2025年天津市中考数学真题试卷及答案解析

第1页/共1页2025年天津市中考数学真题试卷及答案解析本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分．第I卷为第1页至第3页，第II卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟．答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回．祝你考试顺利！第I卷注意事项：1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点．2．本卷共12题，共36分．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.计算的结果等于（）A. B.3 C. D.2.如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A. B. C. D.3.估计的值在（）A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间4.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A. B. C. D.5.据年月日《天津日报》报道，今年“五一”小长假，全市跨区域人员流动量达到人次．将数据用科学记数法表示应为（）A. B. C. D.6.的值等于（）A.0 B.1 C. D.7.若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（）A. B. C. D.8.《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可以列出的方程为（）A. B.C. D.9.计算的结果等于（）A. B. C. D.110.如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（）A B. C. D.11.如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（）A. B. C.4 D.12.四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3第II卷注意事项：1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用铅笔）．2．本卷共13题，共84分．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13.不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为____________．14.计算的结果为____________．15.计算的结果为____________．16.将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是____________（写出一个即可）．17.如图，在矩形中，，，点在边上，且．（1）线段的长为____________；（2）为的中点，为的中点，为上一点，若，则线段的长为____________．18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上．（1）线段的长为____________；（2）直线与的外接圆相切于点．点在射线上，点在线段的延长线上，满足，且与射线垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）____________．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（1）解不等式①，得____________；（2）解不等式②，得____________；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（4）原不等式组的解集为____________．20.为了解某校学生每月参加志愿服务的时间（单位：h），随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（1）填空：的值为____________，图①中的值为____________，统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的众数和中位数分别为____________和____________；（2）求统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数；（3）根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为多少？21.已知与相切于点与相交于点D，E为上一点．（1）如图①，求的大小；（2）如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为3，求和的长．22.综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）．参考数据：，．23.已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题：（1）①填表：小华离开家的时间161850小华离家的距离

②填空：小华从公园返回家的速度为____________；③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式；（2）若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．24.在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，点在第一象限，等边的顶点，顶点在第二象限．（1）填空：如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________；（2）将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点对应点分别为．设．①如图②，若边与边相交于点，当与重叠部分为四边形时，试用含有式子表示线段的长，并直接写出的取值范围；②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．