2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级期末必刷常考题之直角三角形的边角关系

第22页（共22页）2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级期末必刷常考题之直角三角形的边角关系一．选择题（共7小题）1．（2025•深圳二模）如图，某条楼梯及栏杆可以看作直角三角形ABC与平行四边形ACDE构成，若∠D＝59°，则该楼梯的坡角∠BAC的值为（）A．59° B．41° C．31° D．49°2．（2025•台江区校级模拟）如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为α的位置OA1释放到OA处时，两次位置的高度差PA＝h．则秋千绳索OA的长为（）A．h1-cosα B．h1+cosα C．h3．（2025春•定海区期中）某河堤横断面如图所示，堤高BC＝10米，迎水坡AB的坡比是1：3（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则A．103米 B．20米 C．203米 D．4．（2025•西山区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则sinA＝（）A．45 B．35 C．34 5．（2025•五华区一模）如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，则下列结论不正确的是（）A．△ABC是直角三角形 B．sinB=C．cosC=255 D．6．（2025•郑州模拟）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（）A．155° B．125° C．115° D．65°7．（2025•宝安区校级模拟）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为60°，然后向后走190米，到达C处，此时看塔顶A，仰角为30°，则该主塔的高度是（）A．95米 B．953米 C．190米 D．190二．填空题（共5小题）8．（2024秋•海港区期末）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60°，BC＝8m，则旗杆AC的高度为m．9．（2025•兴庆区模拟）为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知∠ABE＝70°，车轮半径为33cm，当BC＝60cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为cm．（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.74）10．（2025•湖北模拟）如图是小区内一小山的等高线示意图，小明同学计划利用这个等高线示意图计算AB的距离，他在点B处测得A处的俯角为30°，则AB＝m．11．（2025•深圳二模）深圳某校数学创新小组使用圭表测量正午太阳高度角，圭表由铅垂的表AB（高2.0米）和水平的圭BC组成．冬至日正午，测得太阳光线AD与圭BC的夹角∠ADB＝44°，则冬至日正午表AB落在圭面BC的影长BD为米．（精确到0.1米，参考数据：sin44°≈0.69，cos44°≈0.71，tan44°≈0.97）12．（2025•海勃湾区模拟）如图，一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行(3-1)海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是三．解答题（共3小题）13．（2024秋•埇桥区期末）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝13，AD是BC边上的高，AD＝4．求CD和sinC．14．（2024秋•埇桥区期末）如图，一艘渔船在海面上航行，准备要停靠到渔港C，渔船航行到A处时，测得渔港C在北偏东60°方向上，为了躲避A、C之间的暗礁，这艘渔船调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东67°方向航行30海里到达渔港C．求渔船从A到C的直线距离．（结果精确到0.1海里，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，315．（2025•河北模拟）图﹣1是一款可旋转的太阳能路灯，太阳能光伏板面向太阳，且随太阳的升起到落下方向旋转，图﹣2是其侧面示意图，线段AB表示路灯的灯支架，PM为路灯灯杆．线段CD为太阳能光伏板，可绕点P旋转，CD＝1m，AB＝2m，∠BAM＝120°．（图中所有点均在同一平面）（参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，3≈1.73（1）当C，D，B三点共线时，∠DPM＝80°，求PA的长度；（2）若某一时刻太阳光线与地面l的夹角为60°时，恰好太阳能光伏板CD与PM所成夹角∠DPM＝60°，求太阳能光伏板CD落在地面l上的影子EF的长．

2024-2025学年下学期初中数学北师大新版九年级期末必刷常考题之直角三角形的边角关系参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）题号1234567答案CAAACCB一．选择题（共7小题）1．（2025•深圳二模）如图，某条楼梯及栏杆可以看作直角三角形ABC与平行四边形ACDE构成，若∠D＝59°，则该楼梯的坡角∠BAC的值为（）A．59° B．41° C．31° D．49°【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；平行四边形的性质．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】C【分析】先根据平行线的性质求出∠ACB，再根据直角三角形的两锐角互余求出∠BAC．【解答】解：∵四边形ACDE是平行四边形，∴AC∥DE，∴∠ACB＝∠D＝59°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣59°＝31°，故选：C．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握平行四边形的性质、直角三角形的性质是解题的关键．2．（2025•台江区校级模拟）如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为α的位置OA1释放到OA处时，两次位置的高度差PA＝h．则秋千绳索OA的长为（）A．h1-cosα B．h1+cosα C．h【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【答案】A【分析】由题意可知，OA＝OA1，再根据余弦的定义求解即可．【解答】解：由题意可知，OA＝OA1，∵cosα=OP∴OA1=OP又∵OP＝OA﹣PA＝OA1﹣PA＝OA1﹣h，∴OA1=∴OA＝OA1=h故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟记三角形函数的定义是解题的关键．3．（2025春•定海区期中）某河堤横断面如图所示，堤高BC＝10米，迎水坡AB的坡比是1：3（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则A．103米 B．20米 C．