高一升高二数学暑假提升6.2.4 向量的数量积的运算（含答案或解析）

6.2.4平面向量的数量积2课时向量数量积的运算律导学案编写：廖云波初审：孙锐终审：孙锐廖云波【学习目标】1.了解数量积的运算律2.会用向量数量积的公式解决相关问题．【自主学习】知识点1向量数量积的性质设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量．(1)a·e＝e·a＝|a|cos〈a，b〉；(2)a⊥b⇒a·b＝且a·b＝⇒a⊥b；(3)a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a2)；(4)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)；(5)|a·b||a||b|.知识点2向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

【合作探究】探究一向量的数量积的运算律【例1】已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，试求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(a－b)；(3)(2a－b)·(a＋3b)．归纳总结：【练习1】已知向量a与b的夹角为eq\f(3π,4)，且|a|＝eq\r(2)，|b|＝2，则a·(2a＋b)等于.探究二向量的模【例2】已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，则|a－3b|＝________.归纳总结：【练习2】已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα＝eq\f(1,3)，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝.探究三向量的夹角【例3】已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,2)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)归纳总结：【练习3】设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．探究四向量垂直的判定【例4】已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？归纳总结：【练习4】P是△ABC所在平面上一点，若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))，则P是△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心

探究五向量数量积的综合应用【例5】在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，且a·b＝b·c＝c·a，试判断△ABC的形状．归纳总结：【练习4】若O是△ABC所在平面内一点，且满足|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))|，则△ABC的形状为()A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形

课后作业A组基础题一、选择题1．下面给出的关系式中正确的个数是()①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.A．1B．2C．3D．42．设向量a，b满足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，则a·b等于()A．1B．2C．3D．53．已知|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，且a＋b与a垂直，则a与b的夹角是()A．60°B．30°C．135°D．45°4．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°5．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝5，则|3a－b|等于()A．7B．6C．5D．46．在边长为1的等边△ABC中，设eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于()A．－eq\f(3,2)B．0C.eq\f(3,2)D．37．在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，且eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，则四边形ABCD是()A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形

8．设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|b＋ta|的最小值为1.()A．若θ确定，则|a|唯一确定B．若θ确定，则|b|唯一确定C．若|a|确定，则θ唯一确定D．若|b|确定，则θ唯一确定二、填空题9．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为eq\f(π,3)，则实数λ＝________.10．已知|a|＝3，|b|＝4，求|a－b|的取值范围________．11．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝1，则AB的长为________．三、解答题12．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝eq\f(1,2)，且a·b＝eq\f(1,2).(1)求向量a，b的夹角；(2)求|a－b|.13．设n和m是两个单位向量，其夹角是eq\f(π,3)，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．

14．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|和|a－b|.15．已知非零向量a，b，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．

B组能力提升一、选择题1.已知向量，，且与的夹角为，则（）A． B．2 C． D．142.设，若单位向量，满足：且向量与的夹角为，则（）A． B． C． D．13.在边长为3的菱形中，，，则=（）A． B．-1C． D．4．已知平面上三点,,满足,,,则()A． B． C． D．5.（多选）下列命题中，结论正确的有（）A．B．若，则C．若，则A､B､C､D四点共线；D．在四边形中，若，，则四边形为菱形.

6．（多选）若内接于以为圆心，为半径的圆，且，则下列结论正确的是()A． B．C． D．二、填空题7．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为120°，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2.若Aeq\o(P,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．8.已知向量，满足，，且向量，的夹角为，若与垂直，则实数的值为.9.已知是非零向量,满足,则与的夹角是.10.若两个向量的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为.11.已知向量满足，则向量在向量上的投影为________.

