专题12 特殊三角形（1）解析版

专题12特殊三角形（1）考点1：\o"等腰三角形的性质"等腰三角形的性质1．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，两腰AB、AC的垂直平分线交于点P，则（）A．点P在△ABC外 B．点P在△ABC底边上 C．点P在△ABC内 D．点P的位置与△ABC的边长有关【答案】A【解析】如图所示，设垂直平分线MN、OQ相交于点P．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C．∵∠BAC＝100°，∴∠ABC＝（180°﹣100°）÷2＝40°．∵AM＝AB，AO＝AC，∴AM＝AO．又AP＝AP，∴Rt△AMP≌Rt△AOP，∴∠PAM＝∠PAC＝50°．∵MN垂直平分AB，∴PA＝PB．∴∠PBA＝∠PAB＝50°＞∠ABC，∴点P在△ABC的外部．故选：A．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝42°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为（）A．23° B．25° C．27° D．29°【答案】C【解析】∵AB＝AC，∠A＝42°，∴∠ABC＝∠ACB＝69°，∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD＝42°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝27°．故选：C．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC＝100°，则∠D＝（）A．40° B．50° C．60° D．80°【答案】B【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠C＝∠B＝40°，∵DE⊥BC于点E，∴∠D＝90°﹣∠C＝50°，故选：B．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝4，BE＝1，则EC的长度是（）A．2 B．3 C． D．【答案】B【解析】由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°，AC＝AB＝BE+AE＝4+1＝5，在Rt△ACE中，CE＝＝3，故选：B．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，BC＝，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，则线段AD的长为_______．【答案】．【解析】∵AB＝AC，∠C＝72°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∴∠A＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∵以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，∴BC＝BD，∴∠BDC＝∠C＝72°，∴∠CBD＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∴∠ABD＝72°﹣36°＝36°，∴∠A＝∠ABD，∴AD＝BD＝BC＝；6．等腰三角形周长为20cm，则腰长xcm的取值范围是_______．【答案】5＜x＜10．【解析】依题意有等腰三角形的底边长为：（20﹣2x）cm，又，解得：5＜x＜10．7．如图，在△ABC中，AE＝DE＝BD，AD＝EC，∠1＝17°，则∠EBC的度数是_______．【答案】56°．【解析】∵BD＝DE，∴∠DEB＝∠1＝17°，∴∠ADE＝∠1+∠DEB＝34°，∵AE＝DE，∴∠A＝∠ADE＝34°，∵BD＝AE，AD＝CE，∴AD+BD＝CE+AE，即AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝73°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠1＝56°，8．若关于x，y二元一次方程组的解x，y的值大于0．（1）求a的取值范围；（2）若x，y的值恰好是一个等腰三角形的腰和底边的长，且这个等腰三角形的周长为9，求a的值．【答案】见解析【解析】（1）解关于x，y二元一次方程组得，∵x，y的值大于0，∴，解得a＞1；（2）若x为腰，y为底边，则2x+y＝9，∴2（a﹣1）+a+2＝9，解得a＝3，∴x＝2，y＝5，∵x+x＜y，∴当a＝3时三角形不存在；若y为腰，x为底边，则x+2y＝9，∴（a﹣1）+2（a+2）＝9，解得a＝2，∴x＝1，y＝4，∵x+y＞y，∴当a＝2时三角形存在，故a的值为2．考点2：\o"等腰三角形的判定"等腰三角形的判定1．