材料力学 课件 第7章 应力状态分析和强度理论

第7章应力状态分析与强度理论主要内容

1、应力状态概述

2、二向应力状态——解析法3、二向应力状态——图解法4、三向应力状态5、广义胡克定律6、强度理论7、莫尔强度理论低碳钢和铸铁的拉伸实验低碳钢铸铁●问题的提出强度条件：7.1应力状态概述基本变形下的强度条件

螺旋桨轴:A采用正应力强度条件还是切应力的强度条件？还是其它强度条件？(1)研究各点处的不同方位截面上的应力的变化规律(2)研究引起材料破坏的因素(屈服还是断裂？)，利用简单应力状态下的试验结果确定该因素极限值FFMAM经过一点不同方位截面上的应力不同一点处各个方位截面上的应力分布情况的集合——该点的应力状态。F

全应力分解为正应力和切应力FFCα全应力

Fpα轴向正应力σ=F/Aα受力构件内一点处不同方位截面上应力的集合

应力状态

怎么研究应力状态围绕该点取出一个边长为无穷小量的单元体(微元)§7-1应力状态的概念(1)一般取为正六面体；(2)每个面上应力分布可视作均匀；(3)任一对相互平行面上的应力可视作相等。xzy轴向拉伸扭转xzyOT梁的弯曲xzyppδD1.受内压的薄壁圆筒的应力

D—内直径

δ

—壁厚

t

x

x

——轴向应力

t——环向应力例1：薄壁圆筒的应力分析受内压薄壁圆筒横截面与水平面上均存在正应力，对于薄壁圆筒，可认为沿壁厚均匀分布当δ

D/20

时称为薄壁圆筒

t

x7.2二向和三向应力状态实例2.

薄壁圆筒的轴向应力根据平衡条件轴向正应力：取部分圆筒连同内部气体为研究对象pp

t

xδD3.薄壁圆筒的环向应力：环向应力：根据截取部分平衡：p(l·D)lpp

t

xδD径向应力：

t

x轴向应力：练习：圆球形薄壁容器，壁厚为t，内径为D，承受内压p作用，求各点处的应力状态7.3二向应力状态——解析法

二向应力状态（平面应力状态）

单元体有一对平行面上应力等于零，即不等于零的应力分量均处于同一坐标平面内

微体仅有四个面作用有应力；

应力作用线均平行于不受力表面；xzyxyz

yx

xydxdydz

x

x

y

y问题：已知

x

,

y,

xy

,

yx,

求：任意平行于z轴的斜截面上的应力符号规定：

—拉伸为正；

—使微元体内一点产生顺时针转向的矩为正；

—由横截面的外法线转向斜截面的外法线，以逆时针转向为正

研究对象：用

斜截面截取的单元体局部，研究单元体的平衡平衡方程nt

平衡方程nt

当时，此时对应单向应力状态

当时，此时对应纯剪切应力状态

xy

x

x

x

y

y

y

n

解：例2:

求图示，主平面A

主应力：主平面上的正应力

可以证明：受力构件内的任意一点，一定存在三个互相垂直的主平面。主平面和主应力主应力单元体：三个主平面构成的单元体主方向：主平面的法线方向xzy主平面：

切应力为零的平面三个都不为零—三向或空间应力状态。一个主应力为零—二向或平面应力状态；两个主应力为零—单轴应力状态；A

1

2

3主应力单元体

三个主应力用

1

、

2

、

3表示按代数值大小顺序排列即

1

≥

2

≥

3

7.4二向应力状态——图解法斜截面应力公式(平面应力状态)

对斜截面应力公式进行变换

在平面上，的轨迹？

圆结论：平面应力状态下各方向的应力轨迹为一个圆——应力圆/莫尔(Mohr)圆

—

坐标系下的圆：圆心坐标：半径：

o(x+y)/2R

x

xy

y

yxαx`y`o

C2αE(

,

)ABD(

x,

xy)D`(

y,-xy)2α0应力圆的画法在

—

坐标系中，标定横截面对应的点D(

x,xy)和水平面所对应的点D’(

y,-xy)

连D,D’交

轴于C点，以C圆心，CD为半径画应力圆圆心坐标：半径：A点面对应：应力圆上某一点的横坐标和纵坐标分别对应单元体某一方向截面上的正应力和切应力应力圆上的点与单元体的截面的对应关系

