新人教版高中数学必修第二册-6.3.5 平面向量数量积的坐标表示【课件】

6.3.5

平面向量数量积的坐标表示第六章

6.3

平面向量基本定理及坐标表示学习目标XUEXIMUBIAO1.掌握平面向量数量积的坐标表示.2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PARTONE设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.则a·b＝

.(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝

或|a|＝

.若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(

，

)，|a|＝

.(2)a⊥b⇔

.(3)cosθ＝

＝

.知识点平面向量数量积的坐标表示x1x2＋y1y2x2＋y2x2－x1y2－y1x1x2＋y1y2＝0思考若两个非零向量的夹角满足cosθ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角吗？答案不一定，当cosθ<0时，两向量的夹角θ可能是钝角，也可能是180°.思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1y2－x2y1＝0.(

)2.若两个非零向量的夹角θ满足cosθ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角.(

)提示当两向量同向共线时，cosθ＝1>0，但夹角θ＝0°，不是锐角.3.两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a与b的夹角为0°.(

)××××2题型探究PARTTWO例1

已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于A.10 B.－10C.3 D.－3一、数量积的坐标运算解析a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.√反思感悟进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系(1)|a|2＝a·a.(2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2.(3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.跟踪训练1

向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a等于A.－1 B.0C.1 D.2√解析因为a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)，则(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.二、平面向量的模解∵a＝(3,5)，b＝(－2,1)，∴a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)，例2

已知平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，求a－2b及其模的大小.反思感悟求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方.(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝

，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.√解析∵a＝(2,1)，∴a2＝5，即a2＋2a·b＋b2＝50，∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5.三、平面向量的夹角、垂直问题例3

(1)已知|a|＝1，b＝(0,2)，且a·b＝1，则向量a与b夹角的大小为√解析因为|a|＝1，b＝(0,2)，且a·b＝1，设a与b的夹角为θ，(2)设向量m＝(2x－1,3)，向量n＝(1，－1)，若m⊥n，则实数x的值为A.－1 B.1C.2 D.3√解析因为向量m＝(2x－1,3)，向量n＝(1，－1)，m⊥n，所以m·n＝(2x－1)×1＋3×(－1)＝2x－1－3＝0，解得x＝2.反思感悟解决向量夹角问题的方法及注意事项(2)注意事项：利用三角函数值cosθ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cosθ＝

判断θ的值时，要注意cosθ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cosθ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.跟踪训练3

已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1).若向量a＋b与a垂直，则m＝____.解析∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3).又a＋b与a垂直，∴(a＋b)·a＝0，即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.73随堂演练PARTTHREE1.若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于12345√解析a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.2.已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为12345√a·b＝3×5＋4×12＝63.123453.已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于A.1 B.C.2 D.4√解析∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，123454.若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝

，则b等于A.(－3,6) B.(3，－6)C.(6，－3) D.(－6,3)√解析由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)，又λ<0，∴λ＝－3，故b＝(－3,6).123455.已知向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|等于√解析由题意可得a·b＝x·1＋1×(－2)＝x－2＝0，解得x＝2.再由a＋b＝(x＋1，－1)＝(3，－1)，1.知识清单：(