2023年八年级数学上册导学案全册

第十一章：全等三角形导学案

黑龙江省依兰县第一中学朱庆伟

1X.1《全等三角形》导学案

【使用说明与学法指导】

1.课前完毕预习案，牢记基础知识，掌握基本题型，时间不超过15分钟。

2.组内探究、合作学习完毕《课内探究》不超过20分钟。

3.小组长在课上合作探究环节要在组内起引领示范作用，控制讨论节奏。

4.人人参与，合作学习,人人都有收获，人人都有进步。

5.带*的题要多动脑筋，展示你的能力。

一、学习目的：

1.理解全等三角形的概念，能辨认全等三角形的相应顶点、相应边、相应角。

2.掌握全等三角形的性质，并运用性质解决有关的问题。

3.会用符号表达全等三角形及他们的相应元素，培养大家的符号意识。

二、重点难点：运用全等三角形的性质解决相关的计算及证明等问题。

三、学习过程

《课前预习案》

（一）、自主预习课本2—3页内容，回答下列问题：

1、可以的图形就是全等图形，两个全等图形的

和_____，_完全相同。

2、一个图形通过、、后所得的图形与原

图形0

3、把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做，重合

的边叫做,重合的角叫做。“全等”用“”表

达,读作O

4、如图所示,/XOCAg/XOBD,

相应顶点有：点—和点—，点—和点______,点一

___t

.相应角有:_____和______,______和_______,_____:和AD

______f

相应边有：_____和一，.—一和_____,________和_____________•

5、全等三角形的性质：全等.三角形的一________________相等，

相等。

（二）、练一练

1.如图，ZXABC丝△CDA,A8和CD,BC和DA是相应边,)写

A

/j'

C

2如图，ZXABN经△ACM,ZB和NC是相应角，AlBA

;

与AC是相应边。写出其他相应边及相应角。

BMNC

（三）、我的疑惑

《课内探究》

1.如图△EFGgZ\NMH,NF和ZM是相应角.在^EFG中，FG是最长边.

在△NMH中，MH是最长边.EF=2.1cm,EH=l.1cm,HN=3.3cm.

(1)写出其他相应边及相应角.

(2)求线段MN及线段HG的长.

2.如图，AABC^ADEC,CA^CD,CB和CE是相应边.NACD和NBCE相等吗？

为什么？

3.本节课小结(我的收获)

(1)知识方面：

(2)学习方法方面：

《课后训练》

1.如图所示，若△OADgaOBC,NO=65°，/C=20°,则NOAD二

导学案

【使用说明与学法指导】：

1.学生运用自习先预习课本第6、7页完毕《课前预习案》（15分钟）。

2.组内探究、合作学习完毕《课内探究》（20分钟）

3.小组长在课上合作探究环节要在组内起引领示范作用，控制讨论节奏。

4.枳极投入，激情展示,做最佳自己。

5.带*的题要多动脑筋，展示你的能力。

【学习FI的11、能自己实验探索出鉴定三角形全等的SSS鉴定定理。

2、会应用鉴定定理SSS进行简朴的推理鉴定两个三角形全等

3、会作一个角等于已知角.

【学习重点】：三角形全等的条件.

【学习难点］寻求三角形全等的条件.

【学习过程】：

一、自主学习M

1、复习：什么是全等三角形?全等三角形有些什么性质？y\

如图，^ABCgZXDCB那么Bc

相等的边是：____________________________________________

相等的角是：___________________________________________

2、讨论三角形全等的条件（动手画一画并回答下列问题）

（1）.只给一个条件：一组相应边相等（或一组相应角相等），画出的两个三角形一定全等

吗？

（2）.给出两个条件画三角形，有种情形。按下面给出的两个条件，画出的两个三角形

一定全等吗？

①一组相应边相等和一组相应角相等

②两组相应边相等

③两组相应角相等

(3)、给出三个条件画三角形，有种情形。按下面给出三个条件，画出的两个三角形

一定全等吗？

①三组相应角相等

②三组相应边相等

已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm.你能画出这个三角形吗？把你

画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？

a.作图方法：

b.以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现,这说明这些三角形都

是的.

c.归纳:三边相应相等的两个三角形，简写为“”或“”.

d、用数学语言表述：A大

在△ABC和中，

AB=A'B'BcBC

,・・AC=J△ABC四

BC=

)

用上面的规律可以判断两个三角形.“SSS”是证明三角形全等的一个依据.

