2025年南京市玄武区八年级下学期期末数学试卷：函数专题解析与深度解析

2025年南京市玄武区八年级下学期期末数学试卷：函数专题解析与深度解析一、选择题要求：请从每题的四个选项中选出一个正确答案。1.已知函数\(f(x)=x^2-4x+3\)，则该函数的图像是（）A.顶点在x轴上的抛物线B.顶点在y轴上的抛物线C.顶点在原点的抛物线D.顶点在第一象限的抛物线2.函数\(f(x)=\frac{1}{x+1}\)的定义域是（）A.\(x\neq-1\)B.\(x\neq0\)C.\(x\neq1\)D.\(x\neq2\)二、填空题要求：将正确答案填入空格中。3.函数\(f(x)=2x^2-6x+4\)的对称轴方程是_________。4.函数\(f(x)=\frac{1}{x-2}+3\)的最小值是_________。三、解答题要求：写出完整的解题步骤，并计算答案。5.（1）已知函数\(f(x)=3x-2\)，求函数的值域；（2）若函数\(f(x)=-2x^2+4x+1\)的图像与x轴有两个交点，求a的取值范围。6.（1）设函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)的图像开口向上，且顶点坐标为\((-2,1)\)，求a、b、c的值；（2）若函数\(f(x)=-\frac{1}{2}x^2+3x+1\)的图像与y轴相交于点\(A\)，且函数在\(x=2\)处取得最小值，求该函数的解析式。四、应用题要求：根据题目要求，结合所学知识，进行计算和推导。7.（1）某商品原价为\(P\)元，打折后售价为\(0.8P\)元，求打折后的售价与原价的比例；（2）若原价\(P\)为100元，打折后的售价为80元，求商品打折的折扣率。五、证明题要求：运用所学知识，证明以下等式成立。8.证明：对于任意实数\(x\)，有\((x+1)^2=x^2+2x+1\)。六、探究题要求：根据题目要求，分析问题，提出假设，并进行验证。9.（1）观察函数\(f(x)=x^3-3x\)的图像，探究函数的极值点；（2）根据探究结果，写出函数\(f(x)=x^3-3x\)在其定义域内的极值点坐标。本次试卷答案如下：一、选择题1.D解析：函数\(f(x)=x^2-4x+3\)是一个二次函数，其标准形式为\(ax^2+bx+c\)，其中\(a=1\)，\(b=-4\)，\(c=3\)。因为\(a>0\)，所以抛物线开口向上，顶点坐标为\((\frac{-b}{2a},f(\frac{-b}{2a}))\)，即\((2,-1)\)。顶点在第一象限。2.A解析：函数\(f(x)=\frac{1}{x+1}\)的定义域是所有使分母不为零的实数。因此，\(x+1\neq0\)时，函数有定义，即\(x\neq-1\)。二、填空题3.\(x=3\)解析：函数\(f(x)=2x^2-6x+4\)是一个二次函数，其对称轴方程为\(x=-\frac{b}{2a}\)，其中\(a=2\)，\(b=-6\)。代入得\(x=3\)。4.3解析：函数\(f(x)=\frac{1}{x-2}+3\)的最小值出现在分母\(x-2\)最大时，即当\(x\)趋近于2时。此时，\(f(x)\)趋近于\(\frac{1}{0}+3\)，即无穷大。因此，最小值为3。三、解答题5.（1）值域为\((-\infty,+\infty)\)解析：一次函数\(f(x)=3x-2\)的图像是一条直线，其斜率\(k=3\)，截距\(b=-2\)。由于斜率\(k>0\)，函数是增函数，因此值域为\((-\infty,+\infty)\)。（2）\(a\)的取值范围为\((-\infty,2]\)解析：二次函数\(f(x)=-2x^2+4x+1\)的图像与x轴有两个交点，说明判别式\(\Delta=b^2-4ac\)大于0。代入\(a=-2\)，\(b=4\)，\(c=1\)得\(\Delta=16-4(-2)\times1=24\)。因此，\(a\)的取值范围为\((-\infty,2]\)。6.（1）\(a=1\)，\(b=-4\)，\(c=3\)解析：函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)的顶点坐标为\((-2,1)\)，代入得\(1=a(-2)^2+b(-2)+c\)，即\(1=4a-2b+c\)。因为图像开口向上，所以\(a>0\)。又因为顶点坐标已知，代入\(x=-2\)，\(f(x)=1\)得\(1=4a-2b+c\)。联立方程组解得\(a=1\)，\(b=-4\)，\(c=3\)。（2）函数的解析式为\(f(x)=-\frac{1}{2}x^2+3x+1\)解析：函数\(f(x)=-\frac{1}{2}x^2+3x+1\)的图像与y轴相交于点\(A\)，即\(x=0\)时，\(f(x)=1\)。函数在\(x=2\)处取得最小值，即\(f(2)=-\frac{1}{2}(2)^2+3(2)+1=3\)。因此，函数的解析式为\(f(x)=-\frac{1}{2}x^2+3x+1\)。四、应用题7.（1）比例为0.8解析：打折后的售价与原价的比例为\(\frac{0.8P}{P}=0.8\)。（2）折扣率为20%解析：折扣率\(R\)为\(\frac{原价-打折后售价}{原价}\times100\%\)。代入\(原价=100\)，\(打折后售价=80\)得\(R=\frac{100-80}{100}\times100\%=20\%\)。五、证明题8.证明：\((x+1)^2=x^2+2x+1\)解析：展开左边的平方得\((x+1)^2=x^2+2x+1\)。因此，左边等于右边，等式成立。六、探究题9.（1）极值点为\((0,0)\)，\((1,-2)\)解析：函数\(f(x)=x^3-3x\)的导数为\(f'(x)=3x^2-3\)。令导数等于0，得\(3x^2-3=0\)，解得\(x