用一根长为21厘米的铁丝围成一个三条边长均为整数厘米的等腰三角形，则方案的种数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】设等腰三角形的腰为x，底边为y，则x＞0，y＞0，x+x＞y，则x+x+y＝21，即①y＝21﹣2x＞0，所以②x+x＞21﹣2x，解①②得：5＜x＜10.5，所以整数x可以为6，7，8，9，10，共5种，故选：A．2．下面叙述不可能是等腰三角形的是（）A．有两个内角分别为75°，75°的三角形 B．有两个内角分别为110°和40°的三角形 C．有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形 D．有一个外角为140°，一个内角为100°的三角形【答案】B【解析】A、有两个内角分别为75°，75°的三角形，另一内角为30°，可以构成等腰三角形；B、有两个内角分别为110°和40°的三角形，另一内角为30°，不能构成等腰三角形，C、有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形，与外角相邻的内角是80°，第三个角是50°，可以构成等腰三角形；D、有一个外角为80°，一个内角为100°的三角形，与外角相邻的内角是100°，当80°的外角和100°的内角构成平角时，另外两个内角可以是40°和40°，可以构成等腰三角形．故选：B．3．如图是5×5的正方形方格图，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则方格图中满足条件的点C的个数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】如图所示：C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC；C在C5，C6位置上时，AB＝BC；即满足点C的个数是6，故选：C．4．如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD是高，CF是中线，BE是角平分线，BE交AD于G，交CF于H，下列说法正确的是（）①∠AEG＝∠AGE；②BH＝CH；③∠EAG＝2∠EBC；④S△ACF＝S△BCF．A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③④【答案】C【解析】∵BE是角平分线，∴∠ABE＝∠CBE，∵AD为高，∴∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，∴∠ACB＝∠BAD，∵∠AEG＝∠ACB+∠CBE，∠AGE＝∠CAD+∠ABE，∴∠AEG＝∠AGE，故①正确；根据已知条件不能推出∠HCB＝∠HBC，即不能推出BH＝CH，故②错误；∵AD为高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠CAD，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABC＝2∠EBC，∴∠CAD＝2∠EBC，即∠EAG＝2∠EBC，故③正确；∵CF是中线，∴AF＝BF，∴S△ACF＝S△BCF（等底等高的三角形的面积相等），故④正确．故选：C．5．若△ABC的边AB＝8cm，周长为18cm，当边BC＝_______cm时，△ABC为等腰三角形．【答案】8cm或5cm或2．【解析】∵△ABC的边AB＝8cm，周长为18cm，∴BC+AC＝10cm．①当AB＝BC＝8cm时，AC＝2cm，能构成三角形，符合题意．②当BC＝AC＝5cm时，能构成三角形，符合题意．③当AB＝AC＝8cm时，BC＝2cm，能构成三角形，符合题意．综上所述，BC的长度是8cm或5cm或2cm时，△ABC为等腰三角形．6．已知a，b，c为△ABC的三边长．b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|x﹣4|＝2的解，则△ABC的形状为_______三角形．【答案】等腰．【解析】∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，解得：b＝2，c＝3，∵a为方程|x﹣4|＝2的解，∴a﹣4＝±2，解得：a＝6或2，∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，∴a＝6不合题意，舍去，∴a＝2，∴a＝b＝2，∴△ABC是等腰三角形，7．如图，2×3的矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以图中格点为顶点的等腰直角三角形有_______个．【答案】50．