高二升高三数学暑假作业07 离散型随机变量的分布列及数字特征（解析版）

限时练习：90min完成时间：月日天气：作业07离散型随机变量的分布列及数字特征1．离散型随机变量定义随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量2．离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的概率分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质：①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.3．离散型随机变量均值(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.4．离散型随机变量方差(1)设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根eq\r(DX)为随机变量X的标准差．(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．一、单选题1．已知离散型随机变量和满足关系式，且随机变量的概率分布表如下：013若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据分布列的性质和期望公式求出，再根据即可得解.【详解】由题意可得，解得，所以.故选：C.2．已知随机变量的分布列如表所示：0p其中，若，且，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据期望和方差的公式代入计算即可.【详解】因为，所以，，所以.所以.故选：A.3．近年来中国人工智能产业爆发式的增长，推动了AI电商行业的快速发展，已知2020-2023年中国AI解决方案提供商企业数量分别为1617，2106，2329，2896，从这4个数字中任取2个数字，当所取两个数字差的绝对值小于500时，随机变量；当所取两个数字差的绝对值不小于500时，随机变量，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，列出所有可能的情况，求出的分布列，即可求出.【详解】从这4个数字中任取2个数字，结果有6种，所取两个数字差的绝对值小于500的结果有2种，故，不小于500的结果有4种，故，所以．故选：．4．有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，现在进行三次独立投掷，记X为得到最大点数与最小点数之差，则X的数学期望（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意得的所有可能取值为，用古典概型算出相应的概率，进而即可求解.【详解】的所有可能取值为，记三次得到的数组成数组，满足的数组有：，共4个，所以，满足的数组有：，，共18个，所以，满足的数组有：，，，，共24个，所以，满足的数组有：，，，，，，共18个，所以，所以X的数学期望.故选：D.5．若随机变量的分布列如下表所示，则（

）01A． B．2 C． D．【答案】D【分析】由分布列的性质求，根据期望的定义求，再由期望的定义求，结合期望性质求.【详解】由已知可得，，，所以，所以，所以，所以，故选：D.二、多选题6．已知随机变量的分布列如下，则正确的是（

）12A． B．C．若，则 D．【答案】ABD【分析】利用分布列的性质求得的关系，再根据随机变量的概率公式与期望、方差公式即可得解.【详解】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，因为，所以，所以，故C错误；对于D，，则的分布列如下：14所以，则.故选：ABD.7．一个不透明的袋子中装有6个球，其中有个白球，其他均为黑球，这些球除颜色外动.大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设X为取出白球的个数，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据取出2个黑球，1个白球的概率为求出n的值，再求出X的分布列，根据数学期望和方差的定义即可计算.【详解】由题可知，，解得，A正确；X的可能取值为，，，，，B错误；∴，C正确；∴,D错误.故选：AC8．已知正四面体骰子的四个面分别标有数字1，2，3，4，正六面体骰子的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，抛掷一枚正四面体骰子，记向下的数字为X，抛掷一枚正六面体骰子，记向上的数字为Y，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】通过古典概型的概率计算公式即可判断A、B选项；通过X和Y的分布列，可以计算对应的期望和方差的大小关系.【详解】对选项A：正四面体骰子，记向下的数字为X，当时，对应的概率为，错误；对选项B：正六面体骰子，记向上的数字为Y，其中时，即，则，正确；对选项C、D：X的分布列为：X1234P则，且；Y的分布列为：Y123456P则，且，所以，C错误；，D正确；故选：BD三、填空题9．随机变量的取值为0，1，2，分布列如图：若，则．012【答案】/【分析】根据概率和为，确定，根据，确定，联立解出、，再根据求方差公式即可求解.【详解】根据题意有，即①，又因为，即，即②，联立①②，有，解得，所以，.故答案为：10．一批产品中次品率为5%，随机抽取一件，定义，则.【答案】/0.0475【分析】求出分布列再根据数学期望与方差公式求解即可.【详解】由题意，，可得分布列：10故，.故答案为：四、解答题11．有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场.第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立.(1)求前3局比赛甲都取胜的概率；(2)用表示前3局比赛中乙获胜的次数，求的分布列和数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）借助独立事件的概率乘法公式计算即可得；（2）写出的所有可能取值后计算相应概率即可得其分布列，借助分布列计算即可得期望.【详解】（1）前3局甲都获胜的概率为；（2）的所有可能取值为.其中，表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙输，则；表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙赢；或第1局乙赢，且第2局乙输，则；表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局是乙输，则；表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局是乙赢，则；所以的分布列为：0123故的数学期望为.12．五一假期后，高二年级篮球赛进入白热化阶段，甲、乙、丙三支种子队在进入半决赛之前不会相遇.他们都需要在最后一轮小组赛中战胜对手从而进入淘汰赛，然后在淘汰赛中胜出才能进入半决赛.已知甲队在小组赛最后一轮和淘汰赛中获胜的概率分别为和；乙队在最后一轮和淘汰赛中获胜的概率分别为和；丙队在最后一轮和淘汰赛中获胜的概率分别为和，其中.(1)甲、乙、丙三队中，谁进入半决赛的可能性最大；(2)若甲、乙、丙三队中恰有两队进入半决赛的概率为，求的值；(3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三队中进入半决赛的队伍数为，求的分布列及期望.【答案】(1)乙进入半决赛的可能性最大(2)(3)分布列见解析，【分析】（1）根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式，分别求得甲乙丙进入半决赛的概率，即可求解；（2）由甲、乙、丙三队中恰有两对进入半决赛的概率，结合列出方程，即可求解；（3）根据题意，得到的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望公式，即可求解.【详解】（1）解：由题意，甲队进入半决赛的概率为，乙队进入半决赛的概率为，丙队进入半决赛的概率为，因为，所以，显然乙队进入半决赛的概率最大，所以乙进入半决赛的可能性最大.（2）解：因为甲、乙、丙三队中恰有两对进入半决赛的概率为，所以，解得或，因为，所以.（3）解：由题意可知：甲、乙、丙三队进入半决赛的概率分别为，且随机变量的可能取值为，可得，，，，所以的分布列为:0123P所以，期望为.1．已知随机变量满足，则（

