范德蒙德行列式的证明及应用研究5800字【论文】

范德蒙德行列式的证明及应用研究 2范德蒙德行列式的定义及证明 2.1什么是范德蒙德行列式 2.2范德蒙德行列式的证明 23范德蒙德行列式的应用 43.1范德蒙德行列式在行列式计算方面的应用 43.2范德蒙德行列式在多项式中的一些应用 83.3范德蒙德行列式在线性变换中的应用 3.4范德蒙德行列式在向量线性相关性中的应用 3.5范德蒙德行列式在向量空间理论中的应用 3.6范德蒙德行列式在微积分中的应用 4结束语 1摘要：行列式是数学中的重要内容之一并且它是线性方程组、向量空间、矩阵和线性变换等之后课程的基础，起着非常重要的而又特别的作用。n阶范德蒙德行列式是一种十分特殊，结构规整，形状构造独特的行列式。因为它在数学各个领域的应用很特别，所以成为了一个极其著名的行列式。本文研究首先需要明确什么是范德蒙德行列式，并进一步深入了解范德蒙德行列式是如何证明的。之后笔者探讨了范德蒙德行列式在行列式的计算、多项式、线性变换、微积分、向量线性相关、向量空间理论方面的研究。在研究的过程中，学者需要利用范德蒙德行列式独特的结构，简洁的计算结果来解决一些相关的数学问题。关键词：范德蒙德行列式；微积分；线性变换；多项式定理；在高等代数中，行列式是一个非常且极其重要的一个数学分支，同时在学习数学的各个不同领域和一些与数学知识交叉的学科中有着十分广泛的应用。行列式理论始于17世纪末，它有着悠久的历史，到19世纪末时，它的理论体系基本已形成了。在16世纪的线性方程组问题解决的过程中，一位数学家最早发现了行列式，此番发范德蒙德对行列式理论作出了重大的贡献。Vandermonde不仅把行列程组的求解过程中，而且对行列式进行了独创性和开创性的深入研究和探索。此外，范德蒙本文就是在进行探讨范德蒙德行列式和范德蒙德行列式的应中应用了行列式的性质和数学分析归纳法。范德蒙德行列式不仅结构特殊，而且计算结果简洁，它的特殊性使得它在数学领域中占有非常重要的地位。在面对一些复杂的行列式计算，首先需要我们可以进行观察，它的行列式结构是否和范德蒙德行列式相似，若类似，则我们可利用范德蒙德行列式的结果数据进行间接求解。或者可德行列式。除此之外，范德蒙德行列式的存在使得很多数学问题得到了解答，在利用范德蒙在学习高等代数的学习当中，我们对范德蒙德行列式有了一定的了解，但作为一名数学类如行列式2称作为n级范德蒙德(Vandermonde)行列式。下一步笔者可证明，对于Vn(n≥2),n级范德蒙德行列式的计算结果等于d,d₂,…,d,这n个不同的数的所有可能的差的1、利用数学分析归纳法证明范德蒙德行列式(1)当n等于2时，结果是准确的。(2)假如对于n-1阶的范德蒙德行列式结论是可成立的，现在随笔者来看n阶的情况。在D中，最后一行减去倒数第二行的d₁倍，也就是第n行减去n-1行的第n-1行减去第n-2行的d₁倍。依此类推，有①①式行列式是一个n-1阶的范德蒙德行列式，根据我们上述的假设成立，它等于所有可能差d,-d;(2≤j<i≤n)的乘积；含有d₁的差全在已经在前面出现了。所以，该结论对于Vn阶范德蒙德行列式依然是成立的。①的结果笔者可以用连乘号写成)的形式。范德蒙德行列式为零的充要条件是d₁,d₂,…,d,这n个数中至少有两个基本相等，由Vandermonder行列式的结果可看出。3(或第j列)的元素都是0,除x;;以外，那么此行列式的值为D=xA.