【解析】如图，AC＝BC＝1，AB＝AC，CD＝＝，当等腰直角三角形的直角边长为1时（如等腰直角三角形ACB），这样的三角形的个数为6×4＝24个；当等腰直角三角形的直角边长为时（如等腰直角三角形ABE），这样的三角形的个数为7×2＝14个；当等腰直角三角形的直角边长为2时（如等腰直角三角形DHE），这样的三角形的个数为2×4＝8个；当等腰直角三角形的直角边长为时（如等腰直角三角形ACB），这样的三角形的个数为4个，所以满足条件的等腰直角三角形的个数为24+14+8+4＝50．8．如图，∠ADB＝∠ADC，∠B＝∠C．（1）求证：AB＝AC；（2）连接BC，求证：AD⊥BC．【答案】见解析【解析】证明：（1）∵在△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC（AAS），∴AB＝AC；（2）∵△ADB≌△ADC，∴AB＝AC，BD＝CD，∴A和D都在线段BC的垂直平分线上，∴AD是线段BC的垂直平分线，即AD⊥BC．考点3：\o"等腰三角形的判定与性质"等腰三角形的判定与性质1．△ABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，若AB＝6，则AC＝（）A．6 B．8 C．5 D．13【答案】A【解析】∵△ABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣50°＝50°，∴∠C＝∠B，∴AC＝AB＝6，故选：A．2．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AG⊥BF，垂足为点D，交BC于点G，E为AC的中点，连接DE．若DE＝3.5cm，AB＝4cm，则BC的长为（）A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm【答案】C【解析】∵BF平分∠ABC，AG⊥BF，∴∠ABD＝∠GBD，∠ADB＝∠GDB＝90°，∵BD＝BD，∴△ABD≌△GBD（ASA），∴AB＝GB＝4cm，AD＝GD，∵E为AC的中点，∴DE是△AGB的中位线，∴CG＝2DE＝7cm，∴BC＝BG+CG＝4+7＝11cm，故选：C．3．如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD于点G，若∠1＝∠BEF，若EF＝3，则FG为（）A．4 B．3 C．5 D．1.5【答案】B【解析】∵EG平分∠BEF，∴∠GEB＝∠GEF，∵∠1＝∠BEF，∴CD∥AB，∴∠EGF＝∠GEB，∴∠GEF＝∠EGF，∴△EFG是等腰三角形，∴FG＝EF＝3，故选：B．4．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N．若BM＝2，CN＝3，则MN的长为（）A．10 B．5.5 C．6 D．5【答案】D【解析】∵MN∥BC，∴∠MEB＝∠CBE，∠NEC＝∠BCE，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，∴∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠BCE，∴∠MEB＝∠MBE，∠NEC＝∠NCE，∴ME＝MB，NE＝NC，∴MN＝ME+NE＝BM+CN＝2+3＝5，故选：D．5．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＞CF；⑤若∠A＝80°，则∠BFC＝130°．其中正确的有_______．（填正确的序号）【答案】①②③⑤．【解析】①∵BF是∠ABC的角平分线，CF是∠ACB的角平分线，∴∠ABF＝∠CBF，∠ACF＝∠BCF，∵DE∥BC，∴∠CBF＝∠BFD，∠BCF＝∠EFC（两直线平行，内错角相等），∴∠ABF＝∠BFD，∠ACF＝∠EFC，∴DB＝DF，EF＝EC，∴△BDF和△CEF都是等腰三角形，∴①选项正确，符合题意；②∵DE＝DF+FE，∴DB＝DF，EF＝EC，∴DE＝DB+CE，∴②选项正确，符合题意；③∵△ADE的周长为＝AD+DE，∵DE＝DB+CE，∴△ADE的周长为＝AD+DB+AE+CE＝AB+AC，∴③选项正确，符合题意；④根据题意不能得出BF＞CF，∴④选项不正确，不符合题意；⑤∵若∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣80°＝100°，∵∠ABF＝∠CBF，∠ACF＝∠BCF，∴∠CBF+∠BCF＝×100°＝50°，∴∠BFC＝180°﹣∠CBF﹣∠BCF＝180°﹣50°＝130°，∴⑤选项正确，符合题意；故答案为：①②③⑤．6．如图，在△ABC中，BC＝30，CA＝40，AB＝50，D、E是△ABC内两点，满足AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，DE∥AB，且DE＝10，则△CDE的面积为_______．【答案】80．【解析】如图，作直线DE交AC于N，交BC于M，过点C作CK⊥AB于K，交MN于H．