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为C．在中，是为锐角三角形的充要条件D．在中，若为任意实数，且，则P点的轨迹经过的内心7．苏州国际金融中心为地处苏州工业园区湖东CBD核心区的一栋摩天大楼，曾获2020年度CTBUH全球高层建筑卓越奖.建筑整体采用“鲤鱼跳龙门”之“鱼”作为象征主题，以“鱼跃龙门”为设计理念，呈鲤鱼飞跃之势寓意繁荣昌盛，大楼面向金鸡湖，迎水展开，如鱼尾般曼妙的弧线，从水面沿裙房一直延伸至主塔楼，某测量爱好者在过国际金融中心底部（当作点Q）一直线上位于Q同侧两点A，B分别测得金融中心顶部点P的仰角依次为，，已知AB的长度为330米，则金融中心的高度约为（

）A．350米 B．400米 C．450米 D．500米8．在平行四边形中，为的中点，，与交于点，若，，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．在中，下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．，是复数，下列说法正确的是（

）A．若，则是纯虚数B．若，则C．若，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点关于实轴对称D．若，则11．已知P是边长为1的正六边形内一点（含边界），且，则下列正确的是（

）A．的面积为定值 B．使得C．的取值范围是 D．的取值范围是三、填空题12．已知为两个不共线的非零向量，若与共线，则k的值为．13．中，若，则．14．已知的外接圆半径为1，则的最大值为．四、解答题15．已知复数在复平面上对应点在第一象限，且，的虚部为2.(1)求复数；(2)设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值.16．已知向量，不共线，点P满足，x，.证明：(1)若，则点P是线段AB的中点；(2)是A、B、P三点共线的充要条件.17．在平面直角坐标系中，点、、满足：在轴的正半轴上，的横坐标是，，．记是锐角，是钝角．(1)求的值；(2)求的值．18．如图，在平面四边形中，已知为等边三角形，记．(1)若，求的面积；(2)若，求的面积的取值范围．19．某高一数学研究小组，在研究边长为1的正方形某些问题时，发现可以在不作辅助线的情况下，用高中所学知识解决或验证下列有趣的现象．若分别为边上的动点，当的周长为2时，有最小值（图1）、为定值（图2）、到的距离为定值（图3）．请你分别解以上问题．(1)如图1，求的最小值；(2)如图2，证明：为定值；(3)如图3，证明：到的距离为定值．

新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县2024-2025学年高一下学期5月期中质量监测数学试题参考答案题号12345678910答案DCBCADCBACDAC题号11答案AC1．D【详解】复数在复平面内对应点，位于第四象限.故选：D.2．C【详解】由已知有，.故.故选：C.3．B【详解】，共轭复数为.故选：B4．C【详解】由正弦定理，所以，，则.故选：C5．A【详解】在上的投影向量为.故选：A6．D【详解】对于A：，故A错误；对于B：向量平移后，不改变方向和模长，故平移后与平移前为相等向量，故把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为，故B错误；对于C：由，即，即，又，所以为锐角，不能得到为锐角三角形，故充分性不成立，故C错误；对于D：由，可得又表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量，根据向量加法的几何意义知，以和为邻边的平行四边形为菱形，点在该菱形的对角线上，又菱形的对角线平分一组对角，故点在的平分线上，所以点的轨迹经过的内心，故D正确.故选：D7．C【详解】在中，由正弦定理得：，即，又，所以，所以金融中心的高度为.故选：C8．B【详解】因为在上，为的中点，设，因为，，三点共线，所以，因为、不共线，所以，解得，所以．故选：B．9．ACD【详解】对A，由三角形大边对大角可得若则，再由正弦定理可得，故A正确；对B，若，则，，，故B错误；对C，在中，，又在上为减函数，故，故C正确；对D，由A可得，若，则，则，故，即，故D正确.故选：ACD10．AC【详解】设，，对于选项A：若，则，可得或，当时，，则；当时，，不符合题意；综上所述：，，所以是纯虚数，故A正确；对于选项B：例如，则，符合题意，但，故B错误；对于选项C：若，则，可得，，可知在复平面内对应的点的坐标为，即，且在复平面内对应的点的坐标为，所以，在复平面内对应的点关于实轴对称，故C正确；对于选项D：若，，则，，满足，但、的大小无法比较，故D错误．故选：AC．11．AC【详解】对A，由可得，即，可得，因此，在正六边形的对角线上运动，所以到的距离为定值，所以的面积为定值，故A正确；对B，因为正六边形关于对角线对称，故，故B错误；对C，根据图形的对称性，当为中点时，取得最大值，当与重合时取得最小值，即的取值范围是，故C正确；对D，因为正六边形边长为1，所以平行线的距离，又当时，有最小值，故D错误.故选：AC.12．/【详解】由题意若与共线，则，则，因为为两个不共线的非零向量，故，解得.故答案为：13．【详解】中，若，则，则.故.故答案为：14．/【详解】取中点，设的外接圆圆心为，则，.又，故.，当且仅当反向共线时取等号.又，当且仅当时取等号.即的最大值为.故答案为：15．(1)(2)【详解】（1）设，，，由题意得，解得或，又因为复数在复平面上对应点在第一象限，所以.（2），，，所以对应的点，，，从而，，.16．(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）因为的，所以，即，所以，所以，所以P是线段AB的中点.（2）充分性：若，则，所以，所以，所以，所以A、B、P三点共线；必要性：因为A、B、P三点共线，所以存在实数x满足：，所以，即，所以，所以综上所述，是A、B、P三点共线的充要条件.17．(1)(2)【详解】（1）由题意，可知，因为，故可设点的坐标为，则有，所以，又为锐角，所以，因为钝角的终边与单位圆的交点的横坐标是，所以，则，所以；（2）由（1）知，，所以，因为，所以，又，所以，又，所以，所以．18．(1)(2)【详解】（1）在中由余弦定理，故，则，所以.又为等边三角形，故，且，故.（2）不妨设，在中，由余弦定理，.在中，由正弦定理，即，所以