单元复习AB卷：第二十四章 一元二次方程（B卷-拔高卷）解析版

第二十四章一元二次方程（B卷-拔高卷）注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．答题时间：60分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中）已知m是方程x2+x-1=0的根，则式子m3+2m2+2020的值为（

）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【答案】D【分析】先利用m是方程x2+x-1=0的根得到m2=-m+1，则可表示出m3=2m-1，然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】解：∴m是方程x2+x-1=0的根，∴m2+m-1=0，∴m2=-m+1，∴m3=m（-m+1）=-m2+m=m-1+m=2m-1∴m3+2m2+2020=2m-1+2（-m+1）+2020=2m-1-2m+2+2020=2021．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．2．（2022·辽宁铁岭·九年级期末）用配方法解方程，经过配方可转化为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先把常数项移到方程的右边，再两边都加上一次项系数一半的平方，再配方即可.【详解】解：移项得：两边都加4得：故选：B.【点睛】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握“配方法的步骤”是解题的关键.3．（2022·四川广元·九年级期末）有一人感染了新冠肺炎，经过两轮传染后共有100人被感染，每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】每轮传染中平均一个人传染的人数为x人,即经过第一轮有（x+1）人感染,则经过第二轮有人得了流感,根据两次一共有100患了流感即可列出方程．【详解】解：由题可知1+x+x（1+x）=100．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，认真审题，找到等量关系是解题关键．4．（2021·甘肃·金昌市第五中学八年级期末）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得．【详解】解：设房价定为x元，根据题意得：，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找准等量关系列出方程是关键．5．（2022·全国·九年级课时练习）若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（

）．A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】A【分析】对一元二次方程变形，设t＝x＋2得到，利用的一个根是可得t＝2022，从而求出x即可．【详解】解：对于一元二次方程即，设t＝x＋2，则可得，而关于x的一元二次方程的一个根是，所以有一个根为t＝2022，所以x＋2＝2022，解得x＝2020，所以一元二次方程必有一根为x＝2020，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．6．（2022·河南濮阳·八年级期末）将个数，，，记成：定义，则方程的根的情况为（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．只有一个实数根【答案】C【分析】根据新定义的运算得出一元二次方程，再利用根的判别式进行判断其根的情况即可．【详解】解：∵∴2x2−4x=-3，即，∵b2-4ac=(-4)2-4×2×3=-8﹤0，∴原方程没有实数根，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是明确题意，将方程进行正确的转化．7．（2022·河北保定·一模）可以用如图所示的图形研究方程x2+ax＝b2的解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝b，以点A为圆心作弧交AB于点D，使AD＝AC，则该方程的一个正根是（）A．CD的长 B．BD的长 C．AC的长 D．BC的长【答案】B【分析】由勾股定理可得：整理可得从而可得答案.【详解】解：∠C＝90°，AC＝，BC＝b，AD＝AC，整理得：而x2+ax＝b2，方程的一个正根为线段BD的长，故选B【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，勾股定理的应用，理解一元二次方程的解的含义是解本题的关键.8．（2021·辽宁葫芦岛·九年级阶段练习）如图，在中，，cm，cm，动点，分别从点，同时开始移动（移动方向如图所示），点的速度为1cm/s，点的速度为2cm/s，点移动到点后停止，点也随之停止运动，若使的面积为15cm2，则点运动的时间是（

）A．s B．5s C．4s D．3s【答案】D【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．【详解】设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，则BP为(8−t)cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，×(8−t)×2t＝15，解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．故答案为:D【点睛】此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．9．（2022·安徽合肥·八年级期中）对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则其中正确的：（