203米 D．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】运算能力．【答案】A【分析】由堤高BC＝10米，迎水坡AB的坡比1：3，根据坡度的定义，即可求得【解答】解：∵迎水坡AB的坡比1：∴BCAC∵堤高BC＝10米，∴AC=故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡比的概念是解题的关键．4．（2025•西山区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则sinA＝（）A．45 B．35 C．34 【考点】锐角三角函数的定义．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】A【分析】由勾股定理求出BC＝8，由锐角的正弦定义即可求出sinA的值．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，∴BC=ABsinA=BC故选：A．【点评】本题考查锐角三角函数定义，关键是掌握锐角的正弦定义．5．（2025•五华区一模）如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，则下列结论不正确的是（）A．△ABC是直角三角形 B．sinB=C．cosC=255 D．【考点】解直角三角形；勾股定理；勾股定理的逆定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】C【分析】根据勾股定理得出AB，AC，BC的长，进而利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，然后结合解直角三角函数的性质进而解答即可．【解答】解：由勾股定理得：AB=22+2∴BC2＝AB2+AC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∴sinB=ACBC=2故选：C．【点评】此题考查的是解直角三角形，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．6．（2025•郑州模拟）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（）A．155° B．125° C．115° D．65°【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】C【分析】根据题意结合图形可知β是重力G与斜面形成的三角形的外角，从而可求得β的度数．【解答】解：∵重力G的方向竖直向下，∴重力G与水平方向夹角为90°，由题意可得：∴β＝∠1＝α+90°＝115°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，正确进行计算是解题关键．7．（2025•宝安区校级模拟）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为60°，然后向后走190米，到达C处，此时看塔顶A，仰角为30°，则该主塔的高度是（）A．95米 B．953米 C．190米 D．190【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】B【分析】该主塔为AD＝x，在Rt△ABD中，利用正切函数的定义求得BD=33x，同理，在Rt△ACD中，求得CD=3x【解答】解：如图，该主塔为AD＝x，由题意，得：∠ADC＝90°，BC＝190，∠ACD＝30°，∠ABD＝60°，∵tan60°=∴BD=∵tan30°=∴CD=∵BC＝CD﹣BD＝190，∴3x∴x=95故选：B．【点评】本题考查解直角三角形的实际应用，正确进行计算是解题关键．二．填空题（共5小题）8．（2024秋•海港区期末）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60°，BC＝8m，则旗杆AC的高度为83m【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；几何直观．【答案】83【分析】在Rt△ABC中，tan∠ABC＝tan60°=ACBC，可得AC＝BC•tan60°=8【解答】解：在Rt△ABC中，tan∠ABC＝tan60°=AC∴AC＝BC•tan60°=8×3=83故答案为：83【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．9．（2025•兴庆区模拟）为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知∠ABE＝70°，车轮半径为33cm，当BC＝60cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为89cm．（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.74）【考点】解直角三角形的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．【答案】89．【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，作CH⊥AB于H，作AP⊥地面于P，利用三角函数求出CH+AP即可．【解答】解：如图2，作CH⊥AB于H，作AP⊥地面于P，∵∠ABE＝70°，车轮半径为33cm，BC＝60cm，∴AP＝33cm，∴CH＝BC•sin70°≈60×0.94＝56.4（cm），∴坐垫C离地面高度约为56.4+33≈89（cm），故答案为：89．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．10．（2025•湖北模拟）如图是小区内一小山的等高线示意图，小明同学计划利用这个等高线示意图计算AB的距离，他在点B处测得A处的俯角为30°，则AB＝100m．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】100．【分析】根据由等高线可知A、B两地的高度差为50米，然后点B处测得A处的俯角为30°求值即可．【解答】解：作示意图如下：由题意知：A、B两地的实际高度差为AH：550﹣500＝50（m），∠B＝30°，∠AHB＝90°，∴sinB=AHAB，即sin30°解得：AB＝100，故答案为：100．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是根据题意，作出直角三角形解决问题．11．（2025•深圳二模）深圳某校数学创新小组使用圭表测量正午太阳高度角，圭表由铅垂的表AB（高2.0米）和水平的圭BC组成．冬至日正午，测得太阳光线AD与圭BC的夹角∠ADB＝44°，则冬至日正午表AB落在圭面BC的影长BD为2.1米．（精确到0.1米，参考数据：sin44°≈0.69，cos44°≈0.71，tan44°≈0.97）【考点】解直角三角形的应用；平行投影．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．【答案】2.1．【分析】依据题意，圭表由铅垂的表AB（高2.0米）和水平的圭BC组成，结合冬至日正午，太阳光线AD与圭BC的夹角为∠ADB＝44°，从而在直角三角形ABD中，AB为垂直高度（2.0米），BD为水平影长，太阳高度角∠ADB＝44°，可得tan44°=ABBD，进而【解答】解：由题意，圭表由铅垂的表AB（高2.0米）和水平的圭BC组成，又∵冬至日正午，太阳光线AD与圭BC的夹角为∠ADB＝44°，∴在直角三角形ABD中，AB为垂直高度（2.0米），BD为水平影长，太阳高度角∠ADB＝44°．