冲刺2025年高考数学大题突破-大题预测03（A+B+C三组解答题）（解析版）

大题预测01（A组+B组+C组）【A组】（建议用时：60分钟满分：77分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）为促进山区扶贫事业的持续发展，某研究所为深入研究当地海拔因素对某种古茶树产茶量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了株和株古茶树进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株作为样本，每株采摘的茶叶量（单位：）如下表所示：编号位置①②③④山上5443山下4221(1)根据样本数据，试估计山上试验田古茶树产茶的总产量；(2)记山上与山下试验田古茶树产茶量的方差分别为，根据样本数据，估计与的大小关系（只需写出结论）；(3)从样本中的山上与山下古茶树中各随机选取1株，记这2株产茶量的总和为，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】(1)(2)(3)分布列见解析，【详解】（1）由山上试验田4株古茶树产茶量数据，得样本平均数，..........................................................................................................3则山上试验田株古茶树产茶量估算为；....................................................................4（2）山上，山下试验田古茶树产茶量平均数分别为4和，故方差，，故；.........................................................................................................................................8（3）依题意，随机变量可以取，..............................................................................9..................................................................................................................................11随机变量的分布列为987654随机变量的期望.....................................................13（15分）如图，在多面体中，底面是平行四边形，为的中点，．(1)证明：；(2)若多面体的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)．【详解】（1）在中，由余弦定理可得，所以，所以，所以．................................................................................................................................................2又因为，平面,所以平面,平面．所以．................................................................................................................................................4由于,所以四边形为平行四边形，所以．又，所以，所以．.............................................................................................................................................6（2）因为，所以，又，平面,所以平面．取中点，连接，设．设多面体的体积为，则．解得．...........................................................................................................................................9建立如图所示的空间直角坐标系，则，．则平面的一个法向量．所以，............................................................................................................12设平面的一个法向量，则即取．............................................................................................14所以．所以平面与平面夹角的余弦值为．.............................................................................................15（15分）数列的前n项和为，数列满足，且数列的前n项和为．(1)求，并求数列的通项公式；(2)抽去数列中点第1项，第4项，第7项，…，第项，余下的项顺序不变，组成一个新数列，数列的前n项和为，求证：．【答案】(1)，，(2)证明见解析【详解】（1）由题意得，①当时，；当时，；......................................................1当时，，②①②得，，当时，，也适合上式，所以，所以，...................................3两式相减得，.............................................................................................................................5所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．................................................................6（2）数列为：，所以奇数项是以4为首项，8为公比的等比数列，偶数项是以8为首项，8为公比的等比数列．所以当时，所以，所以，显然是关于k的减函数，所以；...................................................................................................................................................8所以当时，....................................................10所以，.........................................................................................12所以，显然是关于k的减函数，所以；..............................................................................................................................................14综上所述，......................................................................................................................................15（17分）已知双曲线，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线交于，两点.(1)若直线经过坐标原点，且直线，的斜率，均存在，求；(2)设直线与直线的交点为，且，证明：直线与直线的斜率之和为0.【答案】(1)1(2)证明见解析【详解】（1）当直线经过坐标原点时，，两点关于原点对称.设，，，于是，.因为，，三点都在双曲线，...................................................................................................3所以，两式作差，，所以...................................................................................................................5（2）已知，由题意可知均有斜率，可设直线，直线，，，，.，................................................................................................................7联立直线方程与双曲线的方程：.整理得，，当时，.，............................................................................................................12于是，..................................................................................15同理可得，.因为，所以整理得，，而，所以......................................................................................................1719．（17分）已知函数．(1)求函数在处的切线方程；(2)当时，试比较的大小关系，并说明理由；(3)设，求证：．【答案】(1)(2)；理由见解析；(3)证明见解析.【详解】（1）由得，，......................................................................................1所以在处的切线的斜率，切点，.........................................................................2所以所求切线方程为：，即；................................................................................4（2）结论：；理由如下：要证，即证，只需证，令，则，....................................................................................5当时，，，故，所以在时单调递减，所以，即，...........................................................................................6所以，故；要证，即证，只需证，令，则，令，则，.....................................................................................................................................8当时，，从而，故，所以在时单调递减，所以，从而在时单调递减，所以，即，即所以，故，又因为，所以....................................................................................................10（3）令，则所以在当时单调递减，所以，所以，即，...........................................................................................................11令，则有，即，所以，.......................................................................................................................12，，所以，所以，所以，.....................................................................13因为，所以；下面先证当时，，令，，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，从而，即，...........................................................................................................14当且仅当时，，所以当时，，令，则有，即，所以，，，所以，.................................................................................................16即，因为，所以，因为，所以，综上所述，...........................................................17【B组】（建议用时：60分钟满分：77分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，在三棱柱中，，平面且，、分别是、的中点.

