多维随机变量及其分布

多维随机变量及其分布

n（元）维随机变量（向量）

称同一个样本空间

上的

n个随机变量X1，X2，…，Xn

构成的n维向量(X1,X2,…,Xn)为

上的n维随机变量

(向量)。

注：一维随机变量即为上一节介绍的随机变量，二维及二维以上的随机变量称为多维随机变量.分布函数n元实函数F(x1,x2,…,xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn}(x1,x2,…,xn)∈Rn

称为n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的分布函数。特别:二维随机向量(X,Y)的分布函数为F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}(x,y)∈R2注意:X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn

均表示事件,{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn}表示这几个事件同时发生.或称为X与Y的联合分布函数第3.1节二维随机变量XYxyX≤xY≤y{,}二维联合分布函数区域演示图:(x,y)一、二维离散型随机变量⒈二维离散型随机变量的概念如果二维随机变量（X,Y）的全部取值(数对）为有限个或无限可列个，则称随机变量（X,Y）为离散型的。易见，二维随机变量(X,Y)为离散型的等价于它的每个分量X与Y分别都是一维离散型的。⒉概率分布及其性质称pij=P{X=xi,Y=yj},(i,j=1,2,...,)为(X,Y)的概率分布(分布律）,其中{(xi,yj),i,j=1,2,...}为(X,Y)的取值集合,表格形式如下:Xx1x2…xi…y1y2…yj…

p11p12…p1j…p21p22…p2j………………pi1pi2…pij………………Y

(2)∑∑pij=1;

(3)P{(X,Y)∈D}=概率分布性质:

(1)pij≥0;i,j=1,2,…(4)F(x,y)=例3.1.1.将一枚均匀的硬币抛掷4次,X表示正面向上的次数,Y表示反面朝上次数,求(X,Y)的概率分布.解:X的所有可能取值为0,1,2,3,4,Y的所有可能取值为0,1,2,3,4,

因为X+Y=4,所以(X,Y)概率非零的数值对为:XY0413223140P{X=0,Y=4}=P{X=2,Y=2}==1/4=6/16P{X=3,Y=1}==1/4P{X=4,Y=0}=0.54=1/16X01234Y01234联合概率分布表为:

00001/160001/40006/160001/40001/160000P{X=1,Y=3}=0.54=1/16

离散型二维随机向量联合概率分布确定方法:

1.找出随机变量X和Y的所有取值结果,得到(X,Y)的所有取值数对;2.利用古典概型或概率的性质计算每个数值对的概率;3.列出联合概率分布表.例3.1.2.二维随机向量(X,Y)的概率分布为:X-101Y012

0.050.10.10.10.20.1a0.20.05求:(1)常数a的取值;(2)P{X≥0,Y≤1};(3)P{X≤1,Y≤1}解:(1)由∑pij=1得:a=0.1(2)由P{(X,Y)∈D}=得P{X≥0,Y≤1}=P{X=0,Y=0}+P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}=0.1+0.2+0.1+0.2=0.6(3)P{X≤1,Y≤1}=P{X=-1,Y=0}+P{X=-1,Y=1}+P{X=0,Y=0}

+P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}=0.753、离散型随机变量的边缘分布

边缘分布列（律）对于离散型随机变量(X,Y),分量X,Y的分布列（律）称为边缘分布列（律）。若(X,Y)的概率分布为pij=P{X=xi,Y=yj),i,j=1,2,...,则

P{X=xi}=(i=1,2,...)同理:一般地,记:P{X=xi}P{Y=yj}(j=1,2,...)分布表如下:XY.三、随机变量的相互独立性1.定义:称随机变量X,Y相互独立,若对任意的x,y都有特别:若X与Y相互独立，则它们的连续函数g(X)与h(Y)也相互独立。特别有:aX+b与cY+d相互独立.2.性质:例3.1.3.设(X,Y)的联合概率分布表为:Pi.0.250.40.0.35X-101Y012