C组挑战压轴题一、填空题1.已知，，，点在内，且，设，，则__________．2.如图，O为△ABC的外心，，，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则等于___________.3.如图，等腰三角形，，．，分别为边，上的动点，且满足，，其中，，，，分别是，的中点，则的最小值为_____.4.在面积为1的平行四边形中，，则___________；点P是直线上的动点，则的最小值为___________.5.设非零向量，，，满足，，则的最小值是________．6.2.4平面向量的数量积2课时向量数量积的运算律导学案编写：廖云波初审：孙锐终审：孙锐廖云波【学习目标】1.了解数量积的运算律2.会用向量数量积的公式解决相关问题．【自主学习】知识点1向量数量积的性质设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量．(1)a·e＝e·a＝|a|cos〈a，b〉；(2)a⊥b⇒a·b＝0且a·b＝0⇒a⊥b；(3)a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a2)；(4)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)；(5)|a·b|≤|a||b|.知识点2向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

【合作探究】探究一向量的数量积的运算律【例1】已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，试求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(a－b)；(3)(2a－b)·(a＋3b)．[分析]根据数量积、模、夹角的定义以及数量积的运算，逐一进行计算即可．[解](1)a·b＝|a|·|b|cos120°＝2×3×(－eq\f(1,2))＝－3.(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－a·b＋a·b－b2＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×4－5×3－3×9＝－34.归纳总结：求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简.【练习1】已知向量a与b的夹角为eq\f(3π,4)，且|a|＝eq\r(2)，|b|＝2，则a·(2a＋b)等于.答案：2解析：a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝4－2＝2.探究二向量的模【例2】已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，则|a－3b|＝________.[答案]eq\r(10)[分析]利用模的公式和数量积的运算律进行求解．[解析]因为a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，所以|a－3b|＝eq\r(a－3b2)＝eq\r(a2－6a·b＋9b2)＝eq\r(12＋9×12)＝eq\r(10).归纳总结：1要求几个向量线性运算后的模，可先求其平方，利用数量积的计算易解.2已知两个向量线性运算后的模求某个向量的模，可把条件平方后化为所求目标的方程求解.【练习2】已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα＝eq\f(1,3)，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝.答案：3解析：因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cosα＋4＝9，所以|a|＝3.探究三向量的夹角【例3】已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,2)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)[答案]C[分析]利用向量垂直的判定和数量积公式进行求解．[解析]设a，b夹角为θ，由题意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即a·b＝－2a2，所以cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－2a2,4|a|2)＝－eq\f(1,2)，所以θ＝eq\f(2π,3).归纳总结：求两向量a，b的夹角，通常借助于公式计算【练习3】设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．答案：(－7，－eq\f(\r(14),2))∪(－eq\f(\r(14),2)，－eq\f(1,2))解：由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，得cosθ＝eq\f(2te1＋7e2·e1＋te2,|2te1＋7e2||e1＋te2|)<0，∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，化简得2t2＋15t＋7<0，解得－7<t<－eq\f(1,2).当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此时夹角不是钝角．设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2t＝λ，,7＝λt，,λ<0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\r(14),t＝－\f(\r(14),2))).∴所求实数t的取值范围是(－7，－eq\f(\r(14),2))∪(－eq\f(\r(14),2)，－eq\f(1,2))．探究四向量垂直的判定【例4】已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？答案：k＝eq\f(14,15)[分析]利用向量垂直的性质，由(ka－b)·(a＋2b)＝0可求出．[解]∵(ka－b)⊥(a＋2b)，∴(ka－b)·(a＋2b)＝0，ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，k×52＋(2k－1)×5×4×cos60°－2×42＝0，∴k＝eq\f(14,15)，即k为eq\f(14,15)时，向量ka－b与向量a＋2b垂直．归纳总结：解决向量垂直问题常用向量数量积的性质a⊥b⇔,a·b＝0.这是一个重要性质，对于解平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握.【练习4】P是△ABC所在平面上一点，若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))，则P是△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心答案：D解析：由eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))得eq\o(PB,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，∴PB⊥CA.同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心．探究五向量数量积的综合应用【例5】在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，且a·b＝b·c＝c·a，试判断△ABC的形状．答案：等边三角形[分析]易知a＋b＋c＝0，分别将a、b、c移至等号右边，得到三个等式，分别平方后选取两个等式相减，即可得到a、b、c中两个向量的长度之间的关系．[解]在△ABC中，易知eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，即a＋b＋c＝0，因此a＋c＝－b，a＋b＝－c，从而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b2＝－c2，,a＋c2＝－b2，))两式相减可得b2＋2a·b－c2－2a·c＝c2－b2，则2b2＋2(a·b－a·c)＝2c2，因为a·b＝c·a＝a·c，所以2b2＝2c2，即|b|＝|c|.同理可得|a|＝|b|，故|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|，即△ABC是等边三角形．归纳总结：依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状，关键是由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间关系，移项、两边平方是常用手段，这样可以出现数量积及向量的长度等信息，为说明边相等、边垂直指明方向.【练习4】若O是△ABC所在平面内一点，且满足|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))|，则△ABC的形状为()A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形答案：B解析：eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，于是|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|2，即eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，从而AB⊥AC，故△ABC为直角三角形.