(1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）法一：取的中点，连接，在三棱柱，且，四边形为平行四边形，且，分别为的中点，且，且，且，.........................................4四边形为平行四边形，，面，面，平面．........................................................................6法二：证明：如图，取中点，连接，

分别为的中点，，平面，平面，平面，................................................................4且，四边形为平行四边形，且，分别为的中点，且，四边形为平行四边形，，面，面，面，，平面，面面，平面，平面．.......................................................................................................6（2）平面，，，如图，以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、、，，则，，，，，.......................................................................................7设平面的一个法向量为，则，可得，不妨取，则，..........................................9令平面的一个法向量为，则，不妨取，则，........................................................................11，..................................................................................................................12令二面角的平面角为，则．.因此，二面角的正弦值为........................................................................................................1316（15分）设的内角、、所对的边分别为、、，且.(1)求；(2)若，在边上存在一点，使得，，的平分线交于点，求的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由，...................................................................1故，所以，所以，.....................................................................3由余弦定理，因为，所以．..........................................................................................................................5（2）在中，由正弦定理得，解得．又因为，所以或．..................................................................................................7

当时，．因为，所以；........................................................8当时，．因为，所以，..................................................9由，则不符合题意，舍去，所以，则．.......................................................................................................10且，...............................................................................12在中，由正弦定理，得，解得．.................................................................................................................14又因为为的平分线，所以．..............................................................................1517（15分）已知、是离心率的椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且的最小值为.(1)求椭圆的方程；(2)若为第一象限内椭圆上一点，点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点.(i)求证:直线和的斜率之积为定值;(ii)当最大时，求直线方程.【答案】(1)(2)(i)证明见解析；(ii)【详解】（1）由题意得，，则（当且仅当为短轴顶点时取等号），又的最小值为，...............................................................................................................................3所以，所以，所以椭圆的方程为．......................................................................................................................5（2）（ⅰ）设，则，，则．又因为，所以；...............................................................................8（ⅱ）由（ⅰ）知，设，直线倾斜角为，直线倾斜角为，所以，则，............................................................................12因为，所以，此时，......................................................................14所以直线方程为．.............................................................................................................................1518（17分）信息熵是信息论中的一个重要概念，它刻画了随机试验结果的不确定性的大小.一般的，当信息熵越大时，不确定性越大.设随机试验的所有可能结果为、、、，且，，定义随机试验信息熵.(1)记随机试验为抛一枚质地均匀的硬币，随机试验为抛一枚质地不均匀的硬币，请通过计算比较与的大小，并说明实际意义；(2)一枚质地不均匀的硬币，正面朝上的概率为，反面朝上的概率为.随机试验:连续次抛掷这枚硬币正面朝上的次数是否为偶数.证明：当增加时，增加.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【详解】（1）由题意：，设质地不均匀的硬币正面朝上的概率为，则，.........................................................................................................3设，，，由得，此时函数单调递减，由得，此时函数单调递增，故，则．.......................................................................................................5当正面与反面等概率出现时，随机试验的不确定性最大，此时信息熵最大．.............................................6（2）记次抛掷后得到偶数次正面向上的概率为，由全概率公式得，，即，......................................................................8所以，....................................................................................................................................9则数列是首项为，公比为的等比数列，........................................................................10所以，所以．.................................................................................13此时，..................................................................................................14当增加时，单减，且，...................................................................................................15由（1）知，当时，函数单调递减，..............................................................................................16故当增加时，增加．................................................................................................................................1719．（17分）已知函数.(1)当，，时，求证:;(2)当时，若有三个零点.(i)求实数的取值范围;(ii)若，求证:.【答案】(1)证明见解析(2)(i)；(ii)证明见解析【详解】（1）当，时，，则，.............................................................................................................................................2（或者）；所以在上为增函数，..........................................................................................................................3所以当时，即当时，，得证．....................................................................4（2）（ⅰ）当时，，由于，，所以在恰有一个零点，且，．...............................................................................5以下只研究当时的零点问题，由，当时，所以在上单调递增，....................................................................................7则，所以在不存在零点，不符合题意；当，即时，恒成立，所以在上单调递增，则，所以在不存在零点，不符合题意；................................................................................................8当时，令，令，则可化为，.........................................