0.050.10.10.10.20.10.10.20.05p.j0.250.50.25求:(1)X,Y的边缘分布;(2)X+Y的概率分布.解:(1)由分析得:X-101P0.250.40.35Y012P0.250.50.25(2)X+Y的取值为-1,0,1,2,3,P{X+Y=-1}=P{X=-1,Y=0}=0.05P{X+Y=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=-1,Y=1}=0.2P{X+Y=1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}同理,P{X+Y=2}=0.3,+P{X=-1,Y=2}=0.4X+Y-10123P0.050.20.40.30.05P{X+Y=3}=0.05例3.1.4.(X,Y)的联合概率分布为:X01Y01

0.30.40.20.1(1)求X,Y的边缘分布;(2)判断X,Y是否独立.解:(1)X,Y的概率分布分别为:X01P0.70.3Y01P0.50.5(2)P{X=0,Y=0}=0.3P{X=0}P{Y=0}=0.35X,Y不独立.注意:X,Y独立时,需对所有的(xi,yj)一一验证.=0.7×0.5

2.（895）已知随机变量X和Y的联合概率分布为

(x,y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)P{X=x,Y=y}0.100.150.250.200.15

A求：常数A；概率P{X≤1,Y≤1}；X、Y及X+Y的概率分布。

1.设随机变量X在1，2，3,4四个整数中等可能地取值，另一个随机变量Y在1—X中等可能地取一整数值。试求（X，Y）的联合概率分布。课堂练习:3.甲.乙二人独立地各进行两次射击,假设甲.乙的命中率分别为0.2,0.5,以X,Y表示甲.乙的命中次数,求X,Y的联合概率分布.解:X~B(2,0.2),Y~B(2,0.5),概率分布表为:X012P0.640.320.04Y012P0.250.50.25由X.Y的独立性得(X,Y)的联合概率分布为X012Y012

0.160.320.60.080.160.080010.020.01例3.1.5.若(X,Y)～

试求:(1)常数A;(2)P{X<2,Y<1};(3)

P{X≤x,Y≤y}.解:(1)所以,A=6=A/6=1(4)P{(X,Y)∈D},其中D为2x+3y≤6.XY0所以,P{X<2,Y<1}21{X<2,Y<1}(3)xXY0y所以,当x≥0,y≥0时,即:(4)P{(X,Y)∈D},其中D为2x+3y≤6.322x+3y=6XY0(1)P{(X,Y)∈D},其中D为y=-x+1,y=x+1,y=0所围区域.XY0y=-x+1y=x+111练习:P{(X,Y)∈D}第3.2节边缘分布一、边缘分布函数对二维随机变量（X，Y），称分量X（或Y）的分布函数为（X，Y）关于X（或Y）的边缘分布函数。

注意：由联合分布可以决定边缘分布，反过来，由边缘分布决定不了联合分布。但当分量独立时就可以决定。联合分布可以确定边缘分布二、离散型随机变量的边缘分布

(2)边缘分布列（律）对于离散型随机变量(X,Y),分量X,Y的分布列（律）称为边缘分布列（律）。若(X,Y)的概率分布为pij=P{X=xi,Y=yj),i,j=1,2,...,则

P{X=xi}=(i=1,2,...)同理:一般地,记:P{X=xi}Pi.P{Y=yj}P.j(j=1,2,...)分布表如下:XY.三、连续型随机变量的边缘概率密度对于连续型随机变量(X,Y)～f(x,y)，分量X,Y的概率密度称为(X,Y)关于X，Y的边缘概率密度。已知联合概率密度，容易求出边缘概率密度。事实上,(1)fX(x)≥0,(2)所以,fX(x)是X的概率密度,同理可证fY(y).例3.2.1.设(X,Y)的联合概率分布表为:Pi.0.250.40.0.35X-101Y012

