《圆中常见的计算题型》专题课件

专题第二十九章直线与圆的位置关系圆中常见的计算题型1如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD.(1)求证：△ABD≌△CDB；解：∵BE是⊙O的切线，∴AB⊥BE.∴∠ABE＝90°.∵∠DBE＝37°，∴∠ABD＝53°.∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠BAD＝90°－53°＝37°，即∠ADC的度数为37°.(2)若∠DBE＝37°，求∠ADC的度数．2【2023·本溪】如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，∠CAB＝2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE＝∠ABC.证明：如图，连接OE.∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∴∠FOE＝∠OAE＋∠OEA＝2∠OAE.∵∠CAB＝2∠EAB，∴∠CAB＝∠FOE.(1)求证：EF与⊙O相切；又∵∠AFE＝∠ABC，∴∠ACB＝∠OEF.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OEF＝90°，即OE⊥EF.又∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线．3如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的半圆O交AB于点D，过点D作半圆O的切线，交AC于点E.(1)求证：∠ACB＝2∠ADE；证明：如图，连接OD，CD.∵DE是半圆O的切线，∴∠ODE＝90°.∴∠ODC＋∠EDC＝90°.∵BC为半圆O的直径，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB.∴∠ADC＝90°.∴∠ADE＋∠EDC＝90°.∴∠ADE＝∠ODC.∵AC＝BC，CD⊥AB，∴∠ACB＝2∠DCE＝2∠OCD.∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.∴∠ACB＝2∠ADE.⌒⌒4【2023·十堰】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且点E是弧DF的中点．(1)求证：BC是⊙O的切线；证明：如图，连接OE，OD.∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠OAD＝∠B＝45°.∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO＝45°.∴∠AOD＝90°.∴∠DOF＝90°.求不规则图形的面积的方法：求不规则图形的面积时，一般不能直接利用公式求解，常用的方法有：割补法、拼凑法、等积变形法、迁移变换法、构造方程法等．其中前四种方法的基本思想都是将不规则图形转化为规则图形(可直接求面积的图形，如三角形、特殊四边形、圆、扇形)或将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和、差进行求解．【点方法】5如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G.(1)求证：FG是⊙O的切线；∵AO＝BO，∴△AOB是等边三角形．∴∠ABO＝60°.∵∠EOF＝60°，∴∠ABO＝∠EOF.∴AB∥OF.∴∠OFG＝180°－∠BGF＝90°，即OF⊥GF.又∵OF是⊙O的半径，∴FG是⊙O的切线．本题运用等积法，通过作辅助线，将阴影部分的面积转化为扇形的面积.【点技巧】6如图，两个半圆中，O为大半圆的圆心，长为18的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于多少？7【母题：教材P21复习题A组T5】如图，在⊙O中，直径AB＝2，△ABC中，∠BAC＝90°，BC交⊙O于点D，若∠C＝45°，求：(1)BD的长；(2)阴影部分的面积．⌒⌒84π【2023▪衡阳】【新趋势▪学科综合】如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了________cm(结果保留π)．【点拨】重物上升的距离等于半径为6cm，圆心角为120°的弧所对应的弧长．9【2022▪潍坊】【新考向▪传承数学文化】筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹筒，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线AD方向泻至水渠DE，水渠DE所在直线与水面PQ平行，设筒车为⊙O，⊙O与直线PQ交于P，Q两点，与直线DE交于B，C两点，恰有AD2＝BD·CD，连接AB，AC.(1)求证：AD为⊙O的切线；又∵∠ADB＝

∠CDA，∴△DAB∽△DCA.∴∠DAB＝∠ACB.∴∠DAB＝∠AGB.∴∠DAB＋∠BAG＝90°.∴AO⊥AD.∵OA是⊙O的半径，∴AD为⊙O的切线．解：如图，当水面上升到