材料力学 课件 第6章 弯曲变形

第6章弯曲变形主要内容

1、挠曲线近似微分方程2、用积分法求弯曲变形

3、用叠加法求弯曲变形

4、简单超静定梁5、提高弯曲刚度的一些措施

摇臂钻床的摇臂，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。6.1工程实际中的弯曲变形工程实践中的弯曲变形问题要求变形不能过大

桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。

但有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。

例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。挠度w——横截面形心处的铅垂位移。转角——横截面绕中性轴转过的角度。

xw挠曲线——变形后的轴线(弹性曲线)

。挠曲线

梁变形的描述：O1.挠曲线方程挠曲线方程：转角方程：6.2挠曲线近似微分方程w以向上为正，向下为负θ以逆时针为正，顺时针为负x挠曲线O

中性层曲率表示的弯曲变形公式（纯弯曲）（推广到横力弯曲）

由高等数学知识

挠曲线微分方程

--二阶非线性常微分方程方程简化

小变形时：正负号确定:M>0当y轴正方向向上时：方程恒取正号

挠曲线向上凸时(即开口向下时)

②小变形的等直梁应用条件：③y轴正方向向上时，挠度

w

向上为正，弯矩以向上凸为正——挠曲线的近似微分方程①M<0挠曲线向下凸时(即开口向上时)

取正号

取正号

6.3用积分法求弯曲变形式中积分常数C、D由边界条件确定

位移约束条件位移连续条件位移约束条件w=0w=0w=0q=0位移约束条件与连续条件自由端：无位移约束条件。位移连续条件和光滑条件挠曲线在B、C点连续且光滑连续：wB左=wB右光滑：qB左

=qB右

弯曲变形的对称点上qC=0

ACDMFBABFC写出梁的挠曲线方程的约束条件和连续条件ABCDFE

例1：思考：

该梁可分几段积分？各段边界点有多少位移约束与连续条件？分4段位移约束条件：A：位移连续条件：B：1个；C:2个；E:2个；2个；C:1个；D:无例2:

已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。解：由边界条件：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大挠度和最大转角分别为：θAθB练习：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。解：由边界条件：得：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：θB例4:

已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。解：由对称性，只考虑半跨梁ACD由连续条件：由约束条件：由对称条件：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大挠度和最大转角分别为：6.4用叠加法求弯曲变形一、荷载叠加法2、梁的变形很小1、小变形时，外荷载与内力分量弯矩成正比梁的挠度、转角跟弯矩成线性关系积分后得到的挠度w和转角w’与外荷载成线性关系荷载叠加法的应用例6：EI=常数，求AFq查附录IV:（由积分法得到的）Fq叠加：AAFAq=++例7：EI=常值，求ACBq(a)BACq(c)故：+q(b)CFqAFqBACqFFq思考：求图示梁C处的挠度和转角。ABCa/2qa/2qABCa/2qa/2qa/4qa/4ABCq/2CABq/2+=ABC例8:求图示外伸梁C截面的挠度和转角ABCABCqaqa2/2(1)仅让BC段变形(刚化AB,可视BC为悬臂梁)(2)仅让AB段变形(刚化BC)二、变形叠加法总挠度和转角变形叠加法：梁的任一横截面的总位移，等于各梁段单独变形(其余梁段刚化)在该截面引起的位移的代数之和。ABCABCABCqaqa2/2每次只让一段梁单独发生变形！！！例9:E常数,,求1.仅让BC段变形（刚化AB段）2.仅让AB段变形（刚化BC段）ABCABCF阶梯悬臂梁问题3.总转角和挠度FABC练习：用叠加法求图示梁C端的转角和挠度。解：(1)仅让BC段变形(刚化AB，可视AB为固定端）(2)仅让AB段变形(刚化BC）例11：

