2025届高三数学“8+3+3”小题期末专项练（13）空间几何体的表面积和体积（新高考地区专用）（含答案或解析）

2025届高三数学“8+3+3”小题期末专项练（13）空间几何体的表面积和体积一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.不选、多选、错选均不得分.1．已知圆锥的底面周长为，其侧面积与半径为的球的表面积相等，则该圆锥的体积为（）A． B． C． D．2．四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，四条侧棱的长均为，则该四棱台的体积为（）A． B． C． D．3．陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺立体结构图．已知，底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积(单位：)是（）

A． B． C． D．4．已知一个圆台的上、下底面半径分别为、，它的母线长为，则这个圆台的体积为（）A. B. C. D.5．已知正三棱台的上底面边长，下底面边长，侧棱与底面所成角的正切值为2，则该正三棱台的体积为（）A.52 B. C. D.6．一圆柱放置于底面直径和高都是2的圆锥内，其底面放在圆锥底面上，则圆柱体积最大为（）A. B. C. D.7．若在长方体中，．则四面体与四面体公共部分的体积为（）A. B. C. D.18．三棱锥的底面是等边三角形，，二面角的大小为，若三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值等于（）A. B. C. D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（）A.圆柱的侧面积为 B.圆锥的侧面积为C.圆柱的侧面积与球的表面积相等 D.球的体积是圆锥体积的两倍10．如图所示，，，是圆锥底面圆周上的三个点，若是边长为的等边三角形，，，分别为，的中点，为线段的中点，则下列结论错误的是（）A. B.平面C.平面 D.三棱锥与三棱锥公共部分的体积为11．如图在正四棱柱中，底面正方形边长为，，为线段上的一个动点，则下列说法中正确的有（）A.已知直线为平面和平面ABCD的交线，则平面内存在直线与平行B.三棱锥的体积为定值C.直线与平面所成角最大时，D.的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．圆柱形玻璃杯中盛有高度为10cm的水，若放入一个玻璃球（球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同）后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为_________cm13.与圆台上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的表面积为__________．14.已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当该圆锥的侧面积最大时，它的体积为______．2025届高三数学“8+3+3”小题期末专项练（13）空间几何体的表面积和体积一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.不选、多选、错选均不得分.1．已知圆锥的底面周长为，其侧面积与半径为的球的表面积相等，则该圆锥的体积为（）A． B． C． D．【答案】【解析】设该圆锥的底面半径为，母线长为，则，解得．因为半径为的球的表面积为，即，解得，则圆锥的高．所以该圆锥的体积．故选：A2．四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，四条侧棱的长均为，则该四棱台的体积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】过，由正四棱台的性质可知：是该正四棱台的高，因为四边形是等腰梯形，所以，由勾股定理可知：，所以该四棱台的体积为，故选：C3．陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺立体结构图．已知，底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积(单位：)是（）