二倍角对应：半径转过的角度是斜截面法线旋转角度的两倍单元体互垂截面，

转向对应：半径旋转方向与斜截面法线旋转方向一致2aC对应应力圆同一点单元体平行对边,对应应力圆同一直径两端

斜截面上的正应力取极值条件可确定两个主平面o

C2αE(

,

)ABD(

x,

xy)D`(

y,-xy)2α0思考:最大切应力所在平面与最大正应力所在平面有何关系？A点B点单位：MPa40806060°例3：分别用解析法和图解法求图示单元体

(1)指定斜截面上的正应力和切应力;

(2)主应力值及主方向，并画在单元体上；解：法一解析法40806060°以上数据代入下式40806060°法二图解法40806060°

几种简单受力状态的应力圆

x

y纯剪切状态

oR=x双向等拉

o

x/2R=x/2C

o

C圆心坐标：半径：单向受力状态主应力单元体：六个平面都是主平面若三个主应力已知，求任意斜截面上的应力7.5三向应力状态

首先分析平行于主应力之一（例如

3

）的各斜截面上的应力。

3对斜截面上的应力没有影响。这些斜截面上的应力对应于由主应力

1和

2所画的应力圆圆周上各点的坐标。

同理，在平行于

2的各个斜截面上，其应力对应于由主应力

1和

3所画的应力圆圆周上各点的坐标

在平行于

1的各个斜截面上，其应力对应于由主应力

2和

3所画的应力圆圆周上各点的坐标。

单元体上与主应力之一平行的各个斜截面上的正应力和切应力，可由三个应力圆圆周上各点的坐标来表示。n与三个主方向都不平行的任意斜截面，弹性力学中已证明，其应力

n和τn可由图中阴影面内某点的坐标来表示。在三向应力状态情况下：τmax

作用在与σ2平行且与σ1和σ3的作用面方向成45°角的平面上例4：图示单元体最大切应力作用面是图（）单位：MPa答：例5:单元体各面上的应力如图所示，试求主应力值和最大切应力值。xyz20MPa20MPa20MPa30MPa解：由图知，z平面是一主平面，

z

为主应力，另外二主应力与

z无关将主应力大小排序为：最大切应力为：作应力圆：(20,20)

o(-20,-20)单轴应力状态下的应变（回顾）7.6位移和应变分量

为泊松比(横向变形系数)纵向应变横向应变正负号规定正应力：拉为正，压为负切应力：正面正向为正，负面负向为正，反之为负线应变：伸长为正，压缩为负切应变：直角减小为正，直角增大为负xzyO独立的应力分量：独立的应变分量：对各向同性材料，正应力只引起线应变，切应力只引起切应变。

x

z单元体在

x单独作用时有：同理，单元体在

y单独作用时：7.7广义胡克定律

x在

z单独作用时：

y

yxzy

x

y

z由叠加原理，在

x、y、z共同作用时：在切应力τxy、τyz

、τzx作用下有：广义胡克定律:(1)+(2)

xy

zx

yzxzy三向应力状态下的主应变和主应力关系

1

2

3也称为广义胡克定律，适合各向同性材料例6:图示矩形截面拉杆，截面宽为b，高h，材料的弹性常数E、

已知。在拉杆表面的图示位置有直角ABC，试求杆受拉力F后线段BC以及直角ABC的改变量。FF60o30oABCbh

x

30o

30o30o

120o解：拉杆各点处于单向应力状态由广义胡克定律，BC方向的线应变：由应力圆：

x=F/bh

o

x/2CFF60o30oABCbh

x

30o

30o30o

120o而直角ABC的改变量就是切应变

30o-120o，由广义胡克定律有：思考:图中单位体积改变量为零的条件?单位体积的改变量（体积应变）:各向同性材料的体积应变一般空间应力状态下:xyz

物体受外力作用而产生弹性变形时，在物体内部所储存的能量为应变能。单位体积的应变能称为应变能密度（比能）7.8复杂应力状态下的应变能密度P

lP

l设微元的三边长为dx,dy,dz作用于三对面上的力分别为三对面上的力相应位移为xyz结合广义胡克定律三向应力状态下的主应变能密度为一般情况下，单元体同时发生体积改变和形状改变。+=平均应力(a)体积改变(b)形状改变体积改变能密度形状改变能密度或畸变能密度一般空间应力状态下，应变能密度用6个应力分量来表示所以，单轴拉压应力状态下：平面纯剪切应力状态下：在小变形时，对应于每个应力分量的应变能密度均等于应力分量与相应的应变分量的乘积的一半，即：例7：图中所示的纯切应力状态,试求与各面呈45o方向角的面上的应力分量，并计算前后两种情形下的应变能密度，令二者相等，从而证明：解：