）A．或4 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据均值的性质可得，则即为，解方程求得答案.【详解】因为，所以，解得或（舍去）,故选：D2．已知随机变量的分布列是02P随机变量的分布列是357P下列选项中正确的是（

）A． B．当p增大时，递减C． D．当p增大时，递增【答案】D【分析】利用随机变量的期望公式、方差公式结合函数的性质一一判定选项即可.【详解】由离散型随机变量的期望公式可知，，显然A，B错误；由离散型随机变量的方差公式可知：，，即，故C错误；由，由二次函数的单调性可知D正确.故选：D3．（多选）随机地向4个器皿内投放4种不同的食物给4只狗仔喂食，设所投放的食物均落在器皿内，随机变量X为空器皿个数，则下列说法正确的是（

）A．随机变量X的取值为1，2，3 B．C． D．【答案】CD【分析】根据古典概型的概率公式，结合排列组合求解个数，即可求解分布列，进而结合选项即可逐一求解.【详解】由题意得随机变量X的可能取值为0，1，2，3，故A错误；则，，故B错误，C正确；又，，所以．故D正确．故选：CD．4．已知盒子中有5个球，其中有3个白球，2个黑球，从中随机取球.(1)若每次取1个，不放回，直到取到黑球为止，求第二次取到黑球的概率;(2)若每次取1个，放回，取到黑球停止，且取球不超过3次，设此过程中取到白球的个数为，求的分布列及其数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）根据条件，利用排列知识及古典概率公式，即可求出结果；（2）先求出的可能取值，再利用相互独立事件的概率公式求出对应取值的概率，即可求出分布列，再由期望的计算公式，即可求出结果.【详解】（1）因第二次取到黑球，则第一次取到白球，记第取到白球事件为，第取到白球事件为，则.（2）由题知的可能取值为，，，，，所以的分布列为0123的数学期望为.5．，，，四人进行羽毛球单打循环练习赛，其中每局有两人比赛，每局比赛结束时，负的一方下场，第1局由，对赛，接下来按照，的顺序上场第2局、第3局（来替换负的那个人），每次负的人其上场顺序排到另外2个等待上场的人之后（即排到最后一个），需要再等2局（即下场后的第3局）才能参加下一场练习赛.设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立.(1)求前4局都不下场的概率；(2)用表示前局中获胜的次数，求的分布列和数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）根据前4局A都不下场，由前4局A都获胜求解；（2）由的所有可能取值为0，1，2，3，4，分别求得其概率，列出分布列，再求期望.【详解】（1）前4局都不下场说明前4局都获胜，故前局都不下场的概率（2）依题意的所有可能取值为0，1，2，3，4，其中，表示第1局输，第4局是上场，且输，则；表示第1局输，第4局是上场，且赢或第1局赢，且第2局输，则；表示第1局赢，且第2局赢，第3局输，则；表示第1局赢，且第2局赢，第3局赢，第4局输，则；表示第1局赢，且第2局赢，第3局赢，第4局赢，则所以的分布列为01234故的数学期望为1．（多选）有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.类问题中的每个问题回答正确得分，否则得0分;类问题中的每个问题回答正确得分，否则得0分.已知小明能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.为使累计得分的期望最大，下列哪些条件下小明应选择先回答类问题（

