高三数学第一轮总复习考点教学设计 数列归纳法

高三数学第一轮总复习考点教学设计数列归纳法高考命题分析数学归纳法在高考试题中常以解答题出现，主要有证明不等式、证明恒等式和整除三个方面的应用，考题又以数列问题为背景。值得注意的是将数学归纳法与探索性的问题综合起来出现一些非常新颖的题型。考点回顾：1.数学归纳法的内容：数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种重要方法，它的内容是：（1）验证当n取第一个值时结论正确，这一步骤称为奠基步骤，是归纳的基础。（2）假设当时结论成立，并以此推出当时结论成立，这一步骤称为递推步骤。2.数学归纳法的应用：在应用数学归纳法时要重点掌握以下几种类型：（1）等式问题（2）不等式问题（3）数列问题（4）整除问题考点训练EG1、自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.（1）求xn+1与xn的关系式；（2）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（3）设a＝2，b＝1，c=1,为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论.解（1）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1，n∈N*，从而由（*）式得因为x1>0，所以a>b.猜测：当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.（3）若b的值使得xn>0，n∈N*由xn+1=xn(3－b－xn),n∈N*,知0<xn<3－b,n∈N*,特别地，有0<x1<3－b.即0<b<3－x1.而x1∈(0,2)，所以由此猜测b的最大允许值是1.下证当x1∈(0,2)，b=1时，都有xn∈(0,2),n∈N*①当n=1时，结论显然成立.②假设当n=k时结论成立，即xk∈(0,2),则当n=k+1时，xk+1=xk(2－xk)>0.又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2,所以xk+1∈(0,2)，故当n=k+1时结论也成立.由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).综上所述，为保证对任意x1∈(0,2),都有xn>0，n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1.EG2、已知数列（1）证明（2）求数列的通项公式an.解：（1）方法一用数学归纳法证明：1°当n=1时，∴，命题正确.2°假设n=k时有则而又∴时命题正确.由1°、2°知，对一切n∈N时有方法二：用数学归纳法证明： 1°当n=1时，∴；2°假设n=k时有成立，令，在[0，2]上单调递增，所以由假设有：即也即当n=k+1时成立，所以对一切（2）下面来求数列的通项：所以,又b0=－1，所以EG3、已知函数设数列}满足，数列}满足（Ⅰ）用数学归纳法证明；（Ⅱ）证明本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问题的能力，满分12分。（Ⅰ）证明：当因为a1=1，所以………………2分下面用数学归纳法证明不等式（1）当n=1时，b1=，不等式成立，（2）假设当n=k时，不等式成立，即那么………………6分所以，当n=k+1时，不等也成立。根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立。…………8分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，所以实战训练1、已知某个命题与正整数有关,如果当时该命题成立,那么可以推得时该命题也成立.现已知时该命题不成立,则(C)A时该命题成立B时该命题不成立C时该命题不成立D时该命题成立2、用数学归纳法证明:时,在证明过程的第二步从n=k到n=k+1成立时,左边增加的项数是.()3、设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三直线不过同一点.若用表示这n条直线交点的个数，=；当n>4时，=.（用n表示）14．5，4、已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数.设数列的各项为正，且满足（Ⅰ）证明（Ⅱ）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当时，对任意b>0，都有本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想.（Ⅰ）证法1：∵当即于是有所有不等式两边相加可得由已知不等式知，当n≥3时有，∵证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式（i）当n=3时，由知