高中数学概率的基本性质课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版2019必修第二册

人教2019A版必修

第二册第十章概率10.1随机事件与概率10.1.4概率的基本性质教学目标1．理解并掌握概率的基本性质．2．能够运用概率的基本性质求一些简单事件的概率．一般而言，给出了一个数学对象的定义，就可以从定义出发研究这个数学对象的性质，例如，在给出指数函数的定义后，我们从定义出发研究了指数函数的定义域、值域、单调性、特殊点的函数值等性质，这些性质在解决问题时可以发挥很大的作用，类似地，在给出了概率的定义后，我们来研究概率的基本性质.我们从定义出发研究概率的性质，(1)概率的取值范围；(2)特殊事件的概率；(3)事件有某些特殊关系时，它们的概率之间的关系；等等。探究新知1.概率P(A)的取值范围由概率的定义可知：任何事件的概率都是非负的；在每次试验中，必然事件一定发生，不可能事件一定不会发生，一般地，概率有如下性质：性质1对任意的事件A,都有P(A)≥0.性质2必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(⌀)=0.2.概率的加法公式(互斥事件时有一个发生的概率)P(C)=p(A∪B)=P(A)+P(B)=1/6+1/6=1/3在掷骰子实验时，事件A={出现1点}；B={出现2点}；C={出现的点数小于3}；因为事件A与事件B互斥，即A与B不含有相同的样本点，所以n(A∪B)=n(A)+n(B),这等价于P(A∪B)=P(A)+P(B),即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件概率之和，所以我们有互斥事件的概率加法公式：性质3如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B)1.事件A与事件B互斥，如果没有这一条件，加法公式将不能应用.2.如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于其概率的和。3.在求某些稍复杂的事件的概率时，可将其分解成一些概率较易求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易。注意：性质4：如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B)3.对立事件有一个发生的概率如在掷骰子实验时，事件G={出现的点数为偶数}；H={出现的点数为奇数}；1.公式使用的前提必须页是对立事件，否则不能使用此公式。2.当一事件的概率不易直接求，但其对立事件的概率易求时，可运用此公式，即使用间接法求概率.注意：例1.某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或7环的概率；(2)不够7环的概率．解：(1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件．“射中10环或7环”的事件为A∪B.故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.∴射中10环或7环的概率为0.49.例题讲解例1.某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或7环的概率；(2)不够7环的概率．解：(2)不够7环从正面考虑有以下几种情况:射中6环、5环、4环、3环、2环、1环、0环，但由于这些概率都未知，故不能直接求解，可考虑从反面入手，不够7环的反面为大于等于7环，即7环、8环、9环、10环，由于此两事件必有一个发生，另一个不发生，故是对立事件，可用对立事件的方法处理。设"不够7环"为事件E，则事件为“射中7环或8环或9环或10环”,由(1)可"射中7环"、"射中8环"、"射中9环"、"射中10环"是彼此互斥的事件，∴P()=0.21+0.23+0.25+0.28=097,从而P(E)=1-P()=1-0.97=0.03.∴"不够7环"的概率为0.03.一般地，对于事件A与事件B,如果A⊆B,即事件A发生，则事件B一定发生，那么事件A的概率不超过事件B的概率。于是我们有概率的单调性：在古典概型中，对于事件A与事件B,如果A⊆B,那么n(A)≤n(B).于是即P(A)≤P(B)

由性质5可得,对于任意事件A,因为⌀⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.性质5：如果A⊆B,那么P(A)≤P(B)一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,“两个球中有红球”=R1∪R2,那么P(R1∪R2)和P(R1)+P(R2)相等吗？如果不相等，请你说明原因，并思考如何计算P(R1∪R2).因为n(Ω)=12,n(R1)=n(R2)=6,n(R1∪R2)=10,所以P(R1)=P(R2)=6/12,P(R1UR2)=10/12.因此P(R1∪R2)≠P(R1)+P(R2).这是因为R1∩R2={(1,2),(2,1)}≠Φ,即事件R1,R2不是互斥的,容易得到P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)－P(R1∩R2).一般地，我们有如下的性质：