）A．且 B．C．且 D．【答案】ACD【分析】在先回答类问题或先回答类问题的前提下通过题意分析出小明累计得分所有可能取值，逐一求概率，列出分布列并求出得分的数学期望，比较两个期望的大小即可得到应满足的条件.【详解】若先回答类问题由题意可知：得分的所有可能取值为，；；，所以的分布列为：

故，若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，；；，所以的分布列为：所以，若小明选择先回答类问题，欲使，解得，即，故选项D正确，选项B错误；当且，显然有成立，故选项A正确；当且，有，即，故选项C正确.故选：ACD.2．为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类.已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为.(1)设小明同学在两次借阅过程中借阅“期刊杂志”的次数为X，求X的分布列与数学期望；(2)若小明同学第二次借阅“文献书籍”，试分析他第一次借哪类图书的可能性更大，并说明理由.【答案】(1)分布列见解析，(2)小明第一次选择借阅“期刊杂志”的可能性更大，理由见解析【分析】（1）求出随机变量的取值，结合条件概率求出对应的概率，即可求出分布列和数学期望；（2）先求出，然后根据条件概率公式分别求出借阅两类图书的概率，比较大小即可解答.【详解】（1）设表示第次借阅“期刊杂志”，表示第次借阅“文献书籍”，，则.依题意，随机变量的可能取值为0，1，2.，，.随机变量的分布列为012所以.（2）若小明第二次借阅“文献书籍”，则他第一次借阅“期刊杂志”的可能性更大．理由如下：．若第一次借阅“期刊杂志”，则．若第一次借阅“文献书籍”，则．因为，所以小明第一次选择借阅“期刊杂志”的可能性更大.3．甲，乙两小朋友参加“欢乐六一”游戏比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分，设一轮比赛中甲赢的概率为，乙赢的概率为，求：(1)在一轮比赛中，甲的得分的概率分布列（列表表示）；(2)在两轮比赛中，甲的得分的均值与方差．【答案】(1)答案见解析(2)甲的得分的均值与方差分别为【分析】（1）根据题意一轮比赛中，甲得分的可能取值为，分别求解概率即可得分布列；（2）甲在二轮比赛中的得分可能取值为，分别求解概率，根据均值与方程的定义求解即可得结论.【详解】（1）一轮比赛中，甲得分的可能取值为，，则的概率分布列为：（2）甲在二轮比赛中的得分可能取值为，，，，，所以甲的得分的均值为，甲的得分的方差为，甲的得分的均值与方差分别为.1．（2021·浙江·高考真题）袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则，.【答案】1【分析】根据古典概型的概率公式即可列式求得的值，再根据随机变量的分布列即可求出．【详解】，所以，,所以,则．由于．故答案为：1；．2．（2022·浙江·高考真题）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则，．【答案】，/【分析】利用古典概型概率公式求，由条件求分布列，再由期望公式求其期望.【详解】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有种，所以，由已知可得的取值有1，2，3，4，，，，

所以,故答案为：，.3．（2022·全国·高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．【答案】(1)；(2)分布列见解析，.【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；（2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为．（2）依题可知，的可能取值为，所以，,，，.即的分布列为01020300.160.440.340.06期望.4．（2021·全国·高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，