显然，则方程有两个不相等实数根、且，，不妨设，则，则，所以方程在上有两个不相等实数根，，不妨设，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，.................................................................................10所以当时，即，又当时，所以在上存在唯一一个零点，符合题意；综上可得．..................................................................................................................................................11（ⅱ）由（1）知当时，，即；当时，，即．所以，据题意，.......................................................................................13所以，即，所以，同理对也有．关于的方程有两根，..........................................................................................15由于，知，且，所以．.........................................................................................................17【C组】（建议用时：60分钟满分：77分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，．(1)求A；(2)若外接圆的面积为，求面积的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理可得，...................................................................................................................4由余弦定理可得，因为，所以，..........................................................................................................................6（2）设的外接圆半径为，所以所以，.................................................................7由正弦定理得，故...........................................................................................................................9又即，..................................................................................................................................................11，当且仅当时取等号，故面积的最大值为......................................................................................................1316．（15分）如图，在三棱柱中，底面是正三角形，，，侧面是矩形．(1)求证：三棱锥是正三棱锥；(2)若三棱柱的体积为，，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）过点作平面于点，................................................................................................1平面，所以又，平面平面平面,................................................................................................4同理可证，故是的垂心，又是正三角形，则是的中心，因此三棱锥是正三棱锥...........................................6（2）因为三棱柱的体积为，结合，可知底面积为，所以高，以的中点为坐标原点，以为的正方向，过且与平行的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，......................................................................8则，设平面的法向量为，因为，则，取，则.............................................................................12又，...........................................................................................13设直线与平面所成角为，所以......................................................................................................15（15分）已知圆，动圆C过，且与圆外切设圆心C的轨迹为曲线．(1)求的方程；(2)设定点，过作直线l交曲线于A、B两点，直线，分别交直线于P、Q两点，求的最小值．【答案】(1)(2)的最小值为2.【详解】（1）因为圆过，所以，又圆与圆外切，所以，故，.........................................................3所以是以为焦点的双曲线的右支，设其方程为，得，故方程为，..................................................................................................................................5（2）根据题意可知直线的斜率不为0，故设，联立与的方程可得，...................................................6故且，故，故，则................................................8直线，令，可得，同理可得,.....................................9则，......................................................................................................................12令，则，故，函数在单调递减，故当时，，..............................14故当，直线斜率不存在时，的最小为2..............................................................................................15（17分）某汽车公司研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试．现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图：(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)由频率分布直方图计算得样本标准差s的近似值为49.75，根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差s．（ⅰ）利用该正态分布，求；（ⅱ）假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z表示这20辆新能源汽车中单次最大续航里程的车辆数，求；参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．(3)为迅速抢占市场举行促销活动，销售公司现面向意向客户推出“玩游戏，赢大奖，送汽车模型”活动，客户可根据抛掷骰子向上的点数，遥控汽车模型在方格图上行进，若汽车模型最终停在“幸运之神”方格，则可获得购车优惠券3万元；若最终停在“赠送汽车模型”方格，则可获得汽车模型一个．方格图上标有第0格，第1格，第2格，……，第25格，第26格．汽车模型开始在第0格，客户每掷一次骰子，汽车模型向前移动一次．若掷出1，2，4，5点，汽车模型向前移动一格（从第k格到第格），若掷出3，6点，汽车模型向前移动两格（从第k格到第格），直到移到第25格（幸运之神）或第26格（赠送汽车模型）时游戏结束．设汽车模型移到第n（）格的概率为试证明数列（）是等比数列，求出数列的通项公式，并比较和的大小．【答案】(1)300千米(2)，(3)证明见解析，，【详解】（1）（千米）,...............................2（2）（ⅰ）因为服从正态分布所以，...................4（ⅱ）因为服从二项分布所以，...............................................8（3）由题意可知，汽车模型移动到第格的情况有且也只有两种：①汽车模型先到第格，又挪出3，6点，其概率为，.......................................................................9②汽车模型先到第格，又挪出1，2，4，5点，其概率为，..........................................................10所以则又，..............................................................................................11则数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，..............................................................................................................12，则，当时，也满足上式，所以，..................................................................................................................................14特别地，汽车模型移动到第26格的情况仅有一种，从第24格连跳2格至第26格，，..........................................................................................15所以，....................................................................................................16........