再利用上述利用定理可得因此Dₙ=(x₂-x₁)(x₃-x₁)…(xn-x)Dₙ₋1按照同样的方法进行推理，笔者又可得到Dₙ₋1=(x₃-x2)(x₄-x₂)…(xₙ-x₂)Dₙ-2,我们发现Dₙ-2是一个n-2阶的范德蒙德行列式，按照同样的方法，最终可得到结果43.范德蒙德行列式的应用3.1范德蒙德行列式在行列式计算方面的应用行列式是高等代数中一个基本概念，作为数学系的学生，必需掌握行列式的性质、证明和计算。其中行列式的计算使许多学生学习感到十分困难，特别是对于一些比较复杂的行列式。范德蒙德行列式是一类特殊的行列式，它的结论非常特殊，恰当灵活地应用范德蒙德行列式会大大简化某些复杂行列式的计算步骤。利用范德蒙德行列式独特的形式和简介的计算结果来解决一些复杂行列式之类的问题。作者将在一个个实例中进行分析。例1计算解：仔细观察题目，我们可发现该行列式的行与行之间有一定的联系，首先将第一行的负一倍加到第二行，第二行就变成x₁,x₂,x₃,x₄;按照同样的方法，将新得到的第二行的负一倍加到第三行上，第三行变成;再依照相同的方法，该行列式的第四行变成x³,x₂,x³,x³。从而我们可得到的新的行列式即为4阶范德蒙德行列式，再利用范德蒙德行列式的结论故例2计算n+1阶行列式分析：该行列式具有每一行元素方幂递减的特点.如果把第n+1行依次与前面各行交换到第一行，再将新的行列式第n+1与第n交换，再与此行列式的n-1行交换，按照这样的方法进行交换，经过n(n+1)/2次行交换后，得到n+1阶范德蒙德行列式.解：有上述分析可得5例3计算n阶行列式6例4计算行列分析：此类行列式直接求解比较困难，不是一眼就能看出结果的行列式，此行列式各行 (各列)都是某个元素的不同次方幂，此行列式与范德蒙德行列式形式相似，但又有所区别，因此需要将此行列式化先进行转化，化成范德蒙德行列式。解：此行列式中各行元素都是一个元素从左到右按递升顺序排列，且都是从1递升至nF,若利用行列式的性质提起公因式，则各行的元素的方幂便从0变到n-1②②式右侧的行列式为范德蒙德行列式，该结果为Dₙ=n!(n-1)!(n-2)!1例5计算行列式分析：该行列式中含有一个三角函数中的余弦函数，我们首先应当想到化简余弦函数，然后再进行利用行列式的性质(比如将某一行(列)的倍数加到另一行(列),提取公因式，调换各行(各列)的次序)进一步优化化简，最终化成范德蒙德行列式的形式。解：步骤一、根据倍角公式cos2θ=2cos²θ-1cos3θ=4cos³θ-3cosθ步骤二、带入行列式步骤三、将第一列的一倍加到第三列，将第二列的三倍加到第四列，得到行列式=7例6计算4阶行列分析：这种类型的行列式很难直接计算。我们应该注意到行列式的每一项都是一个二项式，且都能展开成4项之和，(c+d)³=c³+3c²d+3d²c+d³,可利用行列式的乘法，可将原行列式拆分成为两个不同的范德蒙德行列式相乘，然后我们可利用例7设λ,2₂,…λ互不相同，计算n+1阶行列式解：考虑以范德蒙德转置行列式D,的矩阵为系数矩阵，2"+2,22+2₂,…,2"+λ为常数容易看出2,2₂,…,λ是以y₁,y₂,…,yn,-1为系数，x为未知数的n次多项式y₁+y₂x+y₃x²+…+y,x“⁻¹-x”的n个互不相同的根，容易根据根与系数之间另一个方面，由于8故由克莱姆法则知,也即3.2范德蒙德行列式在多项式中的一些应用利用Vandermonde行列式使解题的过程更加清晰、易懂。