《课内探究》

二、合作探究

1、［例］如图，AABC是一个钢架,AB=AC,AD是连结点A与BC中点D的支架.

求证：△ABDgAACD.

证明：•・》是BC

・,.在4和4中

AB=

{BD=一

AD=

/.△ABDAACD()

温馨提醒：证明的书写环节：

①准备条件:证全等时需要用的间接条件要先证好;

②三角形全等书写三环节：

A、写出在哪两个三角形中,B、摆出三个条件用大括号括起来，C、写出全等结论。

2、如图，OA=OB,AC=BC.

求证：ZAOC=ZBOC.

3、尺规作图。

已知：ZAOB.求作：ZDEF,使NDEF=NAOB

4.本节课小结(我的收获)

(1)知识方面：

(2)学习方法方面:

三、课堂巩固练习.

1、如图，AB=AE,AC=AD,BD=CE,求证:AABC

gADEo

2、已知：如图,AD=BC,AC=BD.求证：/OCD=NODC

《课后训练》

1、下列说法中，错误的有（）个

（1）周长相等的两个三角形全等。（2）周长相等的两个等边三角形全等。（3）有三个角相应

相等的两个三角形全等。［4）有三边相应相等的两个三狗形全等

A、1B、2C、3D、4

2.如图，点B,E,C,F在同一直线上，且AB=DE,AC=DF,BE=CF,请将下面说明AABC9△

DEF的过程和理由补充完整。

解:YBECF（）

.*.BE+EC=CF+EC

即BC=EF

在AABC和ADEF中

AB=()

'=DF()

V

BC=_______________

・•・AABC^ADEF()

3.如图，已知AB=DE,BC=EF,AF=DC〃ljNEFD=/BCA,请说明理

AFCU

*4.如图，在△4BC中，48=AC,。是EC的中点，点E在A。

上，找出图中全等的三角形，并说明它们为什么是全等的.

课题：《11.2三角形全等的鉴定》（SAS）导学案

【使用说明与学法指导】：

1.学生课前预习课本第9页完毕（自主学习1、4）

2.组内探究、合作学习完毕（探究一、探究二）

3.小组长在课上合作探究环节要在组内起引领示范作用，控制讨论节奏。

4.积极投入，激情展示,做最佳自己。

5.带*的题要多动脑筋，展示你的能力。

【学习目的】

1、掌握三角形全等的“SAS”条件,能运用“SAS”证明简朴的三角形全等问题

2.经历探索三角形全等条件的过程，体会运用操作、归纳获得数学结论的过程.

3,积极投入，激情展示，做最佳自己.

教学重点：SAS的探究和运用.

教学难点：领略两边及其中一边的对角相应相等的两个三角形不一定全等.

【学习过程】

一、自主学习

1、复习思考

(1)如何的两个三角形是全等三角形？全等三角形的性质是什么？三角形全等的鉴定(一)的

内容是什么？

(2)上节课我们知道满足三个条件画两个三角形有4种情形，三个角相应相等;三条边相应相

等;两角和•边相应相等；两边和•角相应相等;前两种情况已经研究了，今天我们来研究第

三种两边和角的情况，这种情况乂要分两边和它们的夹角，两边及其边的对角两种情况.

2、探究一:两边和它们的夹角相应相等的两个三角形是否全等?

