第三章数系的扩充与复数的引入小结-高二数学理科选修教学课件(人教A版)

第三章数系的扩充与复数的引入本章小结点要识知返回目录1.复数

复数通常用字母z

表示,即z=a+bi(a,b

R),这一表示形式叫做复数的代数形式.其中的a

与b

分别叫做复数z

的实部与虚部.形如a+bi(a,b

R)的数叫做复数.当b=0时,a+bi=a

是实数.b

0时,a+bi

是虚数.a=0,b≠0时,a+bi=bi

叫纯虚数.i

叫虚单位,i2=-1.点要识知2.复数的包含关系

复数包含实数和虚数,全体复数所成的集合C

叫做复数集.a+bi

与c+di

相等的充要条件是a=c

且b=d.复数集实数集虚数集纯虚数集{实数}∪{虚数}={复数},{实数}{复数};

{虚数}{复数};

{纯虚数}{虚数}.

{实数}∩{虚数}=;点要识知3.复数的几何意义

实轴上的点表示实数,虚轴(除原点)上的点表示纯虚数.(1)任一复数可用复平面上的点表示,如:点Z(3,-2)表示复数z=3-2i.(2)任一复数可用复平面上的向量表示,如:向量表示复数z=3-2i.(3)向量的模就是复数的模:点要识知4.复数的加减法(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.实部相加为实部,虚部相加为虚部.(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.实部相减得实部,虚部相减得虚部.点要识知5.复数加减法的几何意义

复数加减法的几何意义是向量加减法的几何运算.xyOZ1Z2ZZ

点要识知6.复数的乘法(a+bi)(c+di)=

ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.类似于实数的二项式与二项式相乘.注意:i2=-1.复数的乘法也满足:交换律、结合律、分配律,乘法公式:(a+bi)2=a2+2a(bi)+(bi)2=a2+2abi-b2.(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2+b2.点要识知7.共轭复数

实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.复数z

的共轭复数记着一对共轭复数的积是一个实数:(a+bi)(a-bi)=a2+b2.如:z=a+bi,点要识知8.复数的除法复数除法的基本思想是分母实数化.即分子分母同乘以分母的共轭复数.例题选讲返回目录例1.

复数z

满足(z-i)(2-i)=5,则z=()(A)-2-2i(B)-2+2i(C)2-2i(D)2+2i分析:设出复数z

的代数形式,解:设z=a+bi,则(z-i)(2-i)=(a+bi-i)(2-i)=[a+(b-1)i](2-i)代入题使运算结果的实部为5,=2a-ai+2(b-1)i-(b-1)i2=(2a+b-1)+(2b-2-a)i.2a+b-1=5,2b-2-a=0.解得a=2,b=2.D常规思考:设等式的左边进行乘法运算,虚部为0.捷径:共轭复数的积为实数,则

z-i=2+i,z=2+2i.例2.

i

为虚单位,等于()(A)0(B)2i(C)-2i(D)4i分析:先计算in,即可化为同分母.i3=i2i=-i.i5=i3i2=-i(-1)=i.i7=i5i2=i(-1)=-i.=0.A例3.

已知复数则|z|等于()(A)(B)(C)1(D)2分析:先计算复数,再求模.则|z|=B

例4.

对任意复数z=x+yi(x,y

R),i

为虚数单位,则下列结论正确的是()(A)|z-z|=2y(B)z2=x2+y2(C)|z-z|≥2x(D)|z|≤|x|+|y|分析:=

|2yi|.y<0时,A选项不成立.x>|y|时,C选项不成立.z2可能是个虚数,x2+y2为实数,B选项不成立,则只有D选项正确.DD选项的几何意义如图:xyOZ|z||y||x|两边之和大于第三边.当且仅当点Z

在实轴或虚轴上时,等号成立.

例5.

若是关于x

的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则()(A)b=2,c=3(B)b=-2,c=3(C)b=-2,c=-1(D)b=2,c=-1解:将根代入方程得得-1+b+c=0,解得b=-2,c=3.B

例5.

若是关于x

的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则()(A)b=2,c=3(B)b=-2,c=3(C)b=-2,c=-1(D)b=2,c=-1附:B对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0,若△=b2-4ac<0,则方程的根为即有一对共轭虚根x1+x2=x1x2=(根据这一结论解此题)共8题返回目录补充练习1.

