人教A版高中数学必修五2.4等比数列测试（教师版）

2.4等比数列（检测教师版）时间:40分钟总分：60分班级：姓名：选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．已知{an}是等比数列，a3＝2，a6＝eq\f(1,4)，则公比q＝()A．－eq\f(1,2) B．－2C．2 D．eq\f(1,2)[解析]由条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2＝2,a1q5＝\f(1,4)，))∵a1≠0，q≠0，∴q3＝eq\f(1,8)，∴q＝eq\f(1,2).故选D．答案D2．互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝()A．4 B．2C．－2 D．－4[解析]由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,a2＝bc，))消去a得4b2－5bc＋c2＝0，∵b≠c，∴c＝4b，∴a＝－2b，代入a＋3b＋c＝10中解得b＝2，∴a＝－4.答案D3．等比数列{an}的首项a1＝1，公比q≠1，如果a1，a2，a3依次是等差数列的第1、2、5项，则q为()A．2 B．3C．－3 D．3或－3[解析]设等差数列为{bn}，则b1＝a1＝1，b2＝1＋d，b5＝1＋4d，由题设(1＋d)2＝1×(1＋4d)，∴d＝2或d＝0(与q≠1矛盾舍去)，∴b2＝3，公比q＝eq\f(a2,a1)＝eq\f(b2,b1)＝3.答案B4．在等比数列{an}中，eq\f(a3＋a4,a2＋a3)＝3，a3＝3，则a5＝()A．3 B．eq\f(1,3)C．9 D．27[解析]∵q＝eq\f(a3＋a4,a2＋a3)＝3，a3＝a1q2＝9a1＝3，∴a1＝eq\f(1,3)，∴a5＝a1q4＝27.答案D5．各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a2，eq\f(1,2)a3，a1成等差数列，则eq\f(a3＋a4,a4＋a5)的值为()A．eq\f(1－\r(5),2) B．eq\f(\r(5)＋1,2)C．eq\f(\r(5)－1,2) D．eq\f(\r(5)＋1,2)或eq\f(\r(5)－1,2)[解析]∵a2，eq\f(1,2)a3，a1成等差数列，∴a3＝a2＋a1，∵{an}是公比为q的等比数列，∴a1q2＝a1q＋a1，∴q2－q－1＝0，∵q>0，∴q＝eq\f(\r(5)＋1,2).∴eq\f(a3＋a4,a4＋a5)＝eq\f(a3＋a4,a3＋a4q)＝eq\f(1,q)＝eq\f(\r(5)－1,2).答案C6．已知a1，a2，a3，…，a8为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则()A．a1＋a8>a4＋a5B．a1＋a8<a4＋a5C．a1＋a8＝a4＋a5D．a1＋a8与a4＋a5大小不定[解析]由条件知，(a1＋a8)－(a4＋a5)＝a1(1＋q7－q3－q4)＝a1[(1－q3)＋q4(q3－1)]＝a1(1－q3)(1－q4)＝a1(1－q)(1＋q＋q2)·(1－q2)(1＋q2)＝a1(1－q)2(1＋q)(1＋q2)(1＋q＋q2)．∵q>0且q≠1，a1>0，∴(a1＋a8)－(a4＋a5)>0，∴a1＋a8>a4＋a5.答案A二、填空题（共2小题，每题5分，共10分）7．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝.[解析]∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝3,a10＝384))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2＝3,a1q9＝384))∴q7＝128，∴q＝2，∴a1＝eq\f(3,4)，∴an＝a1qn－1＝3·2n－3.答案3·2n－38．已知在△ABC中，sinA与sinB的等差中项为eq\f(7,10)，等比中项为eq\f(2\r(3),5)，则sinC＋sin(A－B)＝.[解析]由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinA＋sinB＝\f(7,5)，,sinA·sinB＝\f(12,25)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinA＝\f(4,5)，,sinB＝\f(3,5)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinA＝\f(3,5)，,sinB＝\f(4,5).))(1)若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinA＝\f(4,5)，,sinB＝\f(3,5)，))则A>B，∴cosB＝eq\f(4,5)，∴sinC＋sin(A－B)＝sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sinAcosB＝eq\f(32,25).(2)若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinA＝\f(3,5),sinB＝\f(4,5)，))则eq\f(π,2)>B>A，∴cosB＝eq\f(3,5)，∴sinC＋sin(A－B)＝2sinAcosB＝eq\f(18,25).答案eq\f(18,25)或eq\f(32,25)三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）9．等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a3、a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.[解析](1)设{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝a1qn－1＝2n.(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32，设{bn}的公差为d，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＋2d＝8，,b1＋4d＝32，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＝－16，,d＝12.))从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，∴数列{bn}的前n项和Sn＝eq\f(n－16＋12n－28,2)＝6n2－22n.10．已知数列{an}满足a1＝eq\f(7,8)，且an＋1＝eq\f(1,2)an＋eq\f(1,3)，n∈N*.(1)求证：{an－eq\f(2,3)}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．[解析](1)证明：∵an＋1＝eq\f(1,2)an＋eq\f(1,3)，∴an＋1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,2)an＋eq\f(1,3)－eq\f(2,3)＝eq\f(1,2)(an－eq\f(2,3))．∴eq\f(an＋1－\f(2,3),an－\f(2,3