(1)动手试一试

已知：4ABC

求作:==ZA'=ZA

(2)把△A'8'C剪下来放到AABC上，观测△4'8'C与AABC是否可以完全重合？

(3)归纳；由上面的画图和实验可以得出全等三角形鉴定(二)：

两边和它们的夹角相应相等的两个三角形(可以简写成“”或

(4)用数学语言表述全等三角形鉴定(二)

在aABC和中，

AB=A,B,

•・•{ZB=/.AABC^

BC=

3、探究二：两边及其一边的对角相应相等的两个三角形是否全等？

通过画图或实验可以得出：__________________________________________________________

如图11.2-6,有一塘，要测

墉两端A,B的距离，可先在平地上取

一个可以直接到达八和B的点C,连接八C

并延长到D,使8—C4连接BC并延长

到E,使CE-CB.连接DE,那么量出

DE的长就是八，B的距离.为什么？

4.例题学习

（再次温郎提酣.，证明的书写环节：

①准备条件;证全等时需要用的间接条件要先证好；

②三角形全等书写三环节：

A、写出在哪两个三角形中,B、摆出三个条件用大括号括起火，C、写出全等结论。）

5.我的疑惑:

二、学以致用

练习

1.加图，两车从南北方向的路段AB的一埔A出发，分别向东，向西行边相向的

距网.到达C,D两地.此时C,D到B的距商相等吗？为什么？

B

2.如图.点E,F在BC上，BE=CF,AB-DC.NB=/C.求证/A=ND

三、当堂检测

1、如图，AD±BC,D为BC的中点,那么结论对的的有

A、AABD^AACDB、ZB-ZCC、AD平分/EAC

形

2、如图，已知（）A=OB,应填什么条件就得到AAOCg△

BOD

（允许添加一个条件）

3、如图，AB=AC.AD=AE.求证NB=/C

A

a

B

*四、能力提高：（学有余力的同学完毕）

如图,已知CA=CB,AD=BD,N分别是CA、CB的中点,求证：DM=DN

五、课堂小结

1、两边和它们的夹角相应相等的两个三角形全等。简写成“”或

2、到目前为止,我们一关探索出鉴定三角形全等的2种方法，它们分别是:和.

六、作业:第15页习题11.23-4第16页第10题

课题：《11.2三角形全等的鉴定》（ASA、AAS）导学案

使用说明：学生运用自习先预习课本第II页-12页10分钟，然后35分钟独立做完学案。正

课由小组讨论交流10分钟，25分钟展示点评』。分钟整理贯彻，对于有疑问的题目教师点

拨、拓展。

【学习目的】

1、掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件.能运用全等三角形的条件，解决简朴的

推理证明问题

2.经历探索三角形全等条件的过程，体会运用操作、归纳获得数学结论的过程.

3、积极投入，激情展示，体验成功的快乐。

教学重点：已知两角一边的三角形全等探究.

教学难点：灵活运用三角形全等条件证明.

【学习过程】

一、自主学习

1、复习思考

(1).到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？

(2).在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两

角•边是否可以判断两三角形全等呢？三角形中已知两角•边又提成哪两种呢？

2、探究一：两角和它们的夹边相应相等的两个三角形是否全等？

(1)动手试一试。

己知：4ABC

求作:△48'。,使NB'=NB,NC'=NC,3'C'=BC,(不写作法，保存作图痕迹)

(2)把△A'8'C'剪下来放到aABC上，观测△A'8'C与AABC是否可以完全重合？

(3)归纳；由上面的画图和实验可以得出全等三角形鉴定(三)：

两角和它们的夹边相应相等的两个三角形______（可以简写成______"或“_________")

（4）用数学语言表述全等三角形鉴定（三）

在AABC和△A'3'C'中，入A,

\A

ZB=ZB'/'

VBC=JAABC^___________/----------

CB-C

zc=

3、探究二。两角和其中一角的对边相应相等的两三角形是否全等

（1）如图，在△△BCWADEF中,ZA=ZD,ZB=ZE,BC=EF,△ABC与△DEF全等吗？

能运用前面学过的鉴定方法来证明你的结论吗？

AD

BCEF

（2）归纳;由1：面的证明可以得出全等三角形鉴定（四）：

两个角和其中一角的对边相应相等的两个三角形—_______(可以简写成“_________”或

a，，）

（3）用数学语言表述全等三角形鉴定（四）

在AABC和A/TZTC中，

NA=NA'AA

•・1/B=:.AABC^___________________

BC=BCB'C

二、合作探究

1＞例1、如下图，1）在AB上,E在AC上，AB=AC,NB=/C..

