化学群论考试题及答案

化学群论考试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.下列关于群的定义，说法错误的是（）A.封闭性B.结合律C.存在单位元D.每个元素都有逆元，且逆元唯一但不一定在群内答案：D2.群G的阶是指（）A.群G中元素的个数B.群G中元素的种类数C.群G中生成元的个数D.群G中子群的个数答案：A3.对于点群C₂h，其对称操作的个数为（）A.2B.3C.4D.5答案：C4.点群D₃h包含的C₂轴的个数为（）A.1B.2C.3D.4答案：C5.下列点群中，具有中心对称的是（）A.C₃B.D₂C.C₃vD.C₂h答案：D6.群的同构要求（）A.元素个数相同B.元素个数相同且运算关系相同C.元素种类相同D.元素种类相同且运算关系相同答案：B7.在群G中，若a,b∈G，则(ab)⁻¹等于（）A.a⁻¹b⁻¹B.b⁻¹a⁻¹C.-abD.-ba答案：B8.对于点群Td，其对称操作类的个数为（）A.5B.6C.7D.8答案：A9.群G的子群H的阶h与群G的阶g的关系是（）A.h=gB.h<gC.h≤gD.h>g答案：C10.点群C₄v中包含的镜面个数为（）A.2B.3C.4D.5答案：C二、多项选择题（每题2分，共10题）1.以下属于点群C₃v的对称操作的有（）A.EB.C₃C.C₃²D.σvE.σv'答案：ABCDE2.群的性质包括（）A.封闭性B.交换律C.结合律D.存在单位元E.每个元素有逆元答案：ACDE3.对于点群D₄h，下列说法正确的是（）A.有C₄轴B.有C₂轴C.有水平镜面D.有垂直镜面E.有对称中心答案：ABCDE4.下列关于群同态的说法正确的有（）A.保持运算关系B.两个群元素个数可以不同C.是一种映射D.同态核是子群E.同态像也是群答案：ABCDE5.点群Oh包含的对称操作类型有（）A.EB.C₃C.C₂D.σhE.i答案：ABCDE6.下列哪些群是阿贝尔群（）A.C₁B.C₂C.C₃D.D₂E.S₂答案：ABCDE7.在群G中，若a,b,c∈G，则(ab)c=a(bc)体现了群的（）A.封闭性B.结合律C.交换律D.存在单位元E.元素有逆元答案：B8.点群C₃h的对称操作包括（）A.EB.C₃C.C₃²D.σhE.S₃答案：ABCDE9.对于群的表示，下列说法正确的有（）A.可以是矩阵形式B.是群到矩阵群的同态映射C.可约表示可以分解为不可约表示D.特征标是矩阵的迹E.等价表示具有相同的特征标答案：ABCDE10.下列点群中，阶数为6的有（）A.C₃hB.D₃C.C₃vD.S₆E.C₆答案：BC三、判断题（每题2分，共10题）1.所有群都满足交换律。（）答案：错误2.群的子群的单位元一定是原群的单位元。（）答案：正确3.点群C₅v的对称操作有10个。（）答案：正确4.群G中元素a的逆元的逆元就是a本身。（）答案：正确5.两个同构的群，它们的元素之间可以建立一一对应关系且运算关系相同。（）答案：正确6.点群D₆h没有C₃轴。（）答案：错误7.在群中，对于任意元素a，aE=Ea=a。（）答案：正确8.点群C₂v的对称操作类只有2类。（）答案：错误9.群的表示一定是不可约的。（）答案：错误10.点群S₄的阶是4。（）答案：正确四、简答题（每题5分，共4题）1.简述群的定义。答案：群是一个集合G，在G上定义一种运算（通常称为乘法），满足以下四个条件：(1)封闭性，对于任意a,b∈G，ab∈G；(2)结合律，对于任意a,b,c∈G，(ab)c=a(bc)；(3)存在单位元e，对于任意a∈G，ea=ae=a；(4)对于任意a∈G，存在逆元a⁻¹，使得aa⁻¹=a⁻¹a=e。2.写出点群C₄v的所有对称操作。答案：C₄v的对称操作有E（恒等操作）、C₄、C₄³、C₂（C₄²）、2σv（垂直镜面操作）、2σd（对角镜面操作）。3.什么是群的同态？答案：设G和G'是两个群，f是从G到G'的映射，如果对于任意a,b∈G，都有f(ab)=f(a)f(b)，则称f是G到G'的同态映射，此时称G与G'同态。4.解释群的表示的概念。答案：群的表示是将群G中的每个元素与一个非奇异矩阵相对应，并且这种对应关系保持群的乘法结构，即群元素的乘法对应于矩阵的乘法，它是群到矩阵群的同态映射。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论点群D₃h和C₃v的异同点。答案：相同点：都包含C₃轴和C₃²操作。不同点：D₃h有水平镜面和垂直于C₃轴的C₂轴等更多对称操作，而C₃v主要是C₃轴和垂直于C₃轴的镜面操作，D₃h的对称操作比C₃v更丰富。2.如何判断一个群是否为阿贝尔群？答案：检查群中任意两个元素a,b，是否满足ab=ba。如果群中任意两个元素都满足这个关系，那么这个群就是阿贝尔群。3.阐述点群的对称操作分类的意义。答案：对称操作分类有助于简化群的研究。同一类的对称操作具有相似的性质