研究院北京2025二模理分类汇编数列及推理与证明压轴题教师版

第页2025二模分类汇编——数列及推理证明压轴题1.（2025昌平二模·理）已知等比数列中，，则=A． B．C． D．A2.（2025朝阳二模·理）若三个非零且互不相等的实数，，成等差数列且满足，则称，，成一个“等差数列”.已知集合，则由中的三个元素组成的所有数列中，“等差数列”的个数为（）A．B．C.D．B3.（2025房山二模·理）的三个内角分别为,,，则“”是“,,成等差数列”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件C4.（2025海淀二模·理）已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（A）求首项为1，公比为2的等比数列的前2025项的和（B）求首项为1，公比为2的等比数列的前2025项的和（C）求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和（D）求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和C5.（2025丰台二模·理）已知等比数列中，，，则数列的前5项和．1216.（2025顺义二模·理）已知为等差数列，为其前项和，若，则_______.187.（2025朝阳二模·理）设等差数列的前项和为．若，，则数列的通项公式可以是____．7.（答案不唯一）8.（2025东城二模·理）设等比数列的公比，前n项和为Sn，则=_______．8.9.（2025顺义二模·理）（本小题满分13分）已知数列.如果数列满足，，其中，则称为的“陪伴数列”.（Ⅰ）写出数列的“陪伴数列”；（Ⅱ）若的“陪伴数列”是.试证明：成等差数列.（Ⅲ）若为偶数，且的“陪伴数列”是，证明：.9.（Ⅰ）解：.………………3分（Ⅱ）证明：对于数列及其“陪伴数列”，因为，将上述几个等式中的第这4个式子都乘以，相加得即故所以成等差数列.………………8分（Ⅲ）证明：因为，由于为偶数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得即，.………………13分10.（2025海淀二模·理）（本小题共13分）如果数列满足“对任意正整数，，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质P”.已知数列是无穷项的等差数列，公差为.（Ⅰ）若，公差，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由；（Ⅱ）若数列具有“性质P”，求证：且；（Ⅲ）若数列具有“性质P”，且存在正整数，使得，这样的数列共有多少个？并说明理由10.（本小题13分）解：（Ⅰ）若，公差，则数列不具有性质． 1分理由如下：由题知，对于和，假设存在正整数k，使得，则有，解得，矛盾！所以对任意的，． 3分（Ⅱ）若数列具有“性质P”，则 ①假设，，则对任意的，.设，则，矛盾！ 4分 ②假设，，则存在正整数，使得设，，，…，，，，则，但数列中仅有项小于等于0，矛盾！ 6分 ③假设，，则存在正整数，使得设，，，…，，，，则，但数列中仅有项大于等于0，矛盾！ 8分 综上，，．（Ⅲ）设公差为的等差数列具有“性质P”，且存在正整数，使得．若，则为常数数列，此时恒成立，故对任意的正整数， 这及数列具有“性质P”矛盾，故．设是数列中的任意一项，则，均是数列中的项，设 则，因为，所以，即数列的每一项均是整数．由（Ⅱ）知，，，故数列的每一项均是自然数，且是正整数． 由题意知，是数列中的项，故是数列中的项，设，则即． 因为，，故是的约数． 所以，,． 当时，，得，故，共2025种可能； 当时，，得，故，共1010种可能； 当时，，得，故 ，共3种可能； 当时，，得，故 ，共2种可能；当时，，得，故 ，共2种可能； 当时，，得，故 ，共1种可能；当时，，得，故，共1种可能；当时，，得，故，共1种可能．综上，满足题意的数列共有（种）．经检验，这些数列均符合题意． 13分11.（2025丰台二模·理）（本小题共13分）已知数列的前项和为，，，当时，其中，是数列的前项中的数对的个数，是数列的前项中的数对的个数．（Ⅰ）若，求，，的值；（Ⅱ）若为常数，求的取值范围；（Ⅲ）若数列有最大项，写出的取值范围（结论不要求证明）．11.（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为，，所以，所以．…1分因为，所以．…2分因为，所以．…4分所以，，．