0.050.10.10.10.20.10.10.20.05p.j0.250.50.25求:(1)X,Y的边缘分布;(2)X+Y的概率分布.解:(1)由分析得:X-101P0.250.40.35Y012P0.250.50.25(2)X+Y的取值为-1,0,1,2,3,P{X+Y=-1}=P{X=-1,Y=0}=0.05P{X+Y=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=-1,Y=1}=0.2P{X+Y=1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}同理,P{X+Y=2}=0.3,+P{X=-1,Y=2}=0.4X+Y-10123P0.050.20.40.30.05P{X+Y=3}=0.05例3.2.2.设随机向量(X,Y)服从区域D上的均匀分布,其中

D={(x,y),x2+y2≤1},求X,Y的边缘密度函数fX(x)和fY(y).解:(1)由题意得:XY-11当|x|>1时,f(x,y)=0,所以,fX(x)=0当|x|≤1时,所以,同理,注意:均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布例3.2.3（924）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为⑴求随机变量X的密度函数；⑵求概率P{X+Y≤1}.解:(1)x≤0时,fX(x)=0;x>0时,fX(x)=所以,⑵P{X+Y≤1}=y=xx+y=11/2

二维正态分布定义:如果(X,Y)的联合密度函数为其中σ1,σ2为正数.则称(X,Y)服从参数为的二维正态分布,简记为

性质:边缘分布分别为X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22);第3.3节、条件分布一、条件分布律设（X，Y）是离散型随机变量，对于固定的j,P{Y=yj}>0,则称为Y=yj条件下X的条件分布律，记为P{X|Y=yj}同理，可有P{Y|X=xi}1、定义2、性质（1）P{X|Y=yj}0（2）

二、条件概率密度设（X，Y）是二维连续型型随机变量，其概率密度为f(x,y)。对于固定的y，若fY(y)>0,则称为Y=y条件下X的条件概率密度。1、定义2、性质（1）（2）三、条件分布函数定义：对给定的y，设对于任意固定的正数

，有则切对于任意实数x,若极限存在，则称此极限为在Y=y下X的条件分布函数，记作类似地可定义离散型：连续型：第3.4节、相互独立的随机变量1.定义:称随机变量X,Y相互独立,若对任意的x,y都有特别:若X与Y相互独立，则它们的连续函数g(X)与h(Y)也相互独立。特别有:aX+b与cY+d相互独立.2.性质:例3.4.1.设(X,Y)服从区域D上的均匀分布,判断X,Y的独立性,其中:(1)D={(x,y),|x|≤1,|y|≤1};(2)D={(x,y),x2+y2≤1}fX(x)=|x|≤1|x|>10fY(y)=解:(1)同理,所以,X,Y独立.(2)所以,X,Y不独立.例3.4.2（941）设随机变量X，Y是相互独立的，且X,Y等可能地取0，1为值，求随机变量Z=max(X,Y)的分布列。解:X01P1/21/2Y01P1/21/2(X,Y)的取值数对为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),Z=max(X,Y)的取值为:0,1P{Z=0}=P{X=0,Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=1/4P{Z=1}==3/4所以,Z的分布列为Z01P1/43/4P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}例3.4.3

已知随机向量(X,Y)的联合密度为

(1)问X与Y是否独立？(2)求概率P{X<Y}.解:(1)(2)P{X<Y}=所以,X,Y独立.3.n个随机变量独立性的概念与性质离散型随机变量X1,X2,…，Xn相互独立等价于联合概率分布等于边缘概率分布的乘积。连续型随机变量X1,X2,…，Xn相互独立等价于联合密度函数等于边缘密度函数的乘积。定义:称n个随机变量X1,X2,…，Xn相互独立,若对任意

xi(i=1,2,…，n),有

F(x1,x2,…,xn)=FX1(x1)…FXn(xn)特别:若n个随机变量X1,X2,…,Xn相互独立,则它们中的任意m(1<m≤n)个随机变量Xi1,Xi2,…,Xim也相互独立.4、随机变量序列独立性的概念定义:

称随机变量序列X1,X2,…,Xn,…为相互独立的,如果它们中任意n(n=2,3,…)个随机变量都是相互独立的.

特别若每个Xi(i=1,2,…)的分布相同,则称之为独立同分布(i.i.d)序列。

例3.5.1、