高中数学新课程创新教学设计案例50篇48-50不等式

48不等式的性质教材分析这节的主要内容是不等式的概念、不等式与实数运算的关系和不等式的性质．这部分内容是不等式变形、化简、证明的理论依据及基础．教材通过具体实例，让学生感受现实生活中存在大量的不等关系．在不等式与实数运算的关系基础上，系统归纳和论证了不等式的一系列性质．教学重点是比较两个实数大小的方法和不等式的性质，教学难点是不等式性质的证明及其应用．教学目标1.通过具体情境，让学生感受现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等关系与不等式的联系，会用不等式表示不等关系．2.理解并掌握比较两个实数大小的方法．3.引导学生归纳和总结不等式的性质，并利用比较实数大小的方法论证这些性质，培养学生的合情推理和逻辑论证能力．教学设计一、问题情境教师通过下列三个现实问题创设不等式的情境，并引导学生思考．1.公路上限速40km／h的路标，指示司机在前方行驶时，应使汽车的速度v不超过40km／h，用不等式表达即为v≤40km／h．2.某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价改为x元，怎样用不等式表示销售的总收入的不低于20万元？x·［80000－2000（x－25）］≥200000．3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm的3倍，试写出满足上述所有不等关系的不等式．设600mm钢管的数量为x，500mm的数量为y，则通过上述实例，说明现实世界中，不等关系是十分丰富的，为了解决这些问题，须要我们学习不等式及基本性质．二、建立模型1.教师精讲，分析我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大，用不等式表示为ａ＞ｂ，即ａ减去ｂ所得的差是一个大于0的数．一般地，设ａ，ｂ∈R，则ａ＞ｂａ－ｂ＞0，ａ＝ｂａ－ｂ＝0，ａ＜ｂａ－ｂ＜0．由此可见，要比较两个实数的大小，只要考查它们的差就可以了．例如，比较（ａ＋3）（ａ－5）与（ａ＋2）（ａ－4）的大小就可以作差变形，然后判断符号．2.通过问题或复习，引导学生归纳和总结不等式的性质（1）对于“甲的年龄大于乙的年龄”，你能换一种不同的叙述方式吗？（2）如果甲的身高比乙高，乙的身高比丙高，你能得出甲与丙哪个高吗？（3）回忆初中已学过的不等式的性质，试用字母把它们表示出来．用数学符号表示出上面的问题，便可得出不等式的一些性质：定理1如果ａ＞ｂ，那么ｂ＜ａ；如果ｂ＜ａ，那么ａ＞ｂ．定理2如果ａ＞ｂ，且ｂ＞ｃ，那么ａ＞ｃ．定理3如果ａ＞ｂ，那么ａ＋ｃ＞ｂ＋ｃ．定理4如果ａ＞ｂ，且ｃ＞０，那么ａｃ＞ｂｃ；如果ａ＞ｂ，且ｃ＜０，那么ａｃ＜ｂｃ．3.定理1～4的证明关于定理1～4的证明要注意：（1）定理为什么要证明？（2）证明定理的主要依据或出发点是什么？（3）定理的证明要规范，每步推理要有根据．（4）关于定理3的推论，定理4的推论1，可由学生独立完成证明．4.考虑定理4的推论2：“如果ａ＞ｂ＞０，那么ａn＞ｂn（ｎ∈N，且ｎ＞0）”的逆命题，得出定理5定理5如果ａ＞ｂ＞０，那么（ｎ∈N，且ｎ＞1）．由于直接证明定理5较困难，故可考虑运用反证法．三、解释应用［例题］1.已知ａ＞ｂ，ｃ＜ｄ，求证：ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．证法1：∵ａ＞ｂ，∴ａ－ｂ＞0．又ｃ＜ｄ，∴ｄ－ｃ＞0．∴（ａ－ｃ）－（ｂ－ｄ）＝（ａ－ｂ）＋（ｄ－ｃ）＞0，∴ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．证法2：∵ｃ＜ｄ，∴－ｃ＞－ｄ．又ａ＞ｂ，∴ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．［练习］1.判断下列命题的真假，并说明理由．