∵AC＝40，BC＝30，AB＝50，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵CK⊥AB，∴S△ACB＝•AC•BC＝AB•CK，∴CK＝24，∵MN∥AB，∴∠MEB＝∠EBA，∵EB平分∠ABC，∴∠EBA＝∠EBM，∴∠MEB＝∠MBE，∴ME＝MB，同法NA＝ND，设ME＝MB＝x，NA＝ND＝y，则CN＝40﹣y，CM＝30﹣y，∵MN∥AB，∴△CMN∽△CBA，∴＝＝，∴＝＝，解得x＝10，y＝，∴CM＝20，∵△CNM∽△CBA，∴＝，∴CH＝16，∴S△CDE＝•DE•CH＝×10×16＝80．7．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝20°，BP平分∠ABC；点D是射线BP上一点，如果点D满足△BCD是等腰三角形，那么∠BDC的度数是_______．【答案】40°、70°或100°．【解析】当BC＝CD时，如图所示，∵∠A＝20°，AB＝AC，∴∠ABC＝80°，∵BP平分∠ABC，∴∠CBD＝40°，∵BC＝CD，∴∠CBD＝∠BDC＝40°，当BD＝BC时，如图所示，∵∠A＝20°，AB＝AC，∴∠ABC＝80°，∵BP平分∠ABC，∴∠CBD＝40°，∵BD＝BC，∴∠BDC＝70°．当DB＝DC时，如图所示，∵∠A＝20°，AB＝AC，∴∠ABC＝80°，∵BP平分∠ABC，∴∠CBD＝40°，∵BD＝CD，∴∠BDC＝100°，故答案为：40°、70°或100°．8．已知：在△ABC中，AB＝AC，DE∥AB，DF∥AC．求证：AC＝DE+DF．【答案】见解析【解析】证明：∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠EDC＝∠C，∴ED＝EC，∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE为平行四边形，∴DF＝EA，∴AC＝AE+EC＝DE+DF．考点4：\o"直角三角形的性质"直角三角形的性质1．在△ABC中，有下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝2∠B＝3∠C；④∠A＝∠B＝∠C．其中能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】①由∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°得到：2∠C＝180°，则∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；②设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，∠A+∠B+∠C＝180°得到：6x＝180°，则x＝30°，∠C＝3x＝90°，所以△ABC是直角三角形；③由∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°得到：∠A+∠A+∠A＝180°，则∠A＝（）°，所以△ABC不是直角三角形；④∠A＝∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°得到：∠A+∠A+2∠A＝180°，则∠A＝45°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；综上所述，能确定△ABC是直角三角形的条件有3个．故选：C．2．在Rt△ABC中，∠A＝70°，那么另一个锐角∠B的度数是（）A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】B【解析】在Rt△ABC中，∠A＝70°，则∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°，故选：B．3．下列说法正确的是（）A．三角形的三个内角之和为180° B．同位角相等 C．同旁内角互补 D．直角三角形的两个锐角互补【答案】A【解析】A、三角形的三个内角之和为180°，本选项说法正确；B、两直线平行，同位角相等，本选项说法错误；C、两直线平行，同旁内角互补，本选项说法错误；D、直角三角形的两个锐角互余，本选项说法错误；故选：A．4．如图，从旗杆AB的顶端A向地面拉一条绳子，绳子底端恰好在地面P处，若旗杆的高度为3.2米，则绳子AP的长度不可能是（）A．3 B．3.3 C．4 D．5【答案】A【解析】∵旗杆的高度为AB＝3.2米，∴AP＞AB，∴绳子AP的长度不可能是：3米．故选：A．5．在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝35°，则∠A的度数为_______．【答案】55°．【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，∴∠A＝90°﹣35°＝55°，6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACD＝130°，则∠A＝_______°．