A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知：圆锥的母线长为，所以这个陀螺的表面积是.故选：C4．已知一个圆台的上、下底面半径分别为、，它的母线长为，则这个圆台的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】取圆台的轴截面，则四边形为等腰梯形，过点、在平面内分别作，，垂足分别为、，如下图所示：在梯形内，，，，则，故四边形为矩形，所以，，，在、中，，，，所以，，所以，，所以，，因此，该圆台的体积为.故选：D.5．已知正三棱台的上底面边长，下底面边长，侧棱与底面所成角的正切值为2，则该正三棱台的体积为（）A.52 B. C. D.【答案】C【解析】将正三棱台补成正三棱锥，则与平面所成角即为与平面所成角，设点在平面上的射影为，在平面上的射影为，则为的中心，为的中心，即为棱与底面所成的角，所以，由于，故，所以棱台的高，又上、下底面的面积分别为和，所以棱台的体积．故选：C.6．一圆柱放置于底面直径和高都是2的圆锥内，其底面放在圆锥底面上，则圆柱体积最大为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，作出其轴截面，设圆柱的底面半径为，高为，由，则，所以，因为，令，则，易知时，单调递增，时，单调递减，所以.故选：C.7．若在长方体中，．则四面体与四面体公共部分的体积为（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】如图：取与的交点为，取中点，连接，交于点，则三棱锥即为四面体与四面体的公共部分.因为.又，所以，所以.过作于点，因为平面，平面，所以.因为，平面，所以平面.所以为到平面的距离，其值为，点为的中点，所以点到平面的距离为：.所以.故选：C8．三棱锥的底面是等边三角形，，二面角的大小为，若三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，三棱锥外接球的半径为R，则，解得，设的外心为，该点是棱AC的中点，设等边的外心为，过点作平面APC的垂线，过点作平面ABC的垂线，两垂线交于点O，即为三棱锥外接球的球心．因为二面角的大小为，所以，于是，，，因为，即，解得，即，因为，所以当时，点P到平面ABC的距离最大，其最大距离为，所以三棱锥体积的最大值等于.故选：A.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（）A.圆柱的侧面积为 B.圆锥的侧面积为C.圆柱的侧面积与球的表面积相等 D.球的体积是圆锥体积的两倍【答案】ACD【解析】对于A，圆柱的底面直径和高都等于，圆柱的侧面积故A正确；对于B，圆锥的底面直径和高等于，圆锥的侧面积为，故B错误；对于C，圆柱的侧面积为，球的表面积，即圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确；对于D，球的体积为，圆锥的体积为，即球的体积是圆锥体积的两倍，故D正确．故选：ACD．10．如图所示，，，是圆锥底面圆周上的三个点，若是边长为的等边三角形，，，分别为，的中点，为线段的中点，则下列结论错误的是（）A. B.平面C.平面 D.三棱锥与三棱锥公共部分的体积为【答案】ABD【解析】对于A，因为是等边中边上的高，所以，因为，，分别是，的中点，所以，显然，故A项错误；对于B，因为三角形是边长为的等边三角形，三角形为等腰三角形，是的中点，所以，而，所以，这表明与不垂直，故B项错误；对于C，因为，分别是，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，故C项正确；对于D，连接，交于点，连接并延长，则由对称性可知必定交于点，则三棱锥与三棱锥公共部分即为三棱锥，因为，分别是，的中点，所以为的重心，所以，由上易知，圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，所以圆锥的高为，所以，所以三棱锥与三棱锥公共部分的体积为，故D项错误.故选：ABD.11．如图在正四棱柱中，底面正方形边长为，，为线段上的一个动点，则下列说法中正确的有（）A.已知直线为平面和平面ABCD的交线，则平面内存在直线与平行B.三棱锥的体积为定值C.直线与平面所成角最大时，D.的最小值为【答案】BC【解析】选项A，因为平面，且平面，所以平面和平面的交线，而与平面相交，则平面内不存在直线与平行，即不存在直线与直线平行，故错误；选项平面，所以点到平面的距离为定值，而三角形的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，故正确;选项C，记到平面到距离为，由选项B可知，为定值，记直线与平面所成角为，则，又正弦函数在上单调递增，则最大时,最大，从而即为最小时，此时，在中，,所以可得，故正确;选项，作平面与平面的展开图如图所示，则的最小值即为展开图中线段的长，中，，所以，从而中，由余弦定理可知，，从而的最小值为，故错误，故选:.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．圆柱形玻璃杯中盛有高度为10cm的水，若放入一个玻璃球（球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同）后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为_________cm【答案】15【解析】由题意玻璃球的体积等于放入玻璃球后的体积减去原来的体积.设玻璃球的半径为，即圆柱形玻璃杯的底面半径为则玻璃球的体积为，圆柱的底面面积为若放入一个玻璃球后，水恰好淹没了玻璃球，则此时水面高度为所以，解得故答案为：1513.与圆台上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的表面积为__________．【答案】##【解析】由题意，画出圆台的直观图，其中为圆台的母线长，，分别为上、下底面的圆心，点为内切球的球心，点为球与圆台侧面相切的一个切点.则由题意可得：，.因此可得：内切