∴tan44°=∴BD=AB故答案为：2.1．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用、平行投影，解题时要熟练掌握并能利用锐角三角形函数求解是关键．12．（2025•海勃湾区模拟）如图，一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行(3-1)海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是1【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】1．【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据题意可得：AB＝（3-1）海里，然后设CD＝x海里，分别在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出AD和BD的长，从而列出关于x【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，由题意得：AB＝（3-1设CD＝x海里，在Rt△ACD中，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∴AD=CDtan在Rt△BCD中，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，∴BD=CDtan∵AD﹣BD＝AB，∴3x﹣x=3-解得：x＝1，∴CD＝1海里，∴渔船与灯塔C的最短距离是1海里，故答案为：1．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．三．解答题（共3小题）13．（2024秋•埇桥区期末）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝13，AD是BC边上的高，AD＝4．求CD和sinC．【考点】解直角三角形．【答案】见试题解答内容【分析】先解直角三角形ABD，得出BD的值，求出CD的值．再解直角三角形ADC求sinC的值．【解答】解：在Rt△ABD中，由勾股定理，得：BD=∴CD＝BC﹣BD＝10；在Rt△ADC中，AC=∴sinC=AD【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．14．（2024秋•埇桥区期末）如图，一艘渔船在海面上航行，准备要停靠到渔港C，渔船航行到A处时，测得渔港C在北偏东60°方向上，为了躲避A、C之间的暗礁，这艘渔船调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东67°方向航行30海里到达渔港C．求渔船从A到C的直线距离．（结果精确到0.1海里，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，3【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】AC的距离约为59.5海里．【分析】过B作BD⊥AC于D，在Rt△DBC中，利用正弦函数求得BD≈24.0海里，CD≈18.0海里，再在Rt△ABD中，利用正切函数求出AD≈41.5海里即可得到答案．【解答】解：如图，过B作BD⊥AC于D，由题意可知∠BAF＝30°，∠FAC＝60°，∠CBE＝67°，BC＝30海里，∴∠BAC＝30°，∠ABE＝∠BAF＝30°∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABE﹣∠CBE＝53°，在Rt△DBC中，∠BDC＝90°，∠C＝53°，BC＝30海里，∴∠CBD＝37°，∴CD＝BC•sin∠CBD≈30×0.60＝18.0海里，BD＝BC•cos∠CBD≈30×0.8＝24.0（海里），在Rt△ABD中，∠BDA＝90°，∠BAD＝30°，∴AD=∴AC＝AD+CD＝41.5+18.0＝59.5（海里），∴AC的距离约为59.5海里．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．15．（2025•河北模拟）图﹣1是一款可旋转的太阳能路灯，太阳能光伏板面向太阳，且随太阳的升起到落下方向旋转，图﹣2是其侧面示意图，线段AB表示路灯的灯支架，PM为路灯灯杆．线段CD为太阳能光伏板，可绕点P旋转，CD＝1m，AB＝2m，∠BAM＝120°．（图中所有点均在同一平面）（参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，3≈1.73（1）当C，D，B三点共线时，∠DPM＝80°，求PA的长度；（2）若某一时刻太阳光线与地面l的夹角为60°时，恰好太阳能光伏板CD与PM所成夹角∠DPM＝60°，求太阳能光伏板CD落在地面l上的影子EF的长．【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】（1）2.0m；（2）1.2m．【分析】（1）连接BD，过点B作BE⊥PM于点E，先解Rt△ABE，求得AE，BE，进而解Rt△PBE，求得PE，进而根据PA＝PE+AE，即可求解；（2）连接DF，CE，过点F作FH⊥CE于点H，设PM，DF交于点G，证明四边形CDFH是平行四边形，则FH＝CD＝1，解Rt△EFH，即可求解．【解答】解：（1）连接BD，过点B作BE⊥PM于点E，在Rt△ABE中，∠BAE＝180°﹣∠BAM＝60°，∴AE=ABcos∠当C，D，B三点共线时，在Rt△PBE中，∠BPE＝∠DPM＝80°，∴PE=∴PA＝PE+AE≈0.3+1.73≈2.0m；（2）如图，连接DF，CE，过点F作FH⊥CE于点H，设PM，DF交于点G，∵∠GFM＝60°，∠GMF＝90°，∴∠DPG＝∠MGF＝30°，又∠DPM＝60°，∴∠PDG＝90°，由题意可得：FH⊥DF∴CD∥FH，∴四边形CDFH是平行四边形，∴FH＝CD＝1，∵∠HEF＝∠DFM＝60°，EF=答：EF的长为1.2m．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，作出辅助线构造直角三角形．

考点卡片1．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．2．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．3．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．4．锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA＝∠A的对边除以斜边=a（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．即cosA＝∠A的邻边除以斜边=b（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边=a（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．5．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sinA=∠A的对边斜边=ac，cos（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）6