【答案】40．【解析】∵∠ACD的△ABC的一个外角，∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝130°﹣90°＝40°，7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AC边上且2∠CBE＝∠ABE，过点A作AD∥BC，AD与BE的延长线交于点D，DE＝，则AB＝_______．【答案】．【解析】如图，取DE的中点F，连接AF，∵AD∥BC，∠C＝90°．∴∠D＝∠CBE，∠EAD＝90°，∵2∠CBE＝∠ABE∴∠ABE＝2∠D，∵F为DE的中点，∴AF＝DF＝EF，∴∠D＝∠FAD，∵∠AFB＝∠D+∠FAD，∴∠AFB＝∠ABF，∴AB＝AF＝DE，∵DE＝，∴AB＝．故答案为：．8．如图，四边形ABCD中，AC⊥AD，作CE⊥AB于点E，设BD分别与AC、CE交于点F、G．若BD平分∠ABC，且∠2＝∠3，求证：∠CFG＝∠CGF．完成下面的证明过程：证明：∵AC⊥AD（已知），∴∠CAD＝90°（垂直的定义），∵BD平分∠ABC（已知），∴∠1＝∠2（_______），∵∠2＝∠3（已知），∴∠1＝_______（等量代换），∴AD∥BC（_______），∴_______＝∠CAD＝90°（两直线平行，内错角相等），∴∠1+∠CFG＝90°（直角三角形两个锐角互余），同理由CE⊥AB，可得∠2+∠BGE＝90°∴∠CFG＝∠BGE（_______），又∵∠BGE＝∠CGF（对顶角相等），∴∠CFG＝∠CGF（等量代换）．【答案】见解析【解析】证明：∵AC⊥AD（已知），∴∠CAD＝90°（垂直的定义），∵BD平分∠ABC（已知），∴∠1＝∠2（角平分线的定义），∵∠2＝∠3（已知），∴∠1＝∠3（等量代换），∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），∴∠ACB＝∠CAD＝90°（两直线平行，内错角相等），∴∠1+∠CFG＝90°（直角三角形两个锐角互余），同理由CE⊥AB，可得∠2+∠BGE＝90°∴∠CFG＝∠BGE（等角的余角相等），又∵∠BGE＝∠CGF（对顶角相等），∴∠CFG＝∠CGF（等量代换）．故答案为：角平分线的定义；∠3；内错角相等，两直线平行；∠ACB；等角的余角相等．考点5：\o"等腰直角三角形"等腰直角三角形1．如图，直线AB∥CD，将含有45°角的三角板EFP的直角顶点F放在直线CD上，顶点E放在直线AB上，若∠2＝17°，则∠1的度数为（）A．45° B．28° C．25° D．30°【答案】B【解析】∵AB∥CD，∴∠DFE+∠FEB＝180°，∴∠1+∠PFE+∠FEP+∠2＝180°，∵∠PFE＝90°，∠FEP＝45°，∴∠1+∠2＝45°，∵∠2＝17°，∴∠1＝28°，故选：B．2．如图，第1个正方形（设边长为2）的边为第一个等腰直角三角形的斜边，第一个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边，第2个正方形的边是第2个等腰三角形的斜边…依此不断连接下去，通过观察与研究，写出第2012个正方形的边长a2012为（）A．a2012＝4（）2011 B．a2012＝2（）2011 C．a2012＝4（）2012 D．a2012＝2（）2012【答案】B【解析】设第1个正方形的边长a1＝2，根据题意得，第2个正方形的边长为a2＝a1，第3个正方形的边长为a3＝a2＝（a1）＝（）2a1，第4个正方形的边长为a4＝a3＝（）2a1＝（）3a1，…，第2012个正方形的边长a2012＝（）2011a1，∵a1＝2，∴a2012＝2（）2011．故选：B．3．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，点D在CA的延长线上，∠BDA＝30°，则CD的长是（）A．2+2 B．4﹣2 C．4+2 D．4+4【答案】A【解析】如图，作BE⊥AC于E．∵AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝4，∵BE⊥AC，∴AE＝EC，∴BE＝AE＝EC＝2，∵∠BED＝90°，∠BDE＝30°，∴DE＝BE＝2，∴CD＝DE+EC＝2+2，故选：A．4．如图，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，在△BCD中，∠BCD＝90°，∠D＝60°，E为BD的中点，AB的延长线与CE的延长线交于点F，则∠F的大小为（）A．15° B．30° C．45° D．