对于一个多项式，我们可以把此多项式中的系数看成未知量，这样我们便得到一个新的系数行列式，再将这个新的系数行列式弄成范德蒙德行列式，之后便可直接得到结果。例1h(x)=Co+c₁x¹+c₂x²+...+Cnx",证明：h(x)至少有n+1个不同的根→f(x)=0证：设x,x₂,…,xn+1为h(x)的n下齐次线性方程组：②其中c,i=0,1,2,…,n为未知量，并且它的系数行列式是一个形如范德蒙德行列式的行列式，即由克拉默(Cramer)法则可知，方程组②有零解即co=C₁=C₂=…=c,从而h(x)=0例2证明：假如在平面上有n个点e(1≤i≤n),其中e互不相同，f;都相同，(1≤i≤n)则存在唯—一个次数不超过n-1的多项式，即存在f(x)通过这n个点e,(1≤i≤n),即f(e;)=f(1≤i≤n)证明：设f(x)=c₁x"⁻¹+c₂x⁷⁻²+…+Cn₋1x+cn,使f(e,)=f,则需要满足关于9③③方程组的系数行列式为范德蒙德行列式，所以可得出当e(1≤i≤n)各不相同时，由克拉默 (Cramer)法则知该方程组有唯一解，即对平面上n个点(e,f;),则必存在唯一的一个字数不超过n-1的多项式f(x)通过该n个点。又记为f(x)的判别式.证明f(x)有重根的充分必要条件式分析：利用行列式乘法计算公式对△进行下一步分解，经分解可得△等于两个范德蒙德f有重根可得判别式Df)=a2△=0,所以△=0。例4若n(n≥1)次多项式f(x)=ao+解：设多项式f(x)的n+1个互不相同的不动点2,2,…,λ+,令g(x)=f(x)-x=a₀+(a₁-1)x+a₂x²+…+anx”,那么有g(2,)=f(2)-λ,=0(i也即这说明ao,a-1,a₂,…,a,是下面方程组的一组解。此外，齐次线性回归方程组(3)的系数矩阵的行列式是一个范德蒙德转置行列式，从而我们可得到上述方程组(3)只有零解，所以ao=a₂=…=a=0,a₁=1,于是便可推导出f(x)=x,这是一个含有无穷多(无数)个不动点的一次行列式。3.3范德蒙德行列式在线性变换中的应用线性变换可以说是高等代数中的一个重点和难点，题目的变化具有多样性和灵活性。应用范德蒙德行列式可以提高问题解决的效率，使问题解决的过程变得通俗易懂、简介明了。接下来我将介绍以下几类范德蒙德行列式在线性变换中的应用。例1在数域F中，σ是V中的线性变换，设(x₁,x₂,…,x)是线性空间V中的一组基，且存在σx;=x₁+ax₂+…+a”⁻¹x,证明：线性证明：由已知条件可知线性变换σ在基(x,x₂,…,x,)下的矩阵为A,其中且行列式A是范德行列式，由于行列式A不为零，从而我们可知行列式A是一个可逆的行列式，相应的可得出上述变换是一个可逆线性变换。a₁+a₂+…+a₅=0时，必有a₁=a₂=…=a₅=0。证明：由题意可知ψa=2,a(1≤i≤s),依次代入等式a₁=a₂=…=a₅=0两端，可得到①②得知这个矩阵A是可逆矩阵。在②式两端分别右乘A⁻¹,则可得到a₁=a₂=…=a₅=0,即证。3.4范德蒙德行列式在向量线性相关性中的应用例1证明在空间中一个向量集中含有无限多个向量，而且这样一个向量集中的任意三个向量,从中选出3个线性无关的向量，这样的3个向量可构式值不为0,从而可推得它们线性相关。