25.已知抛物线为常数，．（1）当时，求该抛物线顶点的坐标；（2）点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点．①当时，若点在抛物线上，，求点的坐标；②若点，以为边的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标．2025年天津市中考数学真题试卷及答案解析1.计算的结果等于（）A. B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查有理数的除法运算，利用除法的运算法则进行计算即可．【详解】解：；故选B．2.如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要查了简单组合体的三视图．根据从前面看到的图形是主视图，即可求解．【详解】解：根据题意得：它的主视图是故选：D3.估计的值在（）A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间【答案】C【解析】【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，进行判断即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴的值在3和4之间；故选C．4.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要查了轴对称图形．根据轴对称图形得定义，逐项判断，即可求解．【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选：B5.据年月日《天津日报》报道，今年“五一”小长假，全市跨区域人员流动量达到人次．将数据用科学记数法表示应为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．【详解】解：将数据用科学记数法表示应为．故选：B．6.的值等于（）A.0 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，代入各特殊角的三角函数值后按运算顺序计算，即可求解．【详解】解：故选：A．7.若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可．【详解】解：∵，∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大，∵点都在反比例函数的图象上，且，∴；故选D．8.《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可以列出的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查一元一次方程的应用，属于行程问题中的追及问题．解题的关键是找到两马路程相等的等量关系．设快马用天追上慢马，快马的总路程为里，慢马的总路程为里，根据题意，列出方程即可．【详解】解：设快马用天追上慢马，快马的总路程为里，慢马的总路程为里，根据题意得：．故选：A9.计算的结果等于（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】本题考查分式的加法运算，先通分化为同分母，再进行计算，最后约分化简即可．【详解】解：原式；故选A．10.如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可．【详解】解：由作法得：，根据题意无法得到与的大小关系，所以无法确定与的大小关系，故A选项错误；∵是的角平分线，∴，∵，∴，∴，故D选项正确；题干中没有说明的大小关系，∴无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误；根据题意无法得到的大小关系，故C选项错误；故选：D11.如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（）A. B. C.4 D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得．【详解】解：如图，连接，交于点，由旋转的性质得：，，∴，在和中，，∴，∴，∴垂直平分，∴，，∵，，∴，又∵，∴，∴，故选：D．12.四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，最大面积为；③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】2025年天津市中考数学真题试卷及答案解析【分析】本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．当时，点M在上，求出，可判断①；当时，点M在上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在上时，点M在上，结合的面积为，列出方程，可判断③．【详解】解：根据题意得：点M在上的运动时间为，点M在上的运动时间为，点N在上的运动时间为，①当时，点M在上，此时，，∴，∴，故①正确；②当时，点M在上，此时，，∴，∴，∵，∴当时，随t的增大而增大，∴当时，取得最大值，最大值为，即当时，的最大面积为，故②错误；③当点M在上时，∵的面积为，∴，解得：（舍去），∴当时，的面积为；当点M在上时，∵，，∴，即，此时，解得：，∴当时，的面积为；∴有两个不同的值满足的面积为，故③正确．故选：C第II卷注意事项：1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用铅笔）．2．本卷共13题，共84分．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13.不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为____________．【答案】【解析】【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，解题的关键是掌握概率公式．用绿球的个数除以总球的个数即可得出答案．【详解】解：袋子中绿球的个数为6，球的总数为13，所以抽到绿球的概率为，故答案为：．14.计算的结果为____________．【答案】【解析】【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的法则，进行计算即可．