（1）如果ａｃ2＞ｂｃ2，那么ａ＞ｂ．（2）如果ａ＞ｂ，ｃ＞ｄ，那么ａ－ｄ＞ｂ－ｃ．四、拓展延伸1.如果30＜ｘ＜42，16＜ｙ＜24，求ｘ＋ｙ，ｘ－2ｙ及的取值范围．2.如果ａ1＞ｂ1，ａ2＞ｂ2，ａ3＞ｂ3，…，ａn＞ｂn，那么ａ1＋ａ2＋ａ3＋…＋ａn＞ｂ1＋ｂ2＋ｂ3＋…＋ｂn吗？为什么？3.如果ａ＞ｂ＞0，那么吗？（其中为正有理数）49一元二次不等式教材分析一元二次不等式的解法是高中数学的一个重要内容，它是进一步学习不等式的基础，同时是解决有关实际问题的重要方法之一．这节课通过具体例子，借助二次函数的图像求解不等式，进而归纳、总结出一元二次不等式，一元二次方程与二次函数的关系，得到利用二次函数图像求解一元二次不等式的方法．最后，说明一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组，由此又引出了简单分式不等式的解法．这节内容的重点是一元二次不等式的解法，难点是弄清一元二次不等式、一元二次方程与二次函数的关系．教学目标1.让学生经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程．2.通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，熟练掌握应用二次函数图像解一元二次不等式的方法．3.通过一元二次不等式转化为一元一次不等式组的解法，让学生体会等价转化的数学思想，培养学生的逻辑推理能力．教学设计一、问题情境1.出示问题（1）某产品的总成本ｃ（万元）与产量ｘ（台）之间满足关系：ｃ＝3000＋20ｘ－0.1ｘ2，其中ｘ∈（0，240），ｘ∈Ｎ，若每台产品售价25万元，试求生产者不亏本时的最低产量ｘ．引导学生建立一元二次不等式模型：由题意，得销售收入为25ｘ（万元），要使生产者不亏本，必须使3000＋20ｘ－0.1ｘ2≤25ｘ，即ｘ2＋50ｘ－30000≥0．（2）国家为了加强对某特种商品生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知每件产品70元，不加收附加税时，每年大约产销100万件，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元（即税率为R％），则每年的产销量要减少10R万件．要使每年在此项经营中所收取的附加税税金不少于112万元，问R应怎样确定．2.引导学生建立一元二次不等式模型设产销量为每年x（万件），则销售收入为每年70x（万元），从中征收的税金为70x·R％（万元），并且ｘ＝100－10R．由题意，知70（100－10R）·R％≥112，即R2－10R＋16≤0．如何求解以上两个一元二次不等式呢？二、建立模型1.对于不等式ｘ2＋50ｘ－30000≥0，可以借助二次函数的图像来解决设二次函数f（ｘ）＝ｘ2＋50ｘ－30000，抛物线开口向上，与ｘ轴交点的横坐标是相应二次方程ｘ2＋50ｘ－30000＝0的解．此时ｘ1＝－200，ｘ2＝150．如图，所谓解不等式ｘ2－50ｘ－30000≥0，就相当于求使函数f（ｘ）≥0的ｘ的集合．考虑图像在ｘ轴及其上方的部分，即f（ｘ）≥0，相应的ｘ的集合｛ｘ｜ｘ≤－200或ｘ≥150｝就是不等式的解集．结合实际，可知生产者不亏本时的最低产量为150台．运用完全类似的方法，可以求解不等式R2－10R＋16≤0的解集为｛R｜2≤R≤8｝．2.教师明晰设ａ＞0，解一元二次不等式ａx2＋ｂｘ＋ｃ＞0（＜0），首先，设ｆ（ｘ）＝ａs2＋ｂｘ＋ｃ．（1）计算Δ＝ｂ2－4ａｃ，判断抛物线ｙ＝ｆ（ｘ）与ｘ轴交点的情况．（2）若Δ≥０，解一元二次方程ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝0，得两根为ｘ1，ｘ2，（ｘ1≤ｘ2）．（3）结合（1）（2）画出ｙ＝ｆ（ｘ）的图像．