2024北京中关村中学高二（上）开学考数学试题及答案

试题试题2024北京中关村中学高二（上）开学考数学一､单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数（是虚数单位）的虚部是（）A.1 B. C.2 D.2i2.已知，则与的夹角为（）A. B.C. D.3.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.， B.，C.， D.，4.已知，，则等于（）A.－ B.C. D.－5.若函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是（）A. B. C. D.6.在ΔABC中，角，，的对边分别为，，，已知，ΔABC的面积为，且，则的值为A.4+2 B.4﹣2 C.1 D.17.若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.为了解某地高三学生的期末语文考试成绩，研究人员随机抽取了100名学生对其进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，已知不低于90分为及格，则这100名学生期末语文成绩的及格率为（）A.40% B.50% C.60% D.65%9.“，”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10.在中，，，已知点P满足，且，则（）A. B. C. D.二､填空题：本题共6小题，每小题6分，共36分.11.已知复数z满足，，则的虚部为______．12.在中，若，则的大小是________．13.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的面积为___________．14.如图，在某个海域，一艘渔船以海里/时的速度，沿方位角为的方向航行，行至处发现一个小岛在其东偏南方向，半小时后到达处，发现小岛在其东北方向，则处离小岛的距离为__________海里.15.边长为2的等边中，，，则的最小值为________．16.如果存在函数（为常数），使得对函数定义域内任意都有成立，那么称为函数的一个“线性覆盖函数”．给出如下四个结论：①函数存在“线性覆盖函数”；②对于给定的函数，其“线性覆盖函数”可能不存在，也可能有无数个；③为函数的一个“线性覆盖函数”；④若为函数的一个“线性覆盖函数”，则其中所有正确结论的序号是___________三､解答题：本题共4小题，共分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知函数，且．（1）求a的值和的最小正周期；（2）求在上的单调递增区间．18.已知A，B，C分别为三边a，b，c所对的角，向量，，且．（1）求角C的大小；（2）若，且，求边c的长．19.在中；内角所对的边分别为.已知.（1）求角.（2）从以下三个条件中任选一个，求的面积.①边上的中线；②；③角的平分线，点在线段上.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20.对于函数，，若存在实数m，n，使得函数，则称为，的“合成函数”．（1）已知，，试判断是否为，的“合成函数”？若是，求实数的值；若不是，说明理由；（2）已知，，为，的“合成函数”，且，，若关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围；（3）已知，，为，的“合成函数”（其中，），的定义域为，当且仅当时，取得最小值6．若对任意正实数，且，不等式恒成立，求实数p的最大值．

参考答案一､单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A【分析】利用复数的除法法则及复数的概念即可求解.【详解】由题意可知，，所以复数的虚部为.故选：A.2.【答案】D【分析】分别求出与的数量积和模，代入夹角公式即得．【详解】∵∴又∵与的夹角范围为∴与的夹角为．故选：D3.【答案】A【分析】根据函数的最大值为2求出A，然后由间的距离求出周期，进而求出，最后根据最值点求出.【详解】根据函数的图象，A=2，，所以，根据函数在处取得最大值可知，.故选：A.4.【答案】B【分析】根据余弦的二倍角公式，求解可得选项.【详解】因为，所以，又，所以，所以.故选：B.【点睛】本题考查余弦的二倍角公式，属于基础题.5.【答案】B【分析】求出函数的单调增区间，根据求解范围.【详解】考虑函数函数，令，，，函数在区间上单调递增，则，解得，所以k=0，又，所以故选：B【点睛】此题考查根据三角函数的单调性求解参数的取值范围，关键在于熟练掌握单调性的处理方法，准确求解不等式组.6.【答案】D【分析】先根据三角形面积公式求得的值，利用正弦定理及题设中，可知的值，代入到余弦定理中求得．【详解】解：由已知可得：，解得：，又，由正弦定理可得：，由余弦定理：，解得：，．故选：．【点睛】本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用，作为解三角形的常用定理，应用熟练记忆这两个定理及其变式，属于基础题．