课后作业A组基础题一、选择题1．下面给出的关系式中正确的个数是()①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.A．1B．2C．3D．4答案C解析①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a||b|·cosθ)2＝a2·b2cos2θ≠a2·b2，选C.2．设向量a，b满足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，则a·b等于()A．1B．2C．3D．5答案A解析|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，∴a·b＝1.3．已知|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，且a＋b与a垂直，则a与b的夹角是()A．60°B．30°C．135°D．45°答案C解析∵(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，∴a·b＝－a2＝－1，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－1,1×\r(2))＝－eq\f(\r(2),2).∴〈a，b〉＝135°.4．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案C解析设向量a与b的夹角为θ，∵c⊥a，∴c·a＝0.又∵c＝a＋b，∴(a＋b)·a＝0，即a2＋b·a＝0⇔|a|2＋|a||b|cosθ＝0.又∵|a|＝1，|b|＝2，∴cosθ＝－eq\f(1,2).故θ＝120°.5．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝5，则|3a－b|等于()A．7B．6C．5D．4答案A解析|3a－b|＝eq\r(3a－b2)＝eq\r(9|a|2＋|b|2－6a·b)＝eq\r(9＋25－6×5×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\r(49)＝7.故选A.6．在边长为1的等边△ABC中，设eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于()A．－eq\f(3,2)B．0C.eq\f(3,2)D．3答案A解析a·b＝eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝－eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝－|eq\o(CB,\s\up6(→))||eq\o(CA,\s\up6(→))|cos60°＝－eq\f(1,2).同理b·c＝－eq\f(1,2)，c·a＝－eq\f(1,2)，∴a·b＋b·c＋c·a＝－eq\f(3,2).7．在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，且eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，则四边形ABCD是()A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形答案B解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))即一组对边平行且相等，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0即对角线互相垂直，∴四边形ABCD为菱形．8．设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|b＋ta|的最小值为1.()A．若θ确定，则|a|唯一确定B．若θ确定，则|b|唯一确定C．若|a|确定，则θ唯一确定D．若|b|确定，则θ唯一确定答案B解析|b＋ta|2＝b2＋2a·b·t＋t2a2＝|a|2t2＋2|a|·|b|cosθ·t＋|b|2.因为|b＋ta|min＝1，所以eq\f(4|a|2·|b|2－4|a|2·|b|2cos2θ,4|a|2)＝|b|2(1－cos2θ)＝1.所以|b|2sin2θ＝1，所以|b|sinθ＝1，即|b|＝eq\f(1,sinθ).即θ确定，|b|唯一确定．二、填空题9．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为eq\f(π,3)，则实数λ＝________.答案－8或5解析由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcoseq\f(π,3)，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝510．已知|a|＝3，|b|＝4，求|a－b|的取值范围________．答案[1,7]解析方法一∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，∴1≤|a－b|≤7，即|a－b|的取值范围是[1,7]．方法二设θ为两向量a，b的夹角，则θ∈[0，π]．∵|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝a2＋b2－2|a||b|cosθ＝25－24cosθ，∴|a－b|2∈[1,49]，∴|a－b|∈[1,7]．11．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝1，则AB的长为________．答案eq\f(1,2)解析在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→))，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＋eq\f(1,2)|eq\o(AD,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|cos60°－eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝1＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|－eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝1.∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－|\o(AB,\s\up6(→))|))|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝0，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|≠0，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2).三、解答题12．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝eq\f(1,2)，且a·b＝eq\f(1,2).(1)求向量a，b的夹角；(2)求|a－b|.解(1)∵(a－b)·(a＋b)＝eq\f(1,2)，∴a2－b2＝eq\f(1,2)，即|a|2－|b|2＝eq\f(1,2)；又∵|a|＝1，∴|b|＝eq\f(\r(2),2).∵a·b＝eq\f(1,2)，∴|a|·|b|cosθ＝eq\f(1,2)，∴cosθ＝eq\f(\r(2),2)，∴向量a，b的夹角为45°.(2)∵|a－b|2＝(a－b)2＝|a|2－2|a||b|cosθ＋|b|2＝eq\f(1,2)，∴|a－b|＝eq\f(\r(2),2).13．设n和m是两个单位向量，其夹角是eq\f(π,3)，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．解∵|n|＝|m|＝1且m与n的夹角是eq\f(π,3)，∴m·n＝|m||n|coseq\f(π,3)＝1×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).|a|＝|2m＋n|＝eq\r(2m＋n2)＝eq\r(4×1＋1＋4m·n)＝eq\r(4×1＋1＋4×\f(1,2))＝eq\r(7)，|b|＝|2n－3m|＝eq\r(2n－3m2)＝eq\r(4×1＋9×1－12m·n)＝eq\r(4×1＋9×1－12×\f(1,2))＝eq\r(7)，a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2＝eq\f(1,2)－6×1＋2×1＝－eq\f(7,2).设a与b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－\f(7,2),\r(7)×\r(7))＝－eq\f(1,2).又θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(2π,3)，故a与b的夹角为eq\f(2π,3).14．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|和|a－b|.解(1)(2a－3b)·(2a＋b)＝61，解得a·b＝－6.∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－6,4×3)＝－eq\f(1,2)，又0≤θ≤π，∴θ＝eq\f(2π,3).(2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝13，∴|a＋b|＝eq\r(13).|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝37.∴|a－b|＝eq\r(37).15．已知非零向量a，b，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．解由向量垂直得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋3b·7a－5b＝0，,a－4b·7a－2b＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7a2＋16a·b＝15b2，,7a2－30a·b＝－8b2，))化简得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·b＝\f(1,2)|b|2，,|a|＝|b|，))∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(\f(1,2)|b|2,|b|2)＝eq\f(1,2)，∴a与b的夹角为eq\f(π,3).