求证：AD=AE.

.已知：点在上，点在上，A

2DABEACBE1AC,CDIAB.AB=AC,

BC

求证:BD=CE

三、学以致用

1.如图，要•测量池墙两弹相对的两点A.B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点

CD.使BC=CD,再禺出BF的垂税DE,使E与A,C在一条直线上，这

时测得DE的长就是AB的长.为什么？

（第10）（第2题）

2.如图，AB1BC.ADJLDC,/1=/2,求证AB=AD.

3、如图，在AABC中，ZB=2ZC,AD是AABC的角平分线，N1=NC,求证AC=AB+

CE

四、课堂小结

（1）今天我们又学习了两个鉴定三角形全等的方法是:

（2）三角形全等的鉴定方法共有

五、课后检测

1、如EB・N1=N2,N3=N4.求iEAC=AD.

2、如图，点B.F,C.E在一条直线上，FB=CE.AB//ED.AC//FD.求证

AB=DE,AC=DF.

如上页图，D是AB上一点，DF交AC于点E,DE=

FE,FC//AB.AE与CE有什么关？证明你的结论.

4.满足下列哪种条件时，就能鉴定△ABC@Z\DEF()

A.AB=DE>BC=EF,NA=NE；B.AB=DE,BC=EF,ZC=ZF

C.ZA=ZE,AB=EF,ZB=ZD;D.NA=ND,AB=DE,ZB=ZE

5.如图所不，己知NA=/D,N1=N2,那么要

得到△ABCg^DEF,还应给出的条件是：（）

D

A.ZB=ZEB.ED=BC

C.AB=EFD.AF;CD

6.如6题图，在AABC和ADEF中,AF=DC,ZA=ZD,

当_______________时，可根据“ASA”证明△ABCgZM)EF

课题：《11・2三角形全等的鉴定》(HL)导学案

使用说明：学生运用自习先预习课本第13、14页10分钟，然后35分钟独立做完学案。正课

由小组讨论交流10分钟，25分钟展示点评，10分钟整理贯彻,对于有疑问的题H教师点拨、

拓展。

【学习目的】

1、理解直角三角形全等的鉴定方法“IIL”，井能灵活选择方法鉴定三角形全等；

2.通过独立思考、小组合作、展示质疑，体会探索数学结论的过程,发展合情推理能力；

3.极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

教学重点：运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

教学难点：纯熟运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题O

【学习过程】

一、自主学习

1、复习思考

(1)、鉴定两个三角形全等的方法：_________、_______、_

(2)、如图,RtAABC中，直角边是_________、___________,斜边是_____BC

(3)、如图,AB_LBE于B,DEJ_BE于E,

①若NA=ND,AB=DE,

则△ABC与aDEF___________(填“全等”或“不全等”)

根据___________________(用简写法)

则ZiABC与4DEF(填“全等”或“不全等”)

根据（用简写法）

③若AB二DE,BC=EF,

则Z\ABC与4DEF（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）

④若AB=DE,BC=EF：AC=DF

则△ABC与ADEF.（填“全等”或“不全等”）根据.（用简

写法）

2、假如两个直角三角形满足斜边和一条直角边相应相等，这两个直角三角形全等吗？

（1）动手试一试。

已知：RtAABC

求作：Rt^A'b'C,使NC'=90°,A'B'=AB,8'C'=BC

作法:

（2）把△ABC剪下来放到AABC上，观测△ABC与△ABC是否可以完全重合？

（3）归纳；由上面的画图和实验可以得到鉴定两个直角三角形全等的一个方法

斜边与一直角边相应相等的两个直角三角形（可以简写成“”或

”)

（4）用数学语言表述上面的鉴定方法

在RtAABC和RtAA'B'C1中,

BC=B'C'