（4）解不等式ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＞0，就相当于使ｆ（ｘ）＞0．考虑图像在ｘ轴上方的部分，即ｆ（ｘ）＞0，相应的ｘ的集合就是ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＞０的解集．解不等式ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＜0，就相当于使ｆ（ｘ）＜0．考虑图像在ｘ轴下方的部分，即ｆ（ｘ）＜0，相应的ｘ的集合就是ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＜0的解集．根据上述内容，结合图像写出不等式的解集．思考：对于一元二次不等式的二次项系数ａ，如果ａ＜0，上述结论如何？三、解释应用［例题］1.解不等式2ｘ2－3ｘ－2＞0．解：∵Δ＝（－3）2－4×2×（－2）＝25＞0，方程2ｘ2－3ｘ－2＝0的两根为ｘ1＝－，ｘ2＝2，∴不等式2ｘ2－3ｘ－2＞0的解集为｛ｘ｜ｘ＜－或ｘ＞2｝．2.解不等式－ｘ2＋2ｘ－3≥0．3.已知不等式ｍｘ2－（ｍ－2）ｘ＋ｍ＞0的解集为R，求ｍ的取值范围．解：（1）当ｍ＝0时，原不等式可化为2ｘ＞0，解集不是R．（2）当ｍ＜0时，抛物线ｙ＝ｍｘ2－（ｍ－2）ｘ＋ｍ开口向下，解集也不是R．（3）当ｍ＞0时，须满足［练习］1.解下列不等式．（1）－3ｘ2＋6ｘ＞2．（2）4ｘ2－4ｘ－1＞0．（3）ｘ2－3ｘ＋5＞0．（4）－6ｘ2－ｘ＋2≤0．4.以每秒ａ（ｍ）的速度从地面垂直向上发射子弹，t（ｓ）后，子弹上升的高度ｘ可由ｘ＝ａｂ－4.9ｔ2确定．已知发射后5ｓ，子弹上升的高度为245ｍ，问：子弹保持在245ｍ以上高度有多少秒？四、拓展延伸一元二次不等式（ａｘ＋ｂ）（ｃｘ＋ｄ）＞0（＜0）也可以根据实数运算的符号法则求解，如解不等式（ｘ＋4）（ｘ－１）＜0．注意到不等式左边是两个ｘ的一次式的积，右边是0，那么它可以根据积的符号法则化为一次不等式组：50基本不等式：教材分析“”的证明学生比较容易理解，学生难理解的是“当且仅当ａ＝ｂ时取‘＝’号”的真正数学内涵，所谓“当且仅当”就是“充分必要”．教学重点是定理及其应用，难点是利用定理求函数的最值问题，进而解决一些实际问题．教学目标1.理解两个实数的平方和不小于它们积的2倍这一重要不等式的证明，并能从几何意义的角度去解释，形成数形结合的完美统一．2.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明，及其几何意义，会用这两个重要不等式解决简单的实际应用题．3.通过定理的证明培养学生的逻辑推理能力，通过定理的应用揭示数学的应用价值．教学设计一、问题情境教师出示问题，引导学生分析、思考：某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800ｍ3，深为3ｍ．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？二、建立模型1.通过比较ａ2＋ｂ2与2ａｂ的大小，引入重要不等式．∵ａ2＋ｂ2－2ａｂ＝（ａ－ｂ）2，∴当ａ≠ｂ时，（ａ－ｂ）2＞0；当ａ＝ｂ时，（ａ－ｂ）2＝0．即（ａ－ｂ）2≥0，从而有ａ2＋ｂ2≥2ａｂ．2.结论明晰定理1如果ａ，ｂ∈Ｒ，那么ａ2＋ｂ2≥2ａｂ（当且仅当ａ＝ｂ时，取“＝”号）．思考：对于定理1和定理2，当且仅当ａ＝ｂ时取“＝”号的具体含义是什么？三、解释应用［例题］1.已知ｘ，ｙ都是正数，求证：小结；上述结论是我们用定理求最值的依据，可简述为和为定值积最大，积为定值和最小．2.设法解决本节课开始提出的问题．因此，当水池的底面是边长为40ｍ的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价为297600元．3.0求证：在直径为ｄ的圆内接矩形中，面积最大的是正方形，并且