26届高三备考核心微专题从教材到压轴：n维向量的概念与应用

45.向量的概念推广及其在新概念压轴中的应用一．基本原理人教A版选择性必修一教材在23页阅读材料中对向量概念进行了推广，从必修二的二维，到空间向量（三维），再到一般的维向量.我们看到，随着新概念压轴的出现，这个阅读材料被多次引出，并出现了很多考题，基于此，本文对其做一下整理与介绍.二．典例分析★应用1.运算规则的一般化例1．设，是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记作.同时把有序数对叫做点在斜坐标系中的坐标，记作，已知在斜坐标系中，的三个顶点，且A，B，C异于点，则下列结论错误的是（

）A．B．C．若，则D．的重心的坐标为解析：依题意，.由向量，，则，故A正确；，故B错误；若，则，即，即，所以，故C正确；设为的中点，根据三角形重心性质知，则，所以，所以，所以，故D正确.故选：B.例2．定义平面斜坐标系，记，，分别为x轴、y轴正方向上的单位向量，若平面上任意一点P的坐标满足：，则记向量的坐标为，给出下列四个命题，正确的选项是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，以O为圆心、半径为1的圆的斜坐标方程为解析：对于A，，，则，，A正确；对于B，，，则，，显然，则，B错误；对于C，，，由选项A同理得，即，，，C错误；对于D，设以O为圆心、半径为1的圆上任意一点为，由，得，于是，由，得，即，D正确.故选：AD★应用2.维向量的概念与应用例3．类比于二维空间（即平面），向量可用二元有序数组表示，若维空间向量用元有序数组表示，记为，，且维空间向量满足（1）当，求.（2）证明：；（3）若是正实数，且满足，求证：.解析：（1）因为，则，所以.（2）因为，，则，且，可得，当且仅当共线时，等号成立，所以.（3）因为是正实数，则，当且仅当，即时，等号成立，即，当且仅当时，等号成立，同理可得：，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，此时满足，即等号成立，所以.例4．元向量（）也叫维向量，是平面向量的推广，设为正整数，数集中的个元素构成的有序组称为上的元向量，其中为该向量的第个分量．元向量通常用希腊字母等表示，如上全体元向量构成的集合记为．对于，记，定义如下运算：加法法则，模公式，内积，设的夹角为，则．（1）设，解决下面问题：①求；②设与的夹角为，求；（2）对于一个元向量，若，称为维信号向量．规定，已知个两两垂直的120维信号向量满足它们的前个分量都相同，证明：．解析：（1）因为，所以，①，②因为，，所以.（2）任取，，计算内积，设这些内积之和为，则，设的第个分量之和为，又因为，故，所以又，所以，即，所以.例5．我们知道，在平面内取定单位正交基底建立坐标系后，任意一个平面向量，都可以用二元有序实数对表示．平面向量又称为二维向量．一般地，n元有序实数组称为n维向量，它是二维向量的推广．类似二维向量，对于n维向量，也可定义两个向量的数量积、向量的长度（模）等：设，，则；．已知向量满足，向量满足．（1）求的值；（2）若，其中，当且时，证明：．解析：（1）依题，，，则

①，

②①－②，得，即

，所以.（2）因为，，所以，先证：，，设，，则，所以在上单调递增，即当时，，即，故，.

因为，所以

，.综上可得，当且时，.例6．一般地，个有序实数，，，组成的数组，称为维向量，记为.类似二维向量，对于维向量，也可以定义向量的加法运算、减法运算、数乘运算、数量积运算、向量的长度（模）、两点间的距离等，如，则；若存在不全为零的个实数，，，使得，则向量组，，，是线性相关的向量组，否则，说向量组，，，是线性无关的.（1）判断向量组，，是否线性相关？（2）若，，，当且时，证明：.解析：（1）设存在不全为零的个实数，，使得则，即，由①②消去得:，由①③消去得:，则该方程有无数