4.2提公因式法课件北师大版八年级数学下册

第四章因式分解4.2

提公因式法

公因式提公因式法.多项式的变形原则用提公因式法分解因式（重点、难点）学习目标新课导入互为逆运算一、因式分解的概念把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式

.二、整式乘法与分解因式之间的关系.新课讲解多项式ab＋bc各项都含有相同的因式吗？多项式3x2＋x呢？多项式mb2＋nb－b呢？尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积，并与同伴交流.新课讲解公因式的定义：

一个多项式各项都含有的相同因式

,叫做这个多项式各项的公因式.新课讲解怎样确定多项式各项的公因式？系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公

约数；字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字

母最低次幂；新课讲解例指出下列多项式各项的公因式：(1)3a2y－3ya＋6y；(2)xy3－

x3y2；(3)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3；(4)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b.新课讲解(1)3，6的最大公约数是3，所以公因式的系数是3；有相同字母y，并且y的最低次数是1，所以公因式是3y.

(2)多项式各项的系数是分数，分母的最小公倍数是27，分子的最大公约数是4，所以公因式的系数解：新课讲解是

；两项都有x，y，且x的最低次数是1，y的最低次数是2，所以公因式是(3)观察发现三项都含有x－y，且x－y的最低次数是2，所以公因式是(x－y)2.(4)此多项式的第一项是“－”号，应将“－”提取变为－(27a2b3－36a3b2－9a2b)．多项式27a2b3－36a3b2－9a2b各项系数的最大公约数是9；各项都有a，b，且a的最低次数是2，b的最低次数是1，所以这个多项式各项的公因式是－9a2b.新课讲解练一练1

多项式8x2y2－14x2y＋4xy3各项的公因式是(

)A．8xy

B．2xyC．4xy

D．2y2式子15a3b3(a－b)，5a2b(b－a)的公因式是(

)A．5ab(b－a)B．5a2b2(b－a)C．5a2b(b－a)D．以上均不正确BC新课讲解

(1)多项式2x2＋6x3中各项的公因式是什么？(2)你能尝试将多项式2x2＋6x3因式分解吗？与同

伴交流.新课讲解确定一个多项式的公因式时，要从____________和__________________分别进行考虑.数字系数字母及其指数公因式的系数应取各项系数的最大公约数.公因式中的字母取各项相同的字母，而且各项相同字母的指数取其次数最低的.数字系数字母及其指数新课讲解例(1)3x＋x3＝x·3＋x·x2＝x(3＋x2);(2)7x3－21x2＝7x2·x－7x2·3＝7x2(x－3);(3)8a3b2－12ab3c＋ab＝ab·8a2b－ab·12b2c＋ab·1＝ab(8a2b－12b2c＋l)；解：把下列各式因式分解：(1)3x＋x3； (2)7x3－21x2;(3)8a3b2－12ab3c＋ab；(4)－24x3＋12x2－28x.新课讲解(4)－24x3＋12x2－28x＝－(24x3－12x2＋28x)＝－(4x·6x2－4x·3x＋4x·7)＝

－4x(6x2－3x＋7).当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数成为正数.在提出“－”号时，多项式的各项都要变号.新课讲解提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系?新课讲解请在下列各式等号右边的括号前填入“＋”或“－”，使等式成立：(1)2－a＝_____(a－2)； (2)y－x＝_____(x－y)；(3)b＋a＝_____(a＋b)； (4)(b－a)2＝____(a－b)2；(5)－m－n＝____(m＋n);(6)－s2＋t2＝___(s2－t2). 新课讲解添括号法则：(1)添上括号和“＋”号，括到括号里的各项都不

变.(2)添上括号和“－”号，括到括号里的各项都改

变符号.新课讲解例(1)a(x－3)＋2b(x－3)＝(x－3)(a＋2b)；(2)y(x＋1)＋y2(x＋1)2＝y(x＋1)[1＋y(x＋1)]＝y(x＋1)(xy＋y＋1).解：把下列各式因式分解：(1)a(x－3)＋2b(x－3); (2)y(x＋1)＋y2(x＋1)2.新课讲解例(1)a(x－y)＋b(y－x)＝a(x－y)－b(x－y)