）A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④【答案】D【分析】根据一元二次方程解的含义、一元二次方程根的判别式等知识逐个分析即可．【详解】由，表明方程有实数根﹣1，表明一元二次方程有实数解，则，故①正确；∵方程有两个不相等的实根，∴方程有两个不相等的实根，即a与c异号．∴-ac>0，∴，∴方程必有两个不相等的实根；故②正确；∵是方程的一个根，∴，即当时，一定有成立；当c=0时，则不一定成立，例如：方程，则；故③错误；∵是一元二次方程的根，∴，∴，∴，故④正确；故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解等知识，熟练掌握这些知识是解答本题的关键．10．（2022·浙江绍兴·八年级期末）空地上有一段长为a米的旧墙MN，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（

）A．若a＝16，S＝196，则有一种围法 B．若a＝20，S＝198，则有两种围法C．若a＝24，S＝198，则有两种围法 D．若a＝24，S＝200，则有一种围法【答案】A【分析】分两种情况讨论：采用图1围法，图2围法，设矩形菜园的宽为x米，分别表示矩形的长，再利用矩形面积列方程，解方程，注意检验x的范围，从而可得答案．【详解】解：设矩形菜园的宽为x米，则长为米，∴当时，采用图1围法，则此时当时，解得：此时都不符合题意，采用图2围法，如图，此时矩形菜园的宽为x米，即则则所以长为米，结合可得

∴解得：经检验不符合题意，综上：若a＝16，S＝196，则没有围法，故A符合题意；设矩形菜园的宽为x米，则长为米，∴当时，采用图1围法，则此时当时，解得：经检验符合题意；采用图2围法，如图，此时矩形菜园的宽为x米，即则则所以长为米，结合可得

∴解得：经检验符合题意，综上：若a＝20，S＝198，则有两种围法，故B不符合题意；同理可得：C不符合题意，D不符合题意；故选A【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，表示图2中矩形的长是解本题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2022·江苏·九年级专题练习）“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了_________人．【答案】4【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有人被传染，根据一人患病经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，即可得出关于x的一元二次方程，解方程求解即可．【详解】设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有人被传染，由题意得解得或（舍去）所以，每轮传染中平均一个人传染了4人故答案为：4．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．12．（2022·黑龙江大庆·八年级期中）已知三角形两边的长分别是8和，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是_____．【答案】或24【分析】先利用因式分解法解方程得到x1=6，x2=10，当第三边长为6时，利用等腰三角形的性质和勾股定理可计算出底边上的高=2，则根据三角形面积公式可计算出此时三角形的面积；当第三边长为10时，利用勾股定理的逆定理可判断三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式求解．【详解】解：x2-16x+60=0，（x-6）（x-10）=0，x-6=0或x-10=0，所以x1=6，x2=10，当第三边长为6时，三角形为腰是6，底为8的等腰三角形，则底边上的高==2，此时三角形的面积==；当第三边长为10时，∵62+82=102,∴三角形为直角三角形，此时三角形的面积=×8×6=24．故答案为：或24【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系，勾股定理及其逆定理．13．（2022·北京昌平·八年级期末）2022年女足亚洲杯在2022年1月20日至2月6日举行，由小组赛和淘汰赛组成．