求图示组合梁B、D两处的挠度wB、wD

解：1.仅让AB段变形(刚化BC段)2.仅让BC段变形(刚化AB段)CC练习:梁横截面为边长为a的正方形，弹性模量为E1；拉杆横截面为直径为d的圆，弹性模量为E2。求:拉杆的伸长及AB梁中点的挠度。1.仅让AB段变形(刚化BC段)2.仅让BC段变形(刚化AB段)BCAFFaAB刚化w2例13：圆截面刚架如图所示，已知EI=常数，求ABCFABCBC刚化F2.AB刚化1.BC刚化AB弯曲BC扭转BC弯曲途径：寻找相当系统1、建立相当系统：解除多余约束，代以多余约束力，则包含了该多余约束力的静定系统称为原系统的基本静定系(或相当系统)2、在静定的相当系统上，根据几何相容条件，求解多余约束力3、求出多余约束力后，在相当系统上求解其他所有约束力、结构的内力、应力、变形相当系统的内力图、应力和变形即为原来的超静定结构的结果。6.5简单超静定梁qABl

例5：已知长度为l、弯曲刚度为EI的梁承受均布荷载，求图示超静定梁的支反力

解法一：ABql

ABqFB(1)几何相容条件(2)求解支反力

相当系统1将支座B看成多余约束

解法二：ABql

qBAmA(1)几何相容条件(2)求解支反力相当系统2将支座A限制截面转动的约束看成多余约束PABCDaa例6：为了提高悬臂梁AB的强度和刚度，用短梁CD加固。设二梁EI相同，求

(1)二梁接触处的作用力；

(2)加固前后B点挠度的比值；

(3)加固前后AB梁最大弯矩的比值。解：(1)相当系统如图几何相容条件:PABD1X1ABD1X1APBD1PABCDD1X1X1CD加固后B点挠度的变化(2)加固前B点挠度为：CPABDD1X1=5P/4X1=5P/4加固前后B点挠度的比值:(3)加固前后AB梁最大弯矩的比值加固前AB梁最大负弯矩:加固后AB梁最大负弯矩：-练习：图示结构AB梁的抗弯刚度为EI，CD杆的抗拉刚度为EA，已知P、L、a。求CD杆所受的拉力。PABCDa解：几何相容条件:ABPCDaFABl

练习：已知长度为3l、弯曲刚度为EI的梁承受集中力F，求图示超静定梁的支反力2l

例7：如图所示双跨连续梁均布力q和集中力偶ql2作用，求约束反力，并画出剪力图和弯矩图。qABCll/2l/2ql2以支座B为多余约束相当系统1在ql2单独作用下在FB单独作用下几何相容方程：解一：在q单独作用下qABCll/2l/2ql2FBqABCql2作剪力图和弯矩图qABCql2-+–+ll解二：MB几何相容方程为:相当系统2以支座B阻止截面左右两侧转角相等为多余约束qABCll/2l/2ql2CABqql2连续梁与三弯矩方程在建筑、桥梁以及机械中,为减小跨度很大直梁的弯曲变形和应力，常在其中间安置若干中间支座，这类结构称为连续梁。撤去中间支座，该梁是两端铰支的静定梁，因此中间支座就是其多余约束。012n-1n+1nl1l2lnln+1ln+2012n-1n+1n

如果设想将每个中间支座上的梁切开并装上铰链，将连续梁变成若干个简支梁，每个简支梁都是一个静定结构012n-1n+1nl1l2lnln+1铰链两侧截面上需加上大小相等、方向相反的一对力偶，与其对应的几何相容条件是两侧截面的转角相等。012n-1n+1nl1l2lnln+1012n-1n+1nl1l2lnln+1M1M2Mn-1MnMn+1ln+2ln+2ln+2

任意取出两个相邻跨度ln、ln+1，由于是连续梁，挠曲线在n支座处光滑连续,则

几何相容方程为:

对于连续梁的每一个中间支座都可以列出一个补充方程——三弯矩方程。012n-1n+1n012n-1n+1nl1l2lnln+1M1M2Mn-1MnMn+1ln+2MnMn-1n-1nn+1Mn+1lnln+1012n-1n+1n①校核刚度②截面设计③求容许荷载6.6提高弯曲刚度的一些措施梁的刚度条件为：梁的刚度计算包括：许可挠度与跨长之比[w/l]：土建工程中的梁：1/250~1/1000重要轴：1/5000~1/10000起重机大梁：1/700~1/1000一、梁的刚度校核传动轴在支座处：

[q]=0.001~0.005rad例14：

图示工字钢梁，l=8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3，[w]=l／500，E=200G