B组能力提升一、选择题1.已知向量，，且与的夹角为，则（）A． B．2 C． D．14【答案】A【解析】，，又，且与的夹角为，所以.故选：A2.设，若单位向量，满足：且向量与的夹角为，则（）A． B． C． D．1【答案】A【解析】由题意得，，，，又向量与的夹角为，得，又，，则，所以.故选：A.3.在边长为3的菱形中，，，则=（）A． B．-1C． D．【答案】C【解析】.故选:C.4．已知平面上三点,,满足,,,则()A． B． C． D．【答案】D【解析】,,故为直角三角形,且故选:D.5.（多选）下列命题中，结论正确的有（）A．B．若，则C．若，则A､B､C､D四点共线；D．在四边形中，若，，则四边形为菱形.【答案】BD【解析】对于A，，故A错误；对于B，若，则，所以，，故，即B正确；对于C，，则或与共线，故C错误；对于D，在四边形中，若，即，所以四边形是平行四边形，又，所以，所以四边形是菱形，故D正确；故选：BD6．（多选）若内接于以为圆心，为半径的圆，且，则下列结论正确的是()A． B．C． D．【答案】BD【解析】由于内接于以为圆心，为半径的圆，且，所以，两边平方并化简得，，两边平方并化简得，，两边平方并化简得.所以，A选项错误；，B选项正确.，C选项错误.，D选项正确.故选：BD二、填空题7．已知向量eq\o