・••RtAABC^Rt△

AB=

（5）直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有•般三角形鉴定全等的方法“

”、尚有直角三角形特殊的鉴定方法”

二、合作探究

1、如图，AC=AD,NC,/D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？

2、如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相

等,两个滑梯的倾斜角ZABC和NDFE的大小有什

么关系？

三、学以致用

1、如图，ZkABC中,AB=AC,AD是高，A

则4ADB与AADC（填“全等”或“不全等”）/\

根据（用简写法）

2、判断两个宜角三角形全等的方法不对的的有（）

A、两条直角边相应相等B、斜边和一锐角相应相等

C、斜边和一条直角边相应相等D、两个锐角相应相等

3、如图,B、E、F、C在同一直线上，AF_LBC于F,DE_LBC于E,

AB=DC,BE=CF,你认为AB平行于CD吗？说说你的理由>

答:AB平行于CD/

理由：•:AF±BC,DE±BC（已知）/

:.ZAFB=ZI）EC=°（垂直的定义）口

VBE=CF,・・・BF=CE

在RtA和RtA中

</.g

)

)

・••（内错角相等，两直线平行）

四、能力提高：（学有余力的同学完毕）

如图1,E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE_LAC于E点,BFJ_AC于F点，若AB=CD,AF=

CE,BD交AC于M点。（1）求证：MB=叫ME=MF;⑵当E、F两点移动至图2所示的位

立，给予证明。

五、当堂检测

如图，CE_LAB,DFJ_AB,垂足分别为E、F,

(1)若AC〃DB,且ACRB,则△ACEg/\BDF,根据

(2)若AC//DB,HAE=BF,则△ACEgZMWF,根据

(3)若AE=BF,且CE=DF,则△ACE9Z\BDF,根据

(4)若AOBD,AE=BF,CE=DFO则Z\ACE且△BDF,根据.

(5)若AC=BD,CE=DF(或AE=BF),则△ACEgABDF,根据

六、课堂小结

这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流

作业：第16页习题11.27-8第17页第13题

课题：《11・3角的平分线的性质》（1）导学案

使用说明：学生运用自习先预习课本第19页探究一第21页思考前10分钟，然后35分钟独

立做完学案。正课由小组讨论交流10分钟，25分钟展示点评，10分钟整理贯彻，对于有疑

问的题目教师点拨、拓展，

【学习目的】

1、经历角的平分线性质的发现过程,初步掌握角的平分线的性质定理.

2、能运用角的平分线性质定理解决简朴的几何问题.

3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

教学重点:掌握角的平分线的性质定理

教学难点：角平分线定理的应用。

【学习过程】

A

一、自主学习//\

/X

1、复习思考D〈/\

什么是角的平分线？如何画一个角的平分线？'、、/

C

2.如右图，AB=AD,BC=DC,沿着A、C画一条射线AE,AE就E

是NBAD的角平分线，你知道为什么吗

3.根据角平分仪的制作原理,如何用尺规作角的平分线？自学课本19页后，思考为什么要

用大于LMN的长为半径画弧？

2

4.OC是NAOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，

操作测量:取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD_LOA,PE_L0B,点D、E为垂足,

测量PD、PE的长.将三次数据填入下表:观测测量结果，猜想

/A

线段PD与PE的大小关系，写出结论、/

C

O

B

PDPE

第一次

第二次

第三次

5、命题:角平分线上的点到这个角的两边距离相等.

题设:一个点在一个角的平分线卜

结论：这个点到这个角的两边的距离相等

结合第4题图形请你写出已知和求证,并证明命题的对的性

解后思考:证明一个几何命题的环节有那些？

6、用数学语言来表述角的平分线的性质定理:

如右上图，・・・0C是NAOB的平分线，点P是

二、合作探究

1、如图所示0C是NAOB的平分线，P是0C上任意一点，问PE=PD?为什么？

2、如图:在△ABC中，ZC=90°,AD是NBAC的平分线,DE_LAB于E,F在AC上,BD=DF；

求证:CF=EB

三、学以致用

在双△ABC中，BD平分NABC,DE_LAB于E,则

⑴图中相等的线段有哪些?相等的角呢?