【详解】解：；故答案为：．15.计算的结果为____________．【答案】60【解析】【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式．利用平方差公式进行计算即可．【详解】解：，故答案为：60．16.将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是____________（写出一个即可）．【答案】2（答案不唯一，满足即可）【解析】【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平移规则求出新的解析式，根据图象经过第三、第二、第一象限，得到，进行求解即可．【详解】解：由题意，平移后的解析式为：，∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限，∴，∴；∴的值可以是2；故答案为：2（答案不唯一，满足即可）17.如图，在矩形中，，，点在边上，且．（1）线段的长为____________；（2）为的中点，为的中点，为上一点，若，则线段的长为____________．【答案】①.②.【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质与判定等等，熟知矩形的性质与勾股定理是解题的关键．（1）求出，再利用勾股定理即可求出答案；（2）过点M作于H，由矩形的性质得到，，证明，得到，，则可证明，可得，则；由勾股定理得，则，解直角三角形求出的长，进而可求出的长．【详解】解：（1）∵，，∴，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，故答案为：；（2）如图所示，过点M作于H，∵四边形是矩形，∴，，∵为的中点，∴，∴，又∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∴；在中，由勾股定理得，∵为的中点，∴，∴，∴，故答案为：．18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上．（1）线段的长为____________；（2）直线与的外接圆相切于点．点在射线上，点在线段的延长线上，满足，且与射线垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）____________．【答案】①.②.见解析【解析】2025年天津市中考数学真题试卷及答案解析【分析】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，正方形的性质，三角形中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．（1）利用勾股定理进行求解即可；（2）利用圆周角定理的推论，正方形的性质确定圆心，再根据全等三角形和等腰三角形的三线合一确定线段的中点，利用网格确定点为线段的中点，则为三角形的中位线，利用一组平行线确定点为线段的中点，证明和，得出，即，最后利用切线的性质和等腰三角形的性质，得出为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质得出．【详解】解：（1）由勾股定理得，故答案为：；（2）如图所示，点即为所求，作法：直线PA与射线BC的交点为；取圆与网格线的交点和，连接；取格点，连接，与相交于点；连接并延长，与相交于点，与直线相交于点；连接并延长，与网格线相交于点，连接，与网格线相交于点；连接，与线段的延长线相交于点，则点M，N即为所求．理由：∵，∴为圆的直径，∵为正方形对角线，∴,∴垂直平分线段，∴点为圆的圆心，∴，又，，，平分，∴点为线段的中点，由网格可知点为线段的中点，∴为的中位线，∴，∴点为线段的中点，∵，，，∴，又，∴，,即，延长交于点，∵，∴,，∴∵为圆的切线，∴，，,∴，即，∵，，∴为等腰三角形，∴，∴点即为所求．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19.解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（1）解不等式①，得____________；（2）解不等式②，得____________；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（4）原不等式组的解集为____________．【答案】（1）（2）（3）作图见解析（4）【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，（1）根据移项，合并同类项即可得解；（2）根据移项，合并同类项即可得解；（3）根据不等式的解集在数轴上表示的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线，据此画出图形；（4）根据一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，据此确定不等式组的解集；解题的关键是掌握：①不等式的解集在数轴上表示的方法；②一元一次不等式组的解集确定的原则．【小问1详解】解：移项，得：，合并同类项，得：，∴解不等式①，得：，故答案为：；【小问2详解】移项，得：，合并同类项，得：，∴解不等式②，得：，故答案为：；【小问3详解】把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图所示：2025年天津市中考数学真题试卷及答案解析【小问4详解】原不等式组的解集为：，故答案为：．20.为了解某校学生每月参加志愿服务的时间（单位：h），随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（1）填空：的值为____________，图①中的值为____________，统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的众数和中位数分别为____________和____________；（2）求统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数；（3）根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为多少？