按比赛规则小组赛赛制为单循环赛制（即每个小组的两个球队之间进行一场比赛），在小组赛阶段，中国队凭借着小组赛比赛前几个场次的赢球，成为最先获得八强资格的球队，并在2022年2月6日的亚洲杯决赛中以3∶2战胜韩国女足，获得亚洲杯冠军．已知中国女足队所在的A组共安排了6场比赛，则中国女足所在的A组共有______支球队．【答案】4【分析】设中国女足所在的A组共有x支球队，则每支球队需要比赛的场数为场，根据×球队数×每支球队需要比赛的场数=6，列出方程，解方程即可．【详解】解：设中国女足所在的A组共有x支球队，根据题意得：，解得：，（舍去）故答案为：4．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系，列出方程，是解题的关键．14．（2022·浙江·诸暨市滨江初级中学八年级阶段练习）《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+10x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解是_________．【答案】##【分析】根据阴影部分的面积+四个正方形的面积=大正方形的面积，得出解方程即可．【详解】解：∵阴影部分的面积为50，∴即75=（x+5）2，解得∴x的正数解为：故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，借助数形结合的思想得出方程是解决本题的关键．15．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则与数量关系是______．【答案】【分析】根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为(a+b)，右图是一个长方形，长、宽分别为(b+a+b)、b，并且它们的面积相等，由此即可列出等式(a+b)2=b(b+a+b)，解方程即可求出答案．【详解】解：依题意得(a+b)2=b(b+a+b)，整理得：a2+b2+2ab=2b2+ab，则a2-b2+ab=0，方程两边同时除以b2，则，解得：，∵不能为负，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题主要考查了图形的剪拼，是一个信息题目．解题的关键是要正确理解题目的意思，会根据题目隐含条件找到数量关系，最后利用数量关系列出方程解决问题16．（2022·辽宁鞍山·八年级期中）对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较大的数，例如：，若，当y＝4则x＝______．【答案】-1或2##2或-1【分析】首先根据题意，进而可得max{（x﹣1）2，x2}＝4时分情况讨论，当x＝0.5时，x＞0.5时和x＜0.5时，进而可得答案．【详解】∵max{（x﹣1）2，x2}＝4，解得当x＝0.5时，x2＝（x﹣1）2，不可能得出最小值为4，∴当x＞0.5时，（x﹣1）2＜x2，则x2＝4，解得：x1＝-2（不合题意，舍去），x2＝2，当x＜0.5时，（x﹣1）2＞x2，则（x﹣1）2＝4，x﹣1＝±2，x﹣1＝2，x﹣1＝﹣2，解得：x1＝-1，x2＝3（不合题意，舍去），综上所述：x的值为：2或﹣1．故答案为2或﹣1．【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，实数的比较大小，以及分类思想的运用，关键是正确理解题意．三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022·广西崇左·八年级期中）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用公式法解答，即可求解；（2）利用配方法解答，即可求解．（1）解：∵，，，∴，∴，∴，．（2）解：原方程可化为，配方得，，∴．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法，因式分解法，公式法，配方法是解题的关键．18．（2022·北京顺义·八年级期末）已知：关于x的方程．(1)请判断这个方程根的情况；(2)若该方程的一个根小于1，求k的取值范围．【答案】(1)有两个实数根(2)【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式以及完全平方公式，可得原方程有两个实数根；（2）由一元二次方程的求根公式可得，，分和两种情况进行讨论即可．（1）解：∵≥0．