复数的共轭复数是()(A)2+i(B)2-i(C)-1+i(D)-1-i

2.

若复数z

满足z(2-i)=11+7i(i

为虚单位),则z

为()(A)3+5i(B)3-5i(C)-3+5i(D)-3-5i

3.

把复数z

的共轭复数记作z,i

为虚单位,若z=1+i,则(1+z)·z

等于()(A)3-i(B)3+i(C)1+3i(D)3

4.

已知0<a<2,复数z

的实部变a,虚部为1,则|z|的取值范围是()(A)(1,5)(B)(1,3)(C)(D)5.

i

是虚数单位,等于

.

6.

a

为正实数,i

为虚数单位,则a

等于()(A)2(B)(C)(D)1

7.

复数z=1+i,z

为z

的共轭复数,则zz-z-1等于()(A)-2i(B)-i(C)i(D)2i

8.

下面是关于复数的四个命题:p1:|z|=2,p2:z2=2i,p3:z

的共轭复数为1+i,p4:z

的虚部为-1.其中真命题为()(A)p2,p3(B)p1,p2(C)p2,p4(D)p3,p41.

复数的共轭复数是()(A)2+i(B)2-i(C)-1+i(D)-1-i解:=-1+i.D

2.

若复数z

满足z(2-i)=11+7i(i

为虚单位),则z

为()(A)3+5i(B)3-5i(C)-3+5i(D)-3-5i解:设z=a+bi.则z(2-i)=(a+bi)(2-i)=2a-ai+2bi-bi2=(2a+b)+(-a+2b)i.得2a+b=11,-a+2b=7,解得a=3,b=5.则z=3+5i.A

3.

把复数z

的共轭复数记作z,i

为虚单位,若z=1+i,则(1+z)·z

等于()(A)3-i(B)3+i(C)1+3i(D)3解:z=1+i,=2-2i+i-i2=3-i.A

4.

已知0<a<2,复数z

的实部变a,虚部为1,则|z|的取值范围是()(A)(1,5)(B)(1,3)(C)(D)解:z=a+i,∵0<a<2,∴0<a2<4,则C5.

i

是虚数单位,等于

.解:=i5=i2i2i=i.i

6.

a

为正实数,i

为虚数单位,则a

等于()(A)2(B)(C)(D)1解:=2,解得B

7.

复数z=1+i,z

为z

的共轭复数,则zz-z-1等于()(A)-2i(B)-i(C)i(D)2i解:=1+1-1-i-1=-i.B

8.

下面是关于复数的四个命题:p1:|z|=2,p2:z2=2i,p3:z

的共轭复数为1+i,p4:z

的虚部为-1.其中真命题为()(A)p2,p3(B)p1,p2(C)p2,p4(D)p3,p4解:=-1-i.z2=(-1-i)2=1+2i-1=2i.z

的虚部为-1.C复习参考题A组1.

选择题:(1)

复数a+bi

与c+di

的积是实数的充分条件是()(A)ad+bc=0(B)ac+bd=0(C)ac=bd(D)ad=bc

(2)

复数的共轭复数是()(A)i+2(B)i-2(C)-2-i(D)2-i(3)

当时,复数m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点位于()(A)第一象限(B)第二象限

(C)第三象限(D)第四象限

(4)

复数的值是()(A)-i(B)i(C)-1(D)1(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)iAB=(3m-2)+(m-1)i.>0<0DC2.

已知复数z

与(z+2)2-8i

都是纯虚数,求z.解:设z=bi,则(bi+2)2-8i

是纯虚数,计算得(4-b2)+(4b-8)i,需4-b2=0,且4b-8≠0,解得b=-2.则z=-2i

时,(z+2)2-8i

是纯虚数.3.

已知z1=5+10i,z2=3-4i,求z.解:则B组解:(1)设z=a+bi,则由已知得(1+2i)(a-bi)=4+3i,即(a+2b)+(2a-b)i=4+3i,得方程组解得a=2,b=1.所以z=2+i.1.

把复数z

的共轭复数记作已知(1+2i)=4+3i,求z

及

2.(1)

试求i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8

的值;

(2)

由(1)推测in(nN*)的值有什么规律,并把这个规律用式子表示出来.解:(1)i1=i;i2=-1;i3=i2i=-i;i4=(i2)2=(-1)2=1;i5=i4i=i;i6=i4i2=-1;i7=i4i3=-i;i8=(i4)2=1.(2)3.