45°=-（a）情形下的应变能密度为：（b）情形下的应变能密度为：

45o(a)(b)

oR=

-45°=7.9强度理论问题的提出：低碳钢铸铁承受扭转荷载，不同的破坏形式竹—纵向开裂科学问题：不同材料的破坏机理

复杂应力状态建立强度条件的困难实验量大、难度大（三向加载困难、实验费用昂贵），总结规律困难。单向拉伸强度条件实验易测无数组合无数组合工程问题：建立材料的强度条件途径：寻找引起材料发生破坏的共同因素利用简单应力状态实验结果，得到许用应力，从而建立复杂应力状态下的强度条件强度理论——关于材料破坏或失效规律的假设寻找引起材料破坏或失效的共同因素确定复杂应力下与单轴拉伸破坏时的许用应力在安全程度上相当的相当应力材料失效的原因是应力、应变和应变能等诸因素中的某一因素引起的。无论是简单或复杂应力状态，引起失效的因素是相同的。塑性材料：屈服-关于屈服的强度理论两类破坏形式和两种强度理论铸铁拉伸铸铁扭转混凝土受压低碳钢拉伸低碳钢扭转脆性材料：断裂-关于断裂的强度理论一、关于脆性断裂的强度理论1、最大拉应力理论（第一强度理论）引起材料脆性断裂破坏的主要因素是最大拉应力强度条件：

不论材料处于何种应力状态，只要最大拉应力

1达到材料单向拉伸脆性断裂时的强度极限

b，材料即发生断裂。

r1为第一强度理论的相当应力单向拉伸强度极限工作应力第一主应力

1=b

2

3

1

=b第一强度理论的应用

铸铁试件拉伸断裂

铸铁试件扭转断裂

铸铁试件压缩试验第一强度理论适用范围第一强度理论失效

oR=x

x/2R=x/2C

o(

1,0)(0,0)试验证明，这一理论与铸铁、岩石、陶瓷、玻璃等脆性材料的拉断试验结果相符，这些材料轴向拉伸时的断裂破坏均发生于拉应力最大的横截面上

脆性材料的扭转破坏，也是沿拉应力最大的斜面发生断裂，这些都与最大拉应力理论相符但这个理论没有考虑其它两个主应力的影响断裂条件：

不论材料处于何种应力状态，只要最大拉应变

1达到材料单向拉伸断裂时的最大拉应变

1u，材料即发生断裂。工作应变：单轴拉伸极限应变:2、最大拉应变理论（第二强度理论）引起材料脆性断裂破坏的主要因素是最大拉应变一、关于脆性断裂的强度理论强度条件：第二强度理论的相当应力适用范围：

o(

b,0)(0,0)

煤、石料或砼等材料在轴向压缩试验时，如端部无摩擦，试件将沿纵向开裂；这与第二强度理论的结果吻合。缺点：三轴受拉的情况下，反而比单向受拉时不易断裂×

(

压,0)C

1

2

3

1铸铁拉压强度的关系直接实验第二强度理论预测受拉破坏：

x/2R=x/2C受压破坏：由第一强度理论由第二强度理论工程通常取铸铁扭转断裂纯剪：铸铁与的关系

oR=

1、最大切应力理论（第三强度理论）二、关于屈服的强度理论引起材料屈服的主要因素是最大切应力强度条件：简单，被广泛应用。缺点：未计及的影响。

不论材料处于何种应力状态，只要最大切应力

max达到材料单向拉伸屈服时的最大切应力

S，材料即发生屈服单向拉伸屈服时相应最大切应力工作应力最大切应力相当应力：

o(

s,0)(0,0)2、形状改变能密度理论（第四强度理论）二、关于屈服的强度理论引起材料屈服的主要因素是畸变能密度(形状改变能密度)

不论材料处于何种应力状态，只要畸变能密度vd达到材料单向拉伸屈服时的畸变能密度vdS

，材料即发生屈服。单向拉伸屈服时畸变能密度工作应力的畸变能密度单向拉伸屈服：第四强度理论的强度条件:这个理论和许多塑性材料的试验结果相符，用这个理论判断低碳钢的屈服失效是相当准确的。

o(

s,0)(0,0)

根据第三强度理论考察纯剪状态根据第四强度理论工程中一般取塑性材料与的关系

oR=强度理论的适用范围（1）一般情况

脆性材料：抵抗断裂(抗拉)的能力小于抵抗滑移(抗剪)的能力适宜用第