【答案】（1）40，25，4，3（2）这组数据的平均数是（3）估计该校学生每月参加志愿服务时间是4h的人数约为350【解析】【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图的结合，求总数，部分的百分比，众数，中位数，加权平均数，利用样本频数预估总体频数等内容，解题的关键是熟练掌握以上概念和公式，并灵活应用．（1）利用求总数，部分的百分比，众数，中位数的公式和定义进行求解即可；（2）利用加权平均数公式进行求解即可；（3）利用样本频数预估总体频数即可．【小问1详解】解：；3小时人数所占的百分比为，∴；∵在该组数据中4出现的次数最多，∴众数为4；中位数为排序后的第20位和21位的平均数，∴中位数为；故答案为：40，25，4，3；【小问2详解】解：该组数据的平均数为，∴这组数据的平均数是；【小问3详解】解：在所抽取的样本中，每月参加志愿服务的时间是4h的学生占，根据样本数据，估计该校1000名学生中，每月参加志愿服务的时间是4h的学生约占，有.估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为350．21.已知与相切于点与相交于点D，E为上一点．（1）如图①，求的大小；（2）如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为3，求和的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：（1）连接，切线的性质得到，三线合一，求出的度数，圆周角定理求出的度数即可；（2）平行线的性质，结合三角形的外角的性质，得到，直径得到，解，进行求解即可．【小问1详解】解：连接．与相切于点，．又，平分．∴．，．在中，，．【小问2详解】由（1）知：．，．为的一个外角，．由题意，为的直径，．又的半径为3，则：．在中，，．22.综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）．参考数据：，．【答案】世纪钟建筑的高度约为【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用．延长与相交于点，在Rt和中，分别求得和，再根据，列式计算求解即可．【详解】解：如图，延长与相交于点，根据题意，可得，有，，，，，在Rt中，，，在中，，．，．．．答：世纪钟建筑的高度约为．23.已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题：（1）①填表：小华离开家的时间161850小华离家的距离

②填空：小华从公园返回家的速度为____________；③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式；（2）若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（1）①②③（2）【解析】【分析】本题主要考查了函数的图形，数形结合的数学思想，求分段函数的解析式，一次函数和不等式相结合等内容，解题的关键是准确从图形中获取信息．（1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可；②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可；③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可；（2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集．【小问1详解】解：①小华去书店的速度为，1分钟时小华离家的距离为；由图可知18分钟时，小华离家的距离为；50分钟时，小华离家的距离为；故答案为：；②小华返回家的速度为故答案为：；③由①得小华去书店的速度为，∴当时，；由图可知，当时，；当时，假设直线解析式为，将代入解析式得，解得∴；综上，；小问2详解】解：如图所示，为妈妈的图形，根据题意可知，小华妈妈的速度为，所以其直线解析式为，当时，令，解得，经验证，符合题意；令，解得，经验证，符合题意；结合图形，当时，．24.在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，点在第一象限，等边的顶点，顶点在第二象限．（1）填空：如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________；（2）将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点的对应点分别为．设．①如图②，若边与边相交于点，当与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围；②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（1）（2）①，②【解析】【分析】（1）作于点，作于点，根据等边三角形的性质，结合勾股定理进行求解即可；（2）平移的性质，得到，求出的长，解直角三角形求出的长，线段的和差表示出的长，当点落在轴上之后，直至点与点重合之前，重叠部分为四边形，求出的范围即可；（3）分，和三种情况进行讨论求解即可．【小问1详解】解：作于点，作于点，∵均为等边三角形，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴；【小问2详解】①∵平移，∴，∵，∴，∴，∴，当点落在轴上时，此时，点为的中点，则：，当点与点重合时，，∴当与重叠部分为四边形时，；②当时，则重叠的部分为四边形，如图，作轴，由（1）和（2）①可知：，，，∴，∴当时，的值最小，为；∴；设交轴于点，则：，∴当时，此时点于重合，与点重合，重叠的部分恰为，∴；当，随着的增大而减小，∴当时，有最小值，此时点轴，如图：此时重叠部分为五边形，，∵，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，由平移可得：，，∴，∴，∴，2025年天津市中考数学真题试卷及答案解析同法可得：，∴；综上：．【点睛】本题考查坐标与图形，等边三角形判定和性质，勾股定理，解直角三角形，二次函数求最值等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．25.已知抛物线为常数，．（1）当时，求该抛物线顶点的坐标；（2）点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与轴的交点．