第1章 一元二次方程单元测试卷-苏科版新九年级《数学》暑假自学提升讲义

PAGE1第1章一元二次方程单元测试卷（考试时间：120分钟试卷满分：120分）选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．下列方程中，属于一元二次方程的是（

）A．x2=3x B．x−3y=0 C．x2【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．根据一元二次方程的定义逐项判断即可得．【详解】解：A、x2B、x−3y=0含有两个未知数，且未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，则此项不符合题意；C、x2+1D、2x−3=0是一元一次方程，不是一元二次方程，则此项不符合题意；故选：A．2．用配方法解一元二次方程x2A．x−22=−9 B．x−22=9 C．【答案】B【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤及方法是解题的关键．先移项，再给方程两边加上一次项系数一半的平方即可得出结果．【详解】解：x2移项，得x2配方，得x2即x−22故选：B．3．若x1、x2是方程x2A．−1 B．1 C．6 D．−6【答案】A【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个根为x1，x【详解】解：∵x1，x2是方程∴x1故选：A．4．关于x的一元二次方程3x2−5x+2=0A．3,−5,−2 B．3,−5x,2 C．3,5x,−2 D．3,−5,2【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的概念，理解并掌握一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式是关键．根据一元二次方程的概念及一般式“ax【详解】解：关于x的一元二次方程3x2−5x+2=0故选：D．5．一元二次方程x2−2x+5=0的根的情况是（A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若Δ=【详解】解：由题意得，Δ=∴原方程没有实数根，故选：C．6．新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆．设月平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（）A．12101−x2=1000C．10001+x2【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设某月均增长率为x，根据1月份的销售量×（1+增长率）²＝3月份的销售量，列出方程即可．【详解】解：设月均增长率为x，根据题意得：10001+x故选：B．7．如图，某摄影爱好者拍摄一张长为12cm，宽为8cm的北盘江大桥风景照，现要在风景照四周镶一条等宽的边，制成一幅面积为192cm2的挂图．设风景照四周所镶边的宽为A．8+x12+x=192 C．8−2x12−2x=192 【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键．依题意得，矩形挂图的宽为8+2xcm，长为12+2x【详解】解：由题意知，矩形挂图的宽为8+2xcm，长为12+2x依题意得，面积为8+2x12+2x故选：B．8．若x1，x2是一元二次方程x2A．2024 B．2025 C．2026 D．2027【答案】C【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程ax2+bx+ca≠0，若x1【详解】解：∵x1，x∴x1+将x1+x2=1x故选C．9．若关于x的一元二次方程kx²−2x−1=0有实数根，则k的取值范围是（

）A．k≥−1 B．k≥−1且k≠0 C．k<−1 D．k≤1且k≠0【答案】B【分析】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式组．让Δ=【详解】解：由题意得：4+4k≥0解得：k≥−1且k≠0．故选：B．10．若方程x2−8x+12=0的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为（A．10 B．14 C．10或14 D．8或10【答案】B【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系定理，解此方程得到得x1=2，x2=6，然后根据三角形三边的关系得到△ABC的腰为6【详解】解：x2解得x1=2，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，①当△ABC的腰为6，底边为2，则△ABC的周长为6+6+2=14；②当△ABC的腰为2，底边为6时，不能构成三角形．综上所述，该三角形的周长的14．故选：B．11．若m是一元二次方程x2−5x−2=0的一个实数根，则2024−mA．2025 B．2024 C．2023 D．2022【答案】D【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握方程的解就是使方程左右相等的未知数的值和利用整体代入得思想是解题关键．由题意可知m2−5m−2=0，即得出m2【详解】解：∵m是一元二次方程x2∴m∴m∴2024−m故选：D．12．如图，在△ABC中，AC=50m，BC=40m，∠C=90°，点P从点A出发，以2m/s的速度沿AC边向点C匀速运动，同时另一点Q从点C出发，以3m/s的速度沿射线A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s【答案】C【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把问题转化为方程，属于基础题，中考常考题型．根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题．【详解】解：设运动时间为t秒，则有AP=2t，CQ=3t，∴PC=50−2t，∴12∴12解得t=20或5，∴t=20s或5s时，△PCQ的面积为故选：D．填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．方程xx−1=0的根是【答案】x【分析】本题考查了因式分解求一元二次方程的解，掌握因式分解的计算是关键．根据因式分解法求一元二次方程的解的计算方法求解即可．【详解】解：xx−1∴x=0或x−1=0，∴x1故答案为：x114．关于x的一元二次方程2x2+kx−4=0的一个根x1【答案】1【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系列出关系式，把一个根代入计算即可求出所求．【详解】解：∵关于x的一元二次方程2x2+kx−4=0∴x1解得：x2即另一个根x2故答案为：1．15．据了解，某展览中心3月份的参观人数为12.1万人，5月份的参观人数为14.4万人．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为【答案】12.1【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该展览中心5月份的参观人数=该展览中心3月份的参观人数×(1+参观人数的月平均增长率)2，可列出关于x【详解】解：设参观人数的月平均增长率为x，列方程为12.1(1+x)故答案为：12.1(1+x)16．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax【答案】x2【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解三元一次方程，理解“和谐”方程和“美好”方程的定义是解题关键．根据题意得到关于一元二次方程系数的方程组，求出系数之间的关系，再写出满足条件的方程即可．【详解】解：由题意，∵一元二次方程ax∴a+b+c=0∴b=0∴一元二次方程为ax∵a≠0，∴可取a=1，∴这个一元二次方程为x2故答案为：x2三、解答题（本大题共7个小题，第17题8分，第18-21题每题10分，第22-23题每题12分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．解方程：(1)2x2−1=3x+3．【答案】(1)x1=−1(2)x1=5【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解答本题的关键．（1）利用因式分解法解方程；（2）利用配方法解方程．【详解】（1）解：2x2x−12x−1x+12x−5x1=−1或（2）解：x2x2x+12x+1=±6，x1=5或18．已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(2)设x2+mx+m−2=0的两个实数根为x1,x2，若【答案】(1)见解析(2)y=【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“Δ>0”时，方程有两个不相等的实数根；（2）利用根与系数的关系找出x1+（1）根据方程的系数结合根的判别式求出Δ>0（2）利用根与系数的关系找出x1+x2=−m【详解】（1）解：∵Δ∵(m−2)∴(m−2)∴Δ∴无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．（2）解：∵x2+mx+m−2=0∴x1+∴y====∴y与m的函数关系式为：y=m19．某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件．(1)求平均每次降价盈利减少的百分率；(2)为尽快减少库存，商场决定再次降价．每件上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？【答案】(1)平均每次降价盈利减少的百分率为10(2)每件应降价60元【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）设每次下降的百分率为x，根据题意，得：100（（2）设每件应降价y元，由题意得方程，进而求解．【详解】（1）解：设平均每次降价盈利减少的百分率为x，依题意，得100(1−x)解得x1答：平均每次降价盈利减少的百分率为10%．（2）设每件应降价y元，则每天可售出20+2y件，依题意，得81−y20+2y解得：y1=60，∵要尽快减少库存，∴y=60．答：每件应降价60元．20．某单位组织员工前往南京保利大剧院欣赏表演．表演前，主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．那么围成的这个长方形的边长是多少米呢？