（Ⅱ）当时，，，…5分当时，因为，所以，所以．因为，所以，所以．…7分当时，因为，所以，所以．因为，所以，所以．…9分所以时，为常数的必要条件是．当时，，因为当时，，都有，所以当符合题意，同理和也都符合题意．…10分所以的取值范围是．（Ⅲ）或．…13分（若用其他方法解题，请酌情给分）12.（2025房山二模·理）（本小题分）已知集合，其中，中所有不同值的个数.（Ⅰ）设集合,分别求；（Ⅱ）若集合求证：；（Ⅲ）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．12.解：（Ⅰ）由由…………3分（Ⅱ）证明:最多有个值,又集合任取当时,不妨设即当∴当且仅当即所有的值两两不同，…………9分（Ⅲ）存在最小值，且最小值为，不妨设可得，∴中至少有个不同的数，即，取，，即的不同值共有个，故的最小值为．…………13分13.（本小题满分13分）数列：的各项均为整数，满足：，且，其中．（Ⅰ）若，写出所有满足条件的数列；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）证明：．13.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）满足条件的数列为：；；；．………………3分（Ⅱ）．………………4分否则，假设，因为，所以．又，因此有这及矛盾！所以．………………8分（Ⅲ）先证明如下结论：，必有.否则，令，注意左式是的整数倍，因此．所以有：这及矛盾！所以．………………10分因此有：将上述个不等式相加得， ① 又 ， ②两式相减即得．………………13分14.（2025朝阳二模·理）若无穷数列满足：存在（，，），并且只要，就有(为常数，），则成具有性质.（1）若具有性质，且，，，，，，求；（2）若无穷数列的前项和为，且（），证明存在无穷多个的不同取值，使得数列具有性质；（3）设是一个无穷数列，数列中存在（，，），且（），求证：“为常数列”是“对任意正整数，都具有性质”的充分不必要条件.14.【解析】（Ⅰ）因为具有性质,且所以由,得,所以,经检验符合题意.（Ⅱ）因为无穷数列的前项和为,且,所以当时,,若存在则,取(且为常数),则,对,有所以数列有性质,且的不同取值有无穷多个.（Ⅲ）证明:当为常数列时,有(常数),对任意正整数,因为存在,则由,必有,进而有,这时,所以都具有性质.所以,“为常数列”是“对任意正整数,都具有性质”的充分条件.取,对任意正整数,由,得,因为为正整数,所以,且.当时,对任意,则同为奇数或同为偶数,=1\*GB3①若同为偶数,则成立;=2\*GB3②若同为奇数,则成立;所以若对于任意满足,则取,,故具有性质,但不为常数列,所以“为常数列”是“对任意正整数,都具有性质”的不必要条件.证毕.15.（2025东城二模·理）（本小题13分）设均是正整数，数列满足：，（I）若，，写出的值；（II）若，为给定的正奇数，求证：若为奇数，则；若为偶数，则；（III）在（II）的条件下，求证：存在正整数，使得.15.（20）（共13分）解：（I）1或12.……………4分（II）=1\*GB3①当时，为奇数，成立，为偶数，.=2\*GB3②假设当时，若为奇数，则，若为偶数，则.那么当时，若是奇数，则是偶数，；若是偶数，.此时若是奇数，则满足，若是偶数，满足.即时结论也成立.综上，若为奇数，则；若为偶数，则.……9分（III）由（II）知，中总存在相等的两项.不妨设是相等两项中角标最小的两项，下证.假设.=1\*GB3①若，由知和均是由和除以2得到，即有，及的最小性矛盾；=2\*GB3②若，由知和均是由和加上得到，即有，及的最小性矛盾；综上，，则.即若，是正奇数，则存在正整数，使得.…………13分16.（2025昌平二模·理）(本小题13分)已知正项数列中，若存在正实数，使得对数列中的任意一项，也是数列中的一项，称数列为“倒置数列”，是它的“倒置系数”．（=1\*ROMANI）若数列：是“倒置系数”为的“倒置数列”，求和的值；（=2\*ROMANII）若等比数列的项数是，数列所有项之积是，求证：数列是“倒置数列”，并用和表示它的“倒置系数”；（=3\*ROMANIII）是否存在各项均为整数的递增数列，使得它既是等差数列，又是“倒置数列”,如果存在，请写出一个满足条件的数列，如果不存在，请说明理由．16.(共13分)解：（=1\*ROMANI）因为数列：是“倒置系数”为的“倒置数列”.所以也是该数列的项，且.故，即.3分（=2\*ROMANII）因为数列是项数为项的有穷正项等比数列，取，对数列中的任意一项，也是数列中的一项，由“倒置数列”的定义可知，数列是“倒置数列”；