26届高三备考核心微专题 函数单调性与应用

2.函数的单调性与应用一．真题汇编1．（2024年新课标全国1卷）已知函数为，在R上单调递增，则取值的范围是（

）A． B． C． D．解析：因为在上单调递增，且时，单调递增，则需满足，解得，即的范围是.故选：B.2．（2023·全国·高考真题新高考1卷）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．解析：函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是.故选：D3．（2023·全国·高考真题新高考2卷）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（

）．A． B．e C． D．解析：依题可知，在上恒成立，显然，所以，设，所以，所以在上单调递增，，故，即，即的最小值为．故选：C．4．（2023·全国·高考真题乙卷）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是__________.（凌晨讲数学，更多优质资料，请前往公众号下载）解析：由函数的解析式可得在区间上恒成立，则，即在区间上恒成立，故，而，故，故即，故，结合题意可得实数的取值范围是.故答案为：.5．（2020年新高考2卷）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．解析：由得或，所以f(x)的定义域为因为在上单调递增，所以在上单调递增所以，故选：D6．（2020年新高考1卷）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（

）A． B．C． D．解析：因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在(0,+∞)上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或，解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D.7．（2020年全国2卷）设函数，则f(x)（

）A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减解析：由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.故选：D.8．（2020年全国1卷）若，则（

）A． B． C． D．解析：设，则为增函数，因为所以，所以，所以.，当时，，此时，有当时，，此时，有，所以C、D错误.故选：B.9．（2020年全国2卷）若，则（

）A． B． C． D．解析：由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，，，，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.10．(2019年全国3卷)设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则()A． B．C． D．解析：是上的偶函数，．，又在(0，+∞)单调递减，，，故选C．11．（2018·全国·高考真题）若在是减函数，则的最大值是A． B． C． D．解析：因为，所以由得，因此，从而的最大值为，故选：A.11．(2017年高考数学新课标1卷理科)函数在单调递减,且为奇函数．若,则满足的的取值范围是 ()A． B． C． D．解析：因为为奇函数且在上单调递减,要使成立,则满足,所以由得,即使成立的满足,选D．12．（2017年全国2卷）函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是．A． B． C． D．解析：是奇函数，故；又是减函数，，即则有，解得，故选D.13．（2015年全国1卷）设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是A． B．(−1,0)∪(1,+∞)C． D．解析：构造新函数,，当时.所以在0,+∞上单减，又，即.所以可得,此时，又为奇函数，所以在上的解集为：.故选A.14．（2017年全国3卷）设函数则满足的x的取值范围是_________.解析：由题意得：当时，恒成立，即；当时，恒成立，即；当时，，即.综上，x的取值范围是.15．（2014年全国2卷）已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是_________.解析：因为是偶函数，所以不等式，又因为在上单调递减，所以，解得.二．考点汇编1.判断给定函数的单调性2.利用单调性（结合奇偶性）解不等式3.已知单调性求参数4.利用单调性之间比较多元变量之间的大小1.复合函数单调性问题例1．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．解析：函数在上是减函数，当时，恒成立，而函数在区间上不单调，因此，不符合题意，当时，函数在上单调递增，于是得函数在区间上单调递减，因此，并且，解得，所以实数的取值范围是.故选：D例2．已知函数，则（

）A．是奇函数，且在上是增函数B．是奇函数，且在上是减函数C．是偶函数，且在上是增函数D．是偶函数，且在上是减函数解析：由题意可得：且，由，故是偶函数；当时，，令，在时为单调递增函数，而是单调递增函数，故函数在时为单调递增函数，故选：C例3．使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（

）A． B． C． D．解析：由函数在区间上单调递减，得在区间上单调递减，所以，解得.结合A，B，C，D四个选项，知使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是.故选：C.例4．已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．解析：依题意在上恒成立且，又可看成的复合函数，单调递减，欲使是减函数，只需递增，.故选：B2.利用单调性解不等式例5．已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．解析：函数在上为减函数，函数的图像开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，且.所以函数在上为减函数.由得.解得.故选:A.例6．已知函数，且，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．解析：令，则，因为，，∴为奇函数，又因为，由复合函数单调性知为的增函数，∵，则，∴，，∴，解得或，故故选：D.例7．已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．或 C． D．【详解】函数中，在上单调递减，在上单调递减，且，则函数在定义域上单调递减，，，解得：，即不等式的解集为.故选：D.例8．若函数的定义域为，且.若对任意不相等的实数，恒有，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【详解】解：因为对任意不相等的实数，恒有，所以，对任意不相等的实数，恒有，即，令，所以，对任意不相等的实数，恒有，即，不妨设，则，所以，，即，所以，在上单调递减.所以，所以不等式的解集为.故选：D.例9．定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【详解】令，因为对，且，都有成立，不妨设，则，故，则，即，所以在上单调递增，又因为，所以，故可化为，所以由的单调性可得，即不等式的解集为.故选：D.例10．已知，若，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【详解】因为在上为增函数，所以在上为增函数，则，解得：，即a的取值范围为，故选:C.注：求解函数不等式时，由条件脱去，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域.3.利用单调性求解析式例11．已知函数是定义在R上的单调函数．若对任意，都有，则（