性质6：

设A,B是一个随机试验中的两个事件，我们有

P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B)归纳总结性质1对任意的事件A,都有P(A)≥0性质2必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0.即P(Ω)=1,P(⌀)=0性质3如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B)性质4如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)+P(A)=1,P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B)性质5如果A⊆B,那么P(A)≤P(B)性质6设A,B是一个随机试验中的两个事件,则有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)1.对于P(A∪B)=P(A)+P(B)应用的前提是A,B互斥,并且该公式可以推广到多个事件的情况.如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).该公式我们常称为互斥事件的概率加法公式.2.若A与B互为对立,则有P(A)+P(B)=1;若P(A)+P(B)>1,并不能得出A与B互为对立.3.对于概率加法的一般公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),当A∩B=Φ时,就是性质3.4.由性质5可得,对于任意事件A,因为⌀⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.说明：例2.从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A=“抽到红心”，事件B=“抽到方片”，P(A)=P(B)=0.25.那么(1)C=“抽到红花色”，求P(C);(2)D=“抽到黑花色”，求P(D).解：(1)因为C=A∪B,且A与B不会同时发生，所以A与B是互斥事件.根据互斥事件的概率加法公式，得P(C)=P(A)+P(B)=0.25+0.25=0.5(2)因为C与D互斥，又因为C∪D是必然事件，所以C与D互为对立事件.因此P(D)=1－P(C)=1－0.5=0.5.例题讲解例3.为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少？分析：“中奖”包括第一罐中奖但第二罐不中奖、第一罐不中奖但第二罐中奖、两罐都中奖三种情况。如果设A=“中奖”，A1=“第一罐中奖”，A2=“第二罐中奖”，那么就可以通过事件的运算构建相应事件，并利用概率的性质解决问题.解：设事件A=“中奖”，事件A1=“第一罐中奖”，事件A2=“第二罐中奖”，那么事件A1A2=“两罐都中奖”，A1

=“第一罐中奖，第二罐不中奖”，A2=“第一罐不中奖，第二罐中奖”，且A=A1A2∪A1∪A2.因为A1A2,A1,A1

两两互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得P(A)=P(A1A2)+P(A1)+P(A2).我们借助树状图来求相应事件的样本点数.可以得到，样本空间包含的样本点个数n(Ω)=6×5=30,且每个样本点都是等可能的.因为n(A1A2)=2,n(A1)=8,n(A2)=8,所以法2:注意到事件A的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”，由于=“两罐都不中奖”，而n()=4×3=12,所以将复杂事件用简单事件的运算结果表示，利用概率运算法则求概率，是一种重要的思想方法.例3中的事件“中奖”等价于“至少一罐有奖”，利用树状图把“中奖”表示为两两互斥的3个事件的和事件，请同学们体会解决这类问题时树状图的作用.

盒子中有大小、形状均相同的一些黑球、白球和黄球,从中摸出一个球,摸出黑球的概率是0.42,摸出黄球的概率是0.18,则摸出的球是白球的概率是

,摸出的球不是黄球的概率是

,摸出的球或者是黄球或者是黑球的概率是

.练习答案:0.40

0.82

0.60

一个电路板上装有甲、乙两根熔丝,甲熔断的概率为0.85,乙熔断的概率为0.74,两根同时熔断的概率为0.63,问至少有一根熔断的概率是多少?练习解:设A=“甲熔丝熔断”,B=“乙熔丝熔断”,则“甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件A∪B.P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.85+0.74-0.63=0.96.

据统计,某储蓄所一个窗口排队等候的人数及相应概率如下表:(1)求至多2人排队等候的概率;(2)求至少2人排队等候的概率.练习排队等候的人数012345概率0.10.20.30.40.50.6解:记在窗口排队等候的人数为0,1,2分别为事件A,B,C,则A,B,C两两互斥.(1)至多2