【答案】长方形等候区的边AB为15米，BC为20米【分析】如图：设长方形等候区的边AB为x米，则BC=48−2x+2【详解】解：如图：设长方形等候区的边AB为x米，则BC=48−2x+2

由题意得：x48−2x+2整理，得x2解得x1=10，当x=10时，BC=30>26，不合题意，应舍去；当x=15时，BC=20<26，符合题意．答：长方形等候区的边AB为15米，BC为20米．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、正确表示出长方形的长和宽、列出一元二次方程是解答本题的关键．21．某大型水果超市销售葡萄，根据市场调查发现，每箱售价x（单位：元）与每天销量y（单位；箱）之间满足如图所示的函数关系．(1)求y与x之间的函数关系式．（不必写出自变量的取值范围）(2)葡萄的进价是40元/箱，若该超市每天销售葡萄盈利1540元，尽量要使顾客获得实惠，则超市每箱葡萄定的售价是多少元？【答案】(1)y=−5x+380(2)54元【分析】本题主要考查了一次函数的应用和一元二次方程的应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键．（1）用待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）根据总利润=单个的利润×销售量，列出方程，解方程即可．【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系是y=kx+b，根据题意，可得68k+b=4066k+b=50解得：k=−5故y与x之间的函数关系式是y=−5x+380．（2）由题意可得x−40−5x+380解得x1=54，∵尽量要使顾客要得到实惠，售价低，∴x=54．答：尽量要使顾客获得实惠，则超市每箱葡萄定的售价是54元．22．阅读下列材料：把形如ax2+bx+c例如：当x取何值时，代数式x2x=∵x+12≥0∴当x=−1时，代数式x2+2x−4有最小值【直接应用】（1）仿照上述例子解决问题：当x取何值时，代数式x2【类比应用】（2）已知M=a2−a,N=a−2（a为任意实数），判断M【拓展应用】（3）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成．①请直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；②当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）当x=2时，代数式x2−4x+5有最小值1；（2）M>N，理由见解析；（3）①y=−2x+408≤x<20【分析】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，一元一次不等式的应用．（1）配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可；（2）利用作差法和配方法得M−N=a（3）①根据题意可得，2x+y=40，进而得y=−2x+40，再根据墙长24米，得0<−2x+40≤24，解不等式即可得自变量x的取值范围；②设鸡场的面积为S平方米，则S=−2x+40【详解】解：（1）x2∵x−22∴x−22∴当x=2时，代数式x2（2）M>N，理由如下：∵M=a∴M−N=a∴M>N；（3）①根据题意可得，2x+y=40，∴y=−2x+40，∵墙长24米，∴0<−2x+40≤24，∴8≤x<20，∴y与x的函数关系式为y=−2x+408≤x<20②设鸡场的面积为S平方米，则S