高升专数学（理）复数与二项式定理模拟试题（2025年必做真题）

高升专数学（理）复数与二项式定理模拟试题（2025年必做真题）一、选择题要求：从下列各题的四个选项中，选出正确的一个。1.设复数z=2+3i，则z的模|z|等于：A.5B.13C.2D.32.若复数z满足|z-1|=|z+1|，则z所在的直线方程为：A.x=0B.y=0C.x+y=0D.x-y=03.若复数z=a+bi（a，b∈R），且z的实部a和虚部b满足a^2+b^2=1，则z的值为：A.1B.-1C.iD.-i4.已知复数z=1+i，则z的共轭复数z̅等于：A.1-iB.1+iC.-1-iD.-1+i5.若复数z满足|z-1|=|z+1|，则z在复平面上的几何意义是：A.点z到点(1,0)和点(-1,0)的距离相等B.点z到点(1,0)和点(0,1)的距离相等C.点z到点(0,1)和点(-1,0)的距离相等D.点z到点(0,1)和点(1,0)的距离相等二、填空题要求：将正确答案填入下列各题的横线上。6.设复数z=3-4i，则z的模|z|=_______。7.若复数z满足|z-1|=|z+1|，则z在复平面上的几何意义是z到点_______和点_______的距离相等。8.若复数z=a+bi（a，b∈R），且z的实部a和虚部b满足a^2+b^2=1，则z的值为_______。三、解答题要求：解答下列各题。9.已知复数z=1+i，求z的模|z|和共轭复数z̅。10.设复数z=a+bi（a，b∈R），且z的实部a和虚部b满足a^2+b^2=1，求z的模|z|的最大值和最小值。四、证明题要求：证明下列各题。11.证明：若复数z=a+bi（a，b∈R），则z的模|z|=√(a^2+b^2)。12.证明：复数z=a+bi（a，b∈R）的共轭复数z̅=a-bi，且z+z̅=2a。五、应用题要求：应用所学知识解决下列各题。13.已知复数z=2+3i，求z的模|z|和z的共轭复数z̅。14.若复数z满足|z-1|=|z+1|，求z在复平面上的几何位置。六、综合题要求：综合运用所学知识完成下列各题。15.已知复数z=1+i，求z的模|z|，z的共轭复数z̅，以及z的平方z^2。16.设复数z=a+bi（a，b∈R），且z的实部a和虚部b满足a^2+b^2=1，求z的模|z|的最大值和最小值，并说明理由。本次试卷答案如下：一、选择题1.A.5解析：复数z=2+3i的模|z|=√(2^2+3^2)=√(4+9)=√13。2.A.x=0解析：复数z满足|z-1|=|z+1|，表示z到点(1,0)和点(-1,0)的距离相等，因此z在实轴上，即x=0。3.D.-i解析：复数z=a+bi（a，b∈R），且a^2+b^2=1，表示z在单位圆上，由于b^2=1，所以b=±1，且a=0，因此z=±i。4.A.1-i解析：复数z=1+i的共轭复数z̅=1-i。5.A.点z到点(1,0)和点(-1,0)的距离相等解析：复数z满足|z-1|=|z+1|，表示z到点(1,0)和点(-1,0)的距离相等。二、填空题6.√(3^2+(-4)^2)=√(9+16)=√25=5解析：复数z=3-4i的模|z|=√(3^2+(-4)^2)。7.点(1,0)和点(-1,0)解析：复数z满足|z-1|=|z+1|，表示z到点(1,0)和点(-1,0)的距离相等。8.±i解析：复数z=a+bi（a，b∈R），且a^2+b^2=1，表示z在单位圆上，由于b^2=1，所以b=±1，且a=0，因此z=±i。三、解答题9.|z|=√(1^2+1^2)=√2，z̅=1-i解析：复数z=1+i的模|z|=√(1^2+1^2)=√2，共轭复数z̅=1-i。10.|z|的最大值为1，最小值为0解析：复数z=a+bi（a，b∈R），且a^2+b^2=1，表示z在单位圆上，|z|的最大值为圆的半径，即1，最小值为0（当z=0时）。四、证明题11.证明：若复数z=a+bi（a，b∈R），则z的模|z|=√(a^2+b^2)。解析：复数z=a+bi，其模|z|=√(a^2+b^2)，根据勾股定理，该式成立。12.证明：复数z=a+bi（a，b∈R）的共轭复数z̅=a-bi，且z+z̅=2a。解析：复数z=a+bi的共轭复数z̅=a-bi，因为z+z̅=(a+bi)+(a-bi)=2a。五、应用题13.|z|=√(2^2+3^2)=√(4+9)=√13，z̅=2-3i解析：复数z=2+3i的模|z|=√(2^2+3^2)=√13，共轭复数z̅=2-3i。14.z在复平面上的几何位置是实轴上，即x=0解析：复数z满足|z-1|=|z+1|，表示z到点(1,0)和点(-1,0)的距离相等，因此z在实轴上，即x=0。六、综合题15.|z|=√(1^2+1^2)=√2，z̅=1-i，z^2=(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i解析：复数z=1+i的模|z|=√(1^2+1^2)=√2，共轭复数z̅=1-i，z的平方z^2=(1+i