证明：设有k₁,K;₂,…,;,(i=1,2,...,m)令令则上式可以写成λ₁n₁+λ₂n₂+…+2mnm=0将①式的左右两边同时乘以矩阵D,再根据②式可得λ₁n₁+λ₂n₂+…+λmnm=0③再将③式两边同时乘以矩阵到λ²n₁+λ2n₂+…+2nm=0。不断地重复上述步骤可得到可写成矩阵的形式④可得到上述研究线性方程组的系数行列式是范德蒙德行列式，又因为它们的特征值各不相同，所以这个行列式D不为0;从而可实现D可逆，将④式两边同时乘以D的逆，可得例3证明：对应于矩阵A的不同特征根λ,2₂,…,九对应的特征向量ξ,5₂,…,ζ是线性无关的。解：假设ζ,₂,…,ζ,线性相关，则存在不全为零的n个数使Aξ;=λξ;(i=1,2,…,n)②用矩阵A左乘式①得再利式②得到③④继续进行上述过程得到齐次线性方程组⑤把其线性方程组⑤理解为以a₁ζ,a₂52,…,anζn为未知数的线性方程组，且该系数行列式是一个类如范德蒙行列式的行列式Dₙ≠0,并且由克拉姆法则知aξ;=0(i=1,2,…,n),因为ξ≠0(i=1,2,…,n),因此只能有a,=0(i=1,2,…,n),这与a,a₂,…,an不全为零相矛盾。3.5范德蒙德行列式在向量空间理论中的应用应用范德蒙德行列式处理向量空间理论问题的研究，能使问题变得更加通俗易懂，并且更能得出以下结论。例1在数域F上的有一个n维向量空间V,且对于任意正整数n≤m都成立，证明：在V中存在m个向量，在V随意取得n个向量都是线性无关的。证明：因为W≌W”,所以只需要在W”中思考。取m个向量c₁=(1,2,2²,…,2”-),C₂=(1,2²,(2²)²,…(2”-¹)²),…,Cm=(1,2”,(2²)”,…(2”-¹)"),令例2在数域F上含有一个n维线性空间W,证明W不能被W中的有限个真子空间覆盖。设I={c₁+kc₂+…+k"⁻¹cnIk∈TcW},令σ:T→I,k→e₁+ke₂+…+k"⁻¹en当e₁,e₂,…e,为单位向量时，可容易证明σ是双射(省略)。假设V是V的真子空间，则I中的元素在V中的个数小于n否则，若β∈V,j=1,2,…,n,β=c₁+k中蕴含无穷多个不同的元素，I中的元素只有有限多个元素在中，但,所以有3.6范德蒙德行列式在微积分中的应用例1若g(x)至少含有k阶导数，并且对于某一个具体的实数b有)和),证明,k,(g°(x)表示g(x))证明：首先将g'(x)写成g(x)与g*(x)线性组合。其次再依据泰勒公式：的线性组合表达式，它的系数行列式等于Dₙ=1/1!2!..(k-1)D。中含有一个范德蒙德行列式，且该行列式的值为),在该式中令t=x+m,i=0和令t=&m,i=k,则可例2设h(x)=acosx+bcos2x+ccos3x+dcos4x,是常数。并给出了等价表达式。解：利用泰勒公式可得h(x)=a(1-x²/2!+x⁴/4!-x⁶/6!+o(x⁶))+b(1-(2x)²/2!+(2x)⁴/4!-(2x)⁶/6!+c(1-(3x)²/2!+(3x)⁴/4!-(3x)⁶/6!+0(x⁶))+d(1-(4x)²/2!+(4x)⁴/4!-(4xa+b+c+d-1/2(a+2²b+3²c+4²d)x²+1/4!(a当x→0时，若g(x)最高无穷小在6阶以上，则有以下方程组。上述方程组的系数行列式为范德蒙德行列式。该行列式的值不是0,所以a,b,c,d为未知数的方程组只有零解，h(x)=0,不符合题目的意思。当x→0时，若h(x)最高无穷小在6阶时，该