⑵哪条线段与DE相等?为什么？

⑶若AB=10,BC=8,AC=6,求BE,AE的长和△,八£口的周长。

四、当堂检测

如图，在AABC中，AC1BC,AD为NBAC的平分线，DE_AB,AB=7

的长

五、课堂小结

这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流

六、作业：

第22页习题11.31-2第23页第4-5题

课题：《11.3角的平分线的性质》（2）导学案

使用说明：学生运用自习先预习课本第21页8分钟，然后30分钟独立做完学案。正课由

小组讨论交流10分钟，25分钟展示点评，10分钟整理贯彻，对于有疑问的题目教师点拨、

拓展。

【学习目的】

1、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”.

2、能应用这两个性质解决一些简朴的实际问题.

3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

教学重点:角平分线的性质及其应用

教学难点：灵活应用两个性质解决问题O

【学习过程】

一、自主学习

1、复习思考

(1)、画出三角形三个内角的平分线

你发现了什么特点吗？___________________________________________________

(2)、如图，AABC的用平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB,

2、求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

(提醒:先画图，并写出己知、求证，再加以证明)

3、要在S区建一个集贸市场,使它到公路，铁路

距离相等且离公路,铁路的交叉处500米，应建在何

处？(比例尺1：20000)

二、合作探究

1、比较角平分线的性质与鉴定

性质的逆命题（角平分线的判定）

角平分线上的点到角两边的距离相等角的内部到角两边距得相等的点在角的平分线上

由已知事项由巳知事项

图形已知事项皆形已知事项

推出的事项推出的事项

。与A。与

BB

联系

2、如图,CD_LAB,BEJ.AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O,OB=OC,

求证N1=N2

三、学以致用

22页练习题

四、能力提高提）

如图，在四边形ABCD中,BC>BA,AD=DC,BD平分NABC,求证：ZA+ZC=180°

五、课堂小结

这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流

六、作业

1、已知AABC中，ZA=60°,ZABC,NACB的平分线交于点0,则/BOC的度数为

2、下列说法错误的是（）

A、到已知角两边距离相等的点都在同一条直线上

B、一条直线上有一点到已知角的两边的距离相等，则这条直线平分已知角

C、到已知角两边距离相等的点与角的顶点的连线平分已知角

D、已知角内有两点各自到两边的距离相等，通过这两点的直线平分已知角

3、到三角形三条边的距离相等的点是（）

A、三条中线的交点B、三条高线的交点

C、三条边的垂直平分线的交点D、三条角平分线的交点

4、课本23页第6题

课题:第十一章全等三角形复习（1、2）

一、学习目的：

1.知道第十一章全等三角形知识结构图.

2.通过基本训练，巩固第十一章所学的基本内容.

3.通过典型例题的学习和综合运用，加深理解第十一章所学的基本内容，发展能

力.

二、学习重点和难点：

1.重点:知识结构图和基本训练.

2.难点:典型例题和综合运用.

三、归纳总结，完善认知

1.总结本章知识点及互相我系.

2.三角形全上一个条件

探究两个条件_三边______________

三角形|_三个条件_—一边"£两边——

"两角一边相应相等一两边一对角

全等的

条件

四、基本训练，掌握双基

1.填空

(1)可以的两个图形叫做全等形，可以的两个三角形叫做全

等三角形.

(2)把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做，重合的边叫

做,重合的角叫做.

(3)全等三角形的边相等，全等三角形的角相等.

(4)相应相等的两个三角形全等(边边边或).

(5)两边和它们的相应相等的两个三角形全等(边角边或).

(6)两角和它们的相应相等的两个三角形全等(角边角或).

(7)两角和其中一角的相应相等的两个三角形全等(角角边或).

(8)和一条相应相等的两个直角三角形全等(斜边、直角边

或).

NB的相应角是,NACB的