①当时，若点在抛物线上，，求点的坐标；②若点，以为边的的顶点在抛物线的对称轴上，当取得最小值为时，求顶点的坐标．【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】本题考查了二次函数的综合应用，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键；（1）待定系数法求解析式，即可求解；（2）①根据，得出抛物线解析式为，点在第四象限，过点作轴于点，证明，进而得出点的坐标为，代入解析式，解方程，即可求解；②在轴上点的左侧取点，使，连接．在中，根据勾股定理，，得出,根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得．根据平行四边形的性质得出当点在线段上时，取得最小值，即，勾股定理可得，进而代入，求得点，可得直线的解析式为．求得点的坐标为，根据平移的性质即可得出点的坐标为．【小问1详解】解：，∴该抛物线的解析式为，，∴该抛物线顶点的坐标为；【小问2详解】①∵点在抛物线上，∴，即，又，点，，∴抛物线解析式为，如图，点在第四象限，过点作轴于点，，∴，，∴．∴，又，∴，，∵，∴，∴点的坐标为，∵点在抛物线上，，整理得，，解得∵，∴不合，舍去，∴，∴点的坐标为；②∵，∴，在轴上点的左侧取点，使，连接．，得．，．∴，则．在中，根据勾股定理，，．∴．．又点，得．．即根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，得．又中，．得．．当点在线段上时，取得最小值，即．在中，，．将代入，得．解得（舍）．∴．点．直线的解析式为．设点的横坐标为，则．得．点的坐标为．线段可以看作是由线段经过平移得到的，点的坐标为．数学思维能力已成为数学教育的核心目标之一。本研究旨在探讨初中数学思维方法策略的理论基础和实践应用，为提升数学教学质量提供参考。初中阶段是学生数学思维发展的关键时期，有效的思维方法策略不仅能帮助学生掌握数学知识，更能培养其逻辑推理、抽象概括和问题解决等核心能力。本研究将从数学思维的基本概念出发，分析初中生数学思维的特点，并提出相应的培养策略。一、数学思维的基本概念数学思维是指运用数学的观点、方法和语言进行思考和解决问题的过程。它具有抽象性、逻辑性、精确性和创造性等特点。在初中阶段，数学思维主要表现为逻辑推理、空间想象、数学建模和问题解决等能力。根据认知发展阶段理论，初中生的思维正处于从具体运算向形式运算过渡的关键期。这一阶段的学生开始能够进行抽象思维，但仍需要具体经验的支持。因此，在数学教学中，教师需要根据学生的认知特点，设计合适的思维训练活动。数学思维在初中教育中的重要性不言而喻。它不仅关系到学生数学成绩的提高，更是培养其科学素养和创新精神的基础。良好的数学思维能帮助学生更好地理解数学概念，掌握解题方法，并在实际生活中应用数学知识解决问题。二、初中生数学思维发展的特点初中生的数学思维发展呈现出明显的阶段性特征。初一学生仍较多依赖具体形象思维，而初三学生则逐渐发展出较强的抽象思维能力。这种发展不是线性的，而是呈现出螺旋上升的特点，在不同数学内容领域表现出不同的发展速度。在数学学习过程中，初中生常见的思维障碍包括：概念理解不深刻、逻辑推理不严密、问题解决策略单一等。这些障碍往往导致学生在面对复杂问题时感到困难。研究表明，这些障碍的形成既与学生的认知发展水平有关，也与教学方法不当密切相关。影响初中生数学思维发展的因素是多方面的。内在因素包括学生的智力水平、学习动机和元认知能力；外在因素则涉及教师的教学方法、家庭环境和课程设置等。其中，教师的教学策略对学生数学思维的发展起着关键性的引导作用。三、初中数学思维方法策略研究针对概念理解，教师应采用"概念形成"策略，通过具体实例引导学生发现数学概念的本质属性。例如，在教授函数概念时，可以从生活中的变化关系入手，帮助学生建立变量对应的思维模式。在问题解决方面，"启发式教学"策略尤为有效。教师可通过示范解题思维过程，展示如何分析问题、制定计划和验证结果。同时，鼓励学生采用多种解题方法，培养其思维灵活性。课堂实践表明，"思维可视化"策略能显著提升教学效果。通过思维导图、流程图等工具，将抽象的思维过程具象化，有助于学生理解和掌握数学思维方法。此外，"合作学习"策略也能促进学生间的思维碰撞，拓展思考角度。四、培养初中生数学思维能力的策略建议教师专业发展是提升学生数学思维能力的关键。学校应定期组织教师参加思维教学培训，更新教学理念和方法。同时，建立教师交流平台，分享成功的思维培养案例和经验。在课程设计方面，建议采用"螺旋式课程"模式，将重要的数学思维方法贯穿于不同年级的教学内容中。通过反复接触和深化理解，帮助学生逐步掌握高阶思维技能。此外，可开设数学思维拓展课程，为有兴趣的学生提供深入学习的机会。家校合作也不容忽视。学校应通过家长会、专题讲座等形式，帮助家长了解数学思维培养的重要性，并提供家庭辅导建议。例如，鼓励家长与孩子一起解决生活中的数学问题，在实践中锻炼思维能力。五、结论本研究系统探讨了初中数学思维方法策略的理论与实践。研究表明，科学有效的思维方法策略能显著提升学生的数学学习效果和问题解决能力。教师应根据学生的认知发展特点，灵活运用多种教学策略，创造有利于思维发展的学习环境。未来的研究可进一步探讨信息技术在数学思维培养中的应用，以及不同文化背景下数学思维发展的差异性。同时，需要开发更有效的评估工具，准确测量学生数学思维的发展水平。总之，培养初中生的数学思维能力是一项系统工程，需要教师、学校和家长的共同努力。只有通过持续的研究和实践，才能不断提升数学思维教学的质量，为学生的终身学习奠定坚实基础。加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程

■一元二次方程的二次函数的关系大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对它也有很深的了解，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。也就是该方程的解了。

■一元二次方程的解法大家知道，二次函数有顶点式，大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解。①配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解。②分解因式法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解。③公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b