26届高三备考核心微专题抽象函数及应用

5.解决抽象函数的七大视角1.抽象函数的单调性与奇偶性2.抽象函数的对称性与周期性3.赋值法解决抽象函数问题4.图像法解决抽象函数问题5.求导公式（积分法）还原抽象函数6.抽象函数还原具体模型7.抽象函数求解析式1.抽象函数的单调性与奇偶性下面的例子将分析抽象函数模型的单调性与奇偶性，其所使用的方法就是赋值法，这是处理函数方程问题中最常见的手法.例1.定义在R上的单调函数满足对任意x,y均有,试判断的奇偶性.解：，故令，有又令，为奇函数.例2．已知函数对任意，总有，且对，都有.判断并用定义证明函数的单调性.解析：函数是上的减函数，证明如下：由题意，令，有，解得，任取，不妨设，则，因为，则，所以，即，所以函数是上的减函数.例3.设是定义在的函数，并且满足，且当时，．判断的单调性并证明.解析：，故令，有又令，.令，故，，为单调减函数.例4.设函数的定义域是R，对任意恒有，且当时，．（1）求证：，且当时，；（2）判断在R上的单调性.解：（1），故令，有或者，当时，，这与当时，矛盾，故只有；又令，当时，，故当时，，,对时恒成立.（2）令，，为单调减函数.2.抽象函数的单调性与奇偶性函数对称性主要有轴对称和中心对称两种情况.函数对称性研究的是一个函数本身所具有的性质.性质1.轴对称:函数图象关于一条垂直于轴的直线对称，则当函数图象上任意两个点到直线的距离相等且函数值时.我们就称函数关于对称.（公众号：凌晨讲数学）代数表示:(1).(2).即当两个自变量之和为一个定值，函数值相等时,则函数图像都关于直线对称.一般地，若函数满足，则函数的图象关于直线对称.特别地，偶函数(关于轴对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相等.性质2.中心对称：函数上任意一点（）关于点对称的点（）也在函数图像上，此时我们就称函数为关于点()对称的中心对称图像，点()为对称中心.用代数式表示：(1).(2).一般地,若函数满足,则函数的图象关于点对称.特别地，奇函数(关于原点对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相反.（公众号：凌晨讲数学）性质3.函数周期性有关结论:设是非零常数，若对于函数定义域内的任一变量有下列条件之一成立，则函数是周期函数，且是它的一个周期.(1).(2).(3).(4).3.函数的对称性与周期性性质4已知是定义在上的函数，若是奇函数，则的图像关于点对称.性质5.已知是定义在上的函数，若是偶函数，则的图像关于直线对称.性质6.若函数同时关于直线与轴对称，则函数必为周期函数，且.性质7.若函数同时关于点与点中心对称，则函数必为周期函数，且.（公众号：凌晨讲数学）性质8.若函数既关于对称，又关于直线轴对称，则函数必为周期函数，且.性质9.已知函数的定义域为，，且，若与均为奇函数，则是周期函数，且为其一个周期.性质10.已知函数的定义域为，，且，若与均为偶函数，则是周期函数，且是其一个周期.性质11.已知函数的定义域为，，且，若是奇函数，是偶函数，则是周期函数，且为其一个周期.性质12.周期性的应用:(1).函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质.(2).图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行复制粘贴.(3).单调性：（公众号：凌晨讲数学）由于间隔的函数图象相同，所以若函数在上单调增(减)，则在上单调增(减).二．典例分析例5．（2021新高考2卷）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，则（

）A． B． C． D．解析：因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.例6．（2021全国甲卷）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（

）A． B． C． D．解析：因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．由两个对称性可知，函数的周期．所以．故选：D．3.赋值法解决抽象函数问题例7．已知函数的定义域为，，则（

）．A． B．C．是偶函数 D．为的极小值点解析：因为，对于A，令，，故正确.对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.例8．（2021全国乙卷）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（

）A． B． C． D．解析：因为的图像关于直线对称，所以，因为，所以，即，因为，所以，代入得，即，所以，.因为，所以，即，所以.因为，所以，又因为，联立得，，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以因为，所以.所以故选：D例9．（2022新高考1卷）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（