已知复数z1=m+(4-m2)i(mR),z2=2cosq+(l+3sinq)i(l,qR),并且z1=z2,求l

的取值范围.解:由z1=z2得将①代入②得①②4-4cos2q=l+3sinq,将余弦化为正弦并整理得l=4sin2q-3sinq∵-1≤sinq≤1,即l的取值范围是自我检测题自我检测题一、选择题(每小题6分,共36分)1.

a=0是复数a+bi(a,b

R)为纯虚数的()(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件

2.

设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1+z2

在复平面内对应的点位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限

3.

设O

是应点,向量OA,OB

对应的复数分别为2-3i,-3+2i,那么向量BA

对应的复数是()(A)-5+3i(B)-5-5i(C)5+5i(D)5-5i4.(1-i)2·i

等于()(A)2-2i(B)2+2i(C)-2(D)25.

复数的值是()(A)2i(B)-2i(C)2(D)-2

6.

如果复数的实部和虚部互为相反数,那么实数b

的值为()(A)(B)-2(C)(D)二、填空题(每小题6分,共24分)7.

复数的实部为

,虚部为

.8.(15+8i)(-1-2i)的值为

.9.

若则z2-2z

的值为

.10.

若复数z

满足则|z+1|的值为

.三、解答题(每小题20分,共40分)

11.

已知复数z=(2+i)m2

-2(1-i),当实数m

取什么值时,复数z

是

(1)

零;(2)

虚数;

(3)

纯虚数;(4)

复平面内第二,四象限角平分线上的点对应的复数.12.

设z1

是虚数,是实数,且-1≤z2≤1.(1)

求|z1|的值以及z1

的实部的取值范围;(2)

若求证w

为纯虚数.一、选择题(每小题6分,共36分)1.

a=0是复数a+bi(a,b

R)为纯虚数的()(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件

(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件分析:a=0,a+bi

不一定是纯虚数,可能为0,∴a=0

a+bi

为纯虚数,充分不成立.a=0

a+bi

为纯虚数,必要成立.B

2.

设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1+z2

在复平面内对应的点位于()(A)第一象限(B)第二象限

(C)第三象限(D)第四象限解:z1+z2=(3-2)+(-4+3)i=1-i.对应的点位于第四象限.D

3.

设O

是原点,向量OA,OB

对应的复数分别为2-3i,-3+2i,那么向量BA

对应的复数是()(A)-5+3i(B)-5-5i(C)5+5i(D)5-5i解:=(2-3i)-(-3+2i)=5-5i.D4.(1-i)2·i

等于()(A)2-2i(B)2+2i(C)-2(D)2解:(1-i)2·i=(1-2i-1)·i=-2i2=2.D5.

复数的值是()(A)2i(B)-2i(C)2(D)-2解:=(1-i)2=1-2i-1=-2i.B

6.

如果复数的实部和虚部互为相反数,那么实数b

的值为()(A)(B)-2(C)(D)解:∵实部和虚部互为相反数,解得C二、填空题(每小题6分,共24分)7.

复数的实部为

,虚部为

.解:=1-i.1-18.(15+8i)(-1-2i)的值为

.解:(15+8i)(-1-2i)=-15-30i-8i-16i2=1-38i.1-38i9.

若则z2-2z

的值为

.解:z2-2z==-3.-310.

若复数z

满足则|z+1|的值为

.解:设z=a+bi,则1-a-bi=i+(a+bi)i,整理得1-a-bi=-b+(a+1)i,则1-a=-b,-b=a+1.解得a=0,b=-1.则|z+1|=|1-i|

三、解答题(每小题20分,共40分)

11.

已知复数z=(2+i)m2

-2(1-i),当实数m

取什么值时,复数z

是

(1)

零;

(2)

虚数;

(3)

纯虚数;(4)

复平面内第二,四象限角平分线上的点对应的复数.解:计算复数z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i(1)2m2-3m-2=0,m2-3m+2=0,解得m=2.即m=2时,z=0.

三、解答题(每小题20分,共40分)

11.

已知复数z=(2+i)m2

-2(1-i),当实数m

取什么值时,复数z

是

(1)

零;

(2)

虚数;

(3)

纯虚数;(4)

复平面内第二,四象限角平分线上的点对应的复数.解:计算复数z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i(2)m2-3m+2≠0,解得m≠1且m≠2.即m≠1和