＝(x－y)(a－b)；解：把下列各式因式分解：(1)a(x－y)＋b(y－x)；(2)6(m－n)3－12(n－m)2.(2)6(m－n)3－12(n－m)2＝6(m－n)3－12[－(m－n)]2＝6(m－n)3－12(m－n)2＝6(m－n)2(m－n－2).课堂小结1、确定公因式的方法：(1)定系数(2)定字母(3)定指数2、提公因式法分解因式步骤(分两步)：第一步，找出公因式；第二步，提取公因式.3、提公因式法分解因式应注意的问题：（1）公因式要提尽；（2）小心漏掉1;（3）提出负号时,要注意变号.课堂小结1、公因式：各项都有的公共因式2、确定公因式：定系数→定字母→定指数3、步骤：观察多项式→确定公因式→提取公因式

→确定另外一个因式(找公因式→提公因式)当堂小练1.把－a(x－y)－b(y－x)＋c(x－y)分解因式，正确的结果是(

)A．(x－y)(－a－b＋c)B．(y－x)(a－b－c)C．－(x－y)(a＋b－c)D．－(y－x)(a＋b－c)B当堂小练2.如果多项式－

abc＋

ab2－a2bc的一个因式是－

ab，那么另一个因式是(

)A．c－b＋5acB．c＋b－5acC．c－b＋

acD．c＋b－

acA拓展与延伸因式分解：－14x3－21x2＋28x.－14x3－21x2＋28x＝－7x(2x2＋3x－4)．解：1.(1)填空：①多项式6x2+2x的公因式是

；

②多项式6x2y-4x3的公因式是

；

(2)(人教8上P115改编)多项式12ab3c+8a3b的公因式是(

)A.4ab2

B.4abcC.2ab2 D.4ab(3)多项式6xy+3xy2-9x2y的公因式是(

)A.-3x

B.3x

C.3y

D.3xy2x2x2DD课后练习2.(1)填上适当的式子，使以下等式成立.①ax+ay=a·(

)；

②3x3y4+12x2y=3x2y·(

)；

③25a3b2-5a3b3=5a3b2·(

)；

④-24x3-12x2+8x=-4x(

)；

(2)(全国视野)(2024浙江)因式分解：a2-7a=

；

(3)(全国视野)(2024山东)因式分解：x2y+2xy=

.

x+yxy3+45-b

6x2+3x-2a（a-7）xy（x+2）3.多项式14a3bc3+7a2b2c2在因式分解时应提取的公因式是(

)A.7a3bc3 B.28a2b2c2 C.7ab2c2 D.7a2bc2D4.【例2】把下列各式因式分解：(1)8m2n+2mn；

(2)8a3b2-12ab3+2ab；解：原式=2mn·4m+2mn·1=2mn（4m+1）.解：原式=2ab·4a2b-2ab·6b2+2ab·1=2ab（4a2b-6b2+1）.(3)-24x3-12x2+28x.解：原式=-（24x3+12x2-28x）=-（4x·6x2+4x·3x-4x·7）=-4x（6x2+3x-7）.5.【例3】利用因式分解进行计算：12x3+3xy2，其中x=1，y=2.解：原式=3x·4x2+3x·y2=3x（4x2+y2），将x=1，y=2代入上式，得原式=3×1×（4×12+22）=24.6.(北师8下P97)(2023深圳)已知ab=7，a+b=6，求多项式a2b+ab2的值.解：∵ab=7，a+b=6，∴a2b+ab2=ab（a+b）=7×6=42.7.(1)多项式πr2h+πr3的公因式是

；(2)(2024成都期中)多项式3a2y-3ay+6y的公因式是

.

πr23y8.把下列各式因式分解：(1)a2x2-ax；

(2)12a2b-18ab2-24a3b3；

解：原式=ax·ax-ax·1=ax（ax-1）.解：原式=6ab·2a-6ab·3b-6ab·4a2b2=6ab（2a-3b-4a2b2）.(3)-15m3n2+24m2n3-18m2n.解：原式=-（15m3n2-24m2n3+18m2n）=-（3m