7.【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算性质分析判断.【详解】由，得，所以，当，且时，不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A8.【答案】C【分析】利用直方图求频率即得.【详解】依题意可得及格率为.故选：C.9.【答案】A【分析】由可解得或，即可判断.【详解】若，则，，即或，则可得“，”是“”的充分而不必要条件.故选：A.10.【答案】D【分析】利用余弦定理求出，求出，根据求解可得.【详解】因为，B∈0,π，所以，又，所以为等腰三角形，，由余弦定理得，因为，所以，解得.故选：D二､填空题：本题共6小题，每小题6分，共36分.11.【答案】【分析】设，根据复数的模的计算公式求出即可得解.【详解】设，由，，得，解得，所以的虚部为.故答案为：.12.【答案】【分析】由正弦定理可得，令，则、，再由余弦定理计算可得.【详解】由正弦定理（为外接圆的半径），又，所以，令，则、，所以，又B∈0,π，所以故答案为：13.【答案】【分析】根据题意，结合正余弦定理，求出和，结合面积公式，即可求解.【详解】根据题意，由，根据正弦定理得，在中，由余弦定理，得，因为，，，所以，解得或（舍），故，因此.故答案为：.14.【答案】【分析】根据题意得，，，再利用正弦定理可得.【详解】由题意及方位角可得，，，，因为渔船以海里/时的速度航行，所以海里，由正弦定理可得，即，得海里，故答案为：.15.【答案】．【分析】以点为坐标原点，、分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量数量积的坐标运算以及余弦函数的有界性可求得的最小值.【详解】因为是边长为的等边三角形，且，则为的中点，故，以点为坐标原点，、分别为、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，则、、，设点，，，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：.16.【答案】②③【详解】对①：由函数的图象可知，不存在“线性覆盖函数”故命题①错误对②：如f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜﹣1）就是“线性覆盖函数”，且有无数个，再如①中的函数就没有“线性覆盖函数”，∴命题②正确；对③：设则当时，在（0，1）单调递增当时，在单调递减，即为函数的一个“线性覆盖函数”；命题③正确对④，设，则，当b=1时，也为函数的一个“线性覆盖函数”，故命题④错误故答案为②③三､解答题：本题共4小题，共分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）根据求出，然后利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可得；（2）利用整体代入法求出的单调递增区间，结合可得.【小问1详解】因为，所以，即，解得，所以，所以的最小正周期为.【小问2详解】由，解得，所以的单调递增区间为，所以在上的单调递增区间为.18.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用数量积的坐标运算及三角公式化简整理可得角C的大小；（2）将中的角化边，再将用三角形的边角表示出来，然后利用余弦定理求出边c的长.【小问1详解】由已知得．因为，所以，所以．又，所以，，则所以．又，所以；【小问2详解】由已知及正弦定理得．因为，所以，所以．由余弦定理得，所以，所以，所以．19.【答案】（1）（2）答案见解析【分析】（1）先利用正弦定理化简得，可化简得到，再结合余弦定理即可求解；（2）若选①：由题意可得，化简后可求得，再结合正弦定理的面积公式即可求解；若选②：先利用正弦定理化简求得，再结合余弦定理可求得，再结合正弦定理的面积公式即可求解；若选③:由余弦定理求得且，从而可求得为等腰三角形，从而可求解.【小问1详解】由题意，由正弦定理可得，即，则，由余弦定理得，所以，所以，所以，又因为，所以.【小问2详解】若选①：由边边上的中线，如图，所以，即，即，又因为，所以，由（1）知，所以，所以.若选②：当，由，所以，由正弦定理：，即，解得，由（1）可得，即，解得：或（舍），所以.若选③:角的平分线，则，又因为，在中由余弦定理可得，所以，此时，所以，所以，所以可得为等腰三角形，所以，所以.20.【答案】（1）是，（2）（3）【分析】（1）根据“合成函数”的定义计算即可；（2）由题意可得，则，即，令，则方程转化为关于的一元二次方程，分离参数，进而可得出答案；（3）求得，根据已知结合基本不等式求出，从而可求出的解析式，再利用基本不等式求出的最大值即可得解.【小问1详解】假设为，的“合成函数”，则=，所以，解得，所以为，的“合成函数”，且；【小问2详解】因为，且，，所以，由，得（*），令，则，所以，因为，所以，故，所以方程（*）为在上有解，所以，因为函数在上都是减函数，所以函数在上是减函数，所以，所以；【小问3详解】由题意，得，当且仅当，即时取等号，所以，解得，所以，则恒成立，因为，所以，又