）A． B． C． D．解析：因为，均为偶函数，所以即，，所以，，则，故C正确；函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导，所以，所以，所以，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.4.图像法解决抽象函数问题例10．函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数且，则使的取值范围（

）A． B． C． D．解析：因为函数是偶函数，，所以.因为函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，所以函数在单调递增，所以函数的草图如图所示，因，所以满足已知的函数的图象在第二、四象限，所以.故选：C5.求导公式（积分法）还原抽象函数已知的不等式中所含结构构造函数的方向，，，，，，，，例11.已知是函数的导函数，对任意，都有，且，则不等式的解集为（）A． B． C． D．解析：设，，，，，，，，，即，解得，所以不等式解集为，故选D．例12．已知函数的定义域为，且，若，则函数的取值范围为（

）A． B． C． D．解析：由得：，即，令，则，（为常数），，，又，，，则，；当时，；当时，；综上所述：.故选：A.6.抽象函数还原具体模型若，则可构造.特别地，当时，可构造.若，则可构造.若，则可构造（且）.若，则可构造（且）.若，则可构造若，则可构造.例13．已知函数的定义域为，，则（

）．A． B．C．是偶函数 D．为的极小值点解析：当时，对两边同时除以，得到，故可以设，则，当肘，，则，令，得；令，得；故在上单调递减，在上单调递增，因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，显然，此时是的极大值，故D错误.故选：.例14.已知函数的定义域为，且，则A.B.C.D.解析：由余弦函数积化和差公式可得，考虑函数，则满足题意.于是，周期为6，且，进一步，故选A.7.抽象函数求解析式例15.已知函数是定义在上的单调函数，且对都有，则_____．解析：因为函数是定义在上的单调函数，所以为一个常数.令则，且所以，即，解得：．故答案为．三．习题演练1.（2014陕西卷）下列函数中，满足“”的单调递增函数是（）A.B.C. D.2．已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则的值为（）A．0 B． C． D．1解析：根据题意，令，为常数，可得，且，所以时有，将代入，等式成立，所以是的一个解，因为随的增大而增大，所以可以判断为增函数，所以可知函数有唯一解，又因为，所以，即，所以.故选：B.3．定义在R上的奇函数满足，且在上是减函数，则（

）A． B．C． D．解析：满足，所以的一个周期为4，又因为在上是减函数，且在R上的奇函数，所以在上是减函数，所以，即.故选：A.4．已知函数，在R上的导函数分别为，，若为偶函数，是奇函数，且，则下列结论正确的是（

）A． B．C．是R上的奇函数 D．是R上的奇函数解析：已知为偶函数，可知关于对称，所以关于对称，因为是奇函数，可知关于对称，所以关于对称，又因为，则，即，所以与关于对称，因为关于对称的点为，直线关于对称的直线为，所以关于对称，关于直线对称，是偶函数，而关于对称，，又，则，，，即是周期为4的偶函数，故C选项错误；由关于直线对称，，关于对称，，则，，所以，即是周期为4的偶函数，由于是周期为4的偶函数，则，等号两边同时求导，可得，所以是周期为4的奇函数，同理，由于是周期为4的偶函数，则，等号两边同时求导，可得，是周期为4的奇函数，所以与均是周期为4的奇函数，故D选项正确；由于关于对称，，，则，所以，故A选项正确；，故B选项错误；故选：AD.5．已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（

）A． B．C． D．解析：因为当时，所以，又因为，则，，，，，则依次下去可知，则B正确；且无证据表明ACD一定正确.故选：B.6．已知函数的定义域为，若，则（

）A． B．C． D．解析：令，，则，令，则则，，∴或，令，则，若，则，矛盾，∴，则，∴A选项错误；令，则，∴B选项正确；令，则，则，即，C选项正确；由A、C选项中结论，令，则，则令，则，即，D选项错误.故选：BC.7．已知函数的定义域为R，不恒为0，且