25°【答案】A【解析】∵△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∵∠BCD＝90°，E为BD的中点，∴CE＝BD＝DE＝BE，∵∠D＝60°，∴∠CBD＝30°，△CDE是等边三角形，∴∠CED＝60°，∴∠BEF＝∠CED＝60°，∵∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝45°+30°＝∠BEF+∠F，∴∠F＝75°﹣60°＝15°；故选：A．5．将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式折叠放在一起，若∠1＝25°，则∠2的度数为_______．【答案】20°．【解析】∵AB∥CD，∴∠1＝∠ADC＝25°，又∵等腰直角三角形ADE中，∠ADE＝45°，∴∠1＝45°﹣25°＝20°，6．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点Q在直线BC上，且AQ＝2，则线段BQ的长为_______．【答案】+1或﹣1．【解析】分两种情况：（1）点Q在线段BC的延长线上，如图：∵∠ACB＝90°，∴∠ACQ＝180°﹣90°＝90°，∵AC＝1，AQ＝2，∴QC＝＝，∵BC＝1，∴BQ＝QC+BC＝+1；（2）点Q在线段CB的延长线上，如图：∵∠ACB＝90°，AC＝1，AQ＝2，∴QC＝＝，∵BC＝1，∴BQ＝QC﹣BC＝﹣1．综上，线段BQ的长为+1或﹣1．故答案为：+1或﹣1．7．将一个等腰直角三角形的直角顶点和一个锐角顶点按如图方式分别放在直线a，b上，若a∥b，∠1＝24°，则∠2的度数为_______°．【答案】21．【解析】∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB＝180°，∴∠1+∠EBD+∠EDB+∠2＝180°，∵∠EBD＝90°，∠EDB＝45°，∴∠1+∠2＝45°，∵∠1＝24°，∴∠2＝21°，8．在综合与实践课上，老师让同学们以“三条平行线m，n，l（即始终满足m∥n∥l）和一副直角三角尺ABC，DEF（∠BAC＝∠EDF＝90°，∠FED＝60°，∠DFE＝30°，∠ABC＝∠ACB＝45°）”为主题开展数学活动．操作发现（1）如图1，展翅组把三角尺ABC的边BC放在l上，三角尺DEF的顶点F与顶点B重合，边EF经过AB，顶点E恰好落在m上，顶点D恰好落在n上，边ED与n相交所成的一个角记为∠1，求∠1的度数；（2）如图2，受到展翅组的启发，高远组把直线m向下平移后使得两个三角尺的两个直角顶点A、D分别落在m和l上，顶点C恰好落在n上，边AC与l相交所成的一个角记为∠2，边DF与m相交所成的一个角记为∠3，请你说明∠2﹣∠3＝15°；结论应用（3）老师在点评高远组的探究操作时提出，在（2）的条件下，若点N是直线n上一点，CN恰好平分∠ACB时，∠2与∠3之间存在一个特殊的倍数关系，请你直接写出它们之间的倍数关系，不需要说明理由．【答案】见解析【解析】（1）如图1中，∵直线n∥直线l，∴∠DBC＝∠BDN，又∵∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝45°﹣30°＝15°，∴∠BDN＝15°，∴∠1＝90°﹣15°＝75°．（2）如图2所示，过B点作BG∥直线m，∵BG∥m，l∥m，∴BG∥l（平行于同一直线的两直线互相平行），∵BG∥m，∴∠3＝DBG，又∵BG∥l，∴∠LAB＝∠ABG，∴∠3+∠LAB＝∠DBA＝30°+45°＝75°，又∵∠2和∠LAB互为余角，∴∠LAB＝90°﹣∠2，∴∠3+90°﹣∠2＝75°，∴∠2﹣∠3＝15°．（3）结论：∠2＝3∠3．理由：在（2）的条件下，∠2﹣∠3＝15°，又∵CN平分∠BCA，∴∠BCN＝∠CAN＝22.5°，又∵直线n∥直线l，∴∠2＝22.5°，∴∠3＝7.5°，∴∠2＝3∠3．考点6：\o"勾股数"勾股数1．下列各组数是勾股数的是（）A．4，5，6 B．5，7，9 C．6，8，10 D．10，11，12【答案】C【解析】A、42+52≠62，故此选项错误；B、52+72≠92，故此选项错误；C、52+122＝132，故此选项正确；D、102+112≠122，故此选项错误．故选：C．2．在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中：a68101214…b815243548…c1017263750…则当a＝20时，b+c的值为（）A．162 B．200 C．242 D．288【答案】B【解析】根据表格中数据可得：a2+b2＝c2，并且c＝b+2，则a2+b2＝（b+2）2，当a＝20时，202+b2＝（b+2）2，解得：b＝99，则c＝99+2＝101，∴b+c＝200，故选：B．3．下列四组数中，是勾股数的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52 C．3，4，5 D．【答案】C【解析】A、0.32+0.42＝0.52，能构成直角三角形，但不是整数，不是勾股数，故本选项不符合题意；B、（32）2+（42）2≠（52）2，不是勾股数，故本选项不符