∴原方程有两个实数根．（2）解：∵，其中，，，，∵∴，若，则，∵该方程的一个根小于1，∴，即，这与矛盾，应舍去；若，则，∵该方程的一个根小于1，∴，即，符合题意，综上，．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和求根公式，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．19．（2022·安徽合肥·八年级期末）某水果店标价为10元/kg的某种水果经过两次降价且两次降价的百分率都是10%，请回答下列问题：(1)该水果经过两次降价后的价格是______元/kg；(2)从第二次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示，已知该水果的进价为4.1元/kg，设销售该水果第x天（1≤x<10）的利润为368元，求x的值．时间/天x销量/kg120－2x储藏和损耗费用/元【答案】(1)8.1(2)9【分析】（1）根据“水果店标价为10元/kg的某种水果经过两次降价且两次降价的百分率都是10%”得两次降价后的价格为10×（1-10%）2=8.1元/千克．（2）利用当天销售该水果获得的利润=每斤的利润×当天的销售量-储藏和损耗费用，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出x的值为．（1）根据题意得：10（1-10）2=8.1（元/kg）故答案为：8.1．（2）依题意得：（8.1-4.1）（120-x）-（3x2-64x+409）=368，整理得：x2-20x+99=0．解得：x1=9，x2=11．又∵1≤x＜10，∴x=9．答：x的值为9．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．20．（2022·广西北海·七年级期中）阅读材料：把代数式因式分解，可以分解如下：(1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解．(2)拓展：当代数式时，求的值．【答案】(1)(2)1或-3【分析】（1）仿照例题的计算方法先配方，再利用平方差公式进行分解；（2）将方程左边因式分式后求出与的关系，求出结果即可．（1）解：；（2）解：，∵，∴，∴或，∴或，∴或．【点睛】本题考查因式分解的应用，解题关键是模仿例题进行因式分解，主要利用配方法和平方差公式．21．（2022·重庆·八年级期末）某商店今年3月第一周购进一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一个“冰墩墩”的进价比一个“雪容融”的进价多40元，购进20个“冰墩墩”和30个“雪容融”的金额相同．(1)今年3月第一周每个“冰墩墩”和每个“雪容融”的进价分别是多少元？(2)今年3月份第一周，商店以150元每个售出“冰墩墩”120个，以100元每个售出“雪容融”150个，第二周商店决定调整价格，每个“冰墩墩”的价格不变，销量比第一周增加了个，每个“雪容融”的售价在第一周的基础上下降了m元，销量比第一周增加了2m个，若该商家今年3月份第一、二周共获利13200元，求m的值．【答案】(1)今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是120元，每个“雪容融”的进价是80元(2)15【分析】（1）设今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是x元，每个“雪容融”的进价是y元，利用总价=单价×数量，结合“冰墩墩”及“雪容融”单价间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）利用总利润=每件的销售利润×销售数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．（1）解：设今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是x元，每个“雪容融”的进价是y元，依题意得：，解得：．答：今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是120元，每个“雪容融”的进价是80元．（2）依题意得：（150-120）×120+（100-80）×150+（150-120）×（120+）+（100-m-80）×（150+2m）=13200，整理得：m2-15m=0，解得：m1=15，m2=0（舍去）．答：m的值为15．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．22．（2022·河北唐山·八年级期中）如图1，，点P从A出发，沿路线运动，到D停止；点P的速度为每秒，运动时间为x秒，如图1是的面积与x（秒）的图像．(1)______时间段内点P在线段上运动；______时间段内点P在线段上运动；(2)根据题目中提供的信息，请你推断出图1中的______；______；______；图2中的______；(3)当点P运动______秒时，．【答案】(1)0到2；2到5(2)2；3；1；3(3)3【分析】（1）由函数的图像2知，在0到2秒的时间段点P在线段AB上运动，，在2到5秒的时间段点P在线段BC上运动，即可求解；（2）从图2看，AB＝2cm，BC＝5﹣2＝3（cm），CD＝6﹣5＝1（cm），当点P和点C重合时，△ABP的面积S为m，即可求解；（3）当AP＝PD时，即4+（x﹣2）2＝1+（x﹣5）2，解得x＝3，进而求解．（1）解：由函数的图像2知，在0到2秒的时间段点P在线段AB上运动，，在2到5秒的时间段点P在线段BC上运动，故答案为：0到2；2到5；（2）解：从图2看，AB＝2cm，BC＝5﹣2＝3（cm），CD＝6﹣5＝1（cm），当点P和点C重合时，△ABP的面积S为m，即m＝S＝×AB•BC＝×2×3＝3（cm2），故答案为：2，3，1，3；（3）解：从图象看，当点P在BC上时，有△ADP以∠ADP为底角构成等腰三角形，此时，BP＝x﹣2，则PC＝BC﹣BP＝3﹣（x﹣2）＝5﹣x，则AP2＝AB2+BP2＝4+（x﹣2）2，DP2＝PC2+CD2＝1+（x﹣5）2，当AP＝PD时，即4+（x﹣2）2＝1+（x﹣5）2，解得x＝3，故答案为：．【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．23．（2022·浙江金华·八年级期中）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．(1)如图1，已知∠ACB＝90°，AC＝4，，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB．①四边形ACBD______（填“是”或“不是”）等邻边四边形；②求线段DB的长度．(2)如图2，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，将Rt△ABC沿∠B的平分线方向平移得到，连接，．若平移后的四边形是“等邻边四边形”，则平移的距离（即线段的长）为_