）A．9 B．15 C．17 D．33解析：因为是R上的单调函数，所以存在唯一的，使由方程，得，则，所以设，由于均为定义域内的单调递增函数，所以在R上是增函数，且3，所以，所以，故故选：C例12．已知函数在定义域上是单调函数，若对任意，都有，则的值是___________________．解析：因为函数在定义域上是单调函数，若对任意，都有，可设，故，且，解可得，，所以，则．故答案为：．注：利用单调性求解析式实质是严格单调函数的一一对应关系.4.利用单调性找出多元变量之间的关系利用单调性，即严格单调函数的一一对应关系找到多元变量的关系，从而解决问题.例13．已知正实数满足，则的最小值为___________.解析：由，得，令，则在上单调递增，所以，即，又因为是正实数，所以，当且仅当，即时等号成立，故答案为：例14．已知实数，且满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．3解析：由得，令，，在上单调递增，，，，，故当时，取最小值.故选：C.5.已知单调性求参数（1）已知单调性直接求参数基本原理：已知函数在区间上单增，则，反之亦然.（2）同构出函数单调性后求参数（3）分段函数单调性问题要注意例15．“”是“函数在区间（1，2）上单调递减”的（）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析：若在区间（1，2）上单调递减，所以在区间（1，2）上恒成立，所以在区间（1，2）上恒成立，所以，所以，所以“”是“”的必要不充分条件，所以“”是函数在区间（1，2）上单调递减”的必要不充分条件，故选：C.例16．命题在上为增函数，命题Q：在单调增函数，则命题P是命题Q（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：因为命题在上为增函数，则有，解得，又因为命题Q：在单调增函数，则有，解得，若命题成立，则命题一定成立，反之则不一定成立，所以是的充分不必要条件，故选：A.例17．已知函数，且对于，，都满足，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．解析：不等式恒成立，即，即时，，所以分段函数在上单调递减，（时也会得到分段函数在上单调递减），故每段函数为减函数，应满足，解得，同时在上单调递减，对于边界值还需满足，解得或，所以．故选：C.6.利用单调性之间比较大小比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.例18．已知定义在上的奇函数满足:当时,,若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【详解】任取，则，所以.由为定义在上的奇函数，所以，所以，即在上都有.由幂函数的性质可知在上单调递增，所以不等式对任意实数恒成立可转化为：对任意实数恒成立.结合二次函数图像可得.故选：A.7.同构出单调性后比较大小例19．已知函数满足对任意，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【详解】∵，即，构建，可知当时，则，故在上单调递减，又∵，即，且，则，解得，故不等式的解集为.故选：C.8.利用单调性求函数最值例20．已知函数的最小值是－1，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【详解】由已知可得显然在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值，,当时，，在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值当时，，在上单调递增，所以在处取得最小值，当时，，在上单调递减，于题意不符；当时，，在上单调递减，于题意不符；.故选：C.三．配套演练1．已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．已知函数，且，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．3．已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立．设，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．4．已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．5．已知函数，其中，则（

）A．f(x)在上单调递增 B．f(x)在上单调递减C．曲线是轴对称图形 D．曲线是中心对称图形6．设，且，则下列关系式可能成立的是（

）A． B． C． D．7．已知函数，则不等式的解集为.8．已知函数（其中，且）为其定义域上的单调函数，则实数的取值范围为.参考答案1.解析：函数在上为减函数，函数的图像开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，且.所以函数在上为减函数.由得.解得.故选:A.2.解析：令，则，因为，，∴为奇函数，又因为，由复合函数单调性知为的增函数，∵，则，∴，，∴，解得或，故故选：D.3【详解】当且，时，恒成立，可得在上单调递减，且关于对称，所以在上单调递增，，，，即.故选：B.4.【详解】对任意，都有，令，则Fx在R上单调递增，其中，当时，，解得，且，解得或，故，当时，，因为，所以，故Fx在1,+综上，实数的取值范围是.故选：A5【详解】由题设，，定义域为且，所以关于对称，C正确；又，当时，不妨假设，则，显然，此时在上有递减区间，A错误；当时，在上，即在上递增，B错误；由，不可能为定值，故D错误.故选：C6.【详解】由于，知，及其，则，解得，对A