专题14函数的应用（一）（预备知识）

专题14函数的应用（一）1、会利用已知函数模型解决实际问题（一次函数、二次函数、分段函数模型）2、能建立函数模型解决实际问题3、运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题知识点一：常见几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型二次函数模型分段函数模型幂函数模型知识点二：对钩函数（耐克函数）对点集训一：一次函数模型典型例题【知识点】分段函数模型的应用月份1月2月零售价（元）60006500月销售量（台）6055(1)若厂家某月将该按摩椅定价为6700元/台，则该厂家这个月能销售多少台按摩椅？(2)若厂家生产一台按摩椅的成本为4000元，则该厂家应该如何定价才能使厂家每月利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)53台(2)当该按摩椅定价为8000元/台时，月利润最大，最大利润为元【知识点】求二次函数的值域或最值、建立拟合函数模型解决实际问题、利用二次函数模型解决实际问题最大利润为元．精练1．（多选）（2223高一·全国·单元测试）某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为，观影人数记为，关于的函数图像如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后关于的函数图像．给出下列四种说法，其中正确的说法是（

）A．图（2）对应的方案是：提高票价，并提高固定成本B．图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本C．图（3）对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变D．图（3）对应的方案是：提高票价，并降低固定成本【答案】BC【知识点】函数图象的应用由图（2）知，直线向上平移，不变，即票价不变，变大，则变小，固定成本减小，故A错误，B正确；由图（3）知，直线与轴的交点不变，直线斜率变大，即变大，票价提高，不变，即不变，固定成本不变，故C正确，D错误；故选：BC．2．（2324高一·上海·课堂例题）某物流公司在上海及杭州的仓库分别有某机器12台和6台，现决定销售给A市10台、B市8台．已知上海调运一台机器到A、B市的运费分别为400元和800元；杭州调运一台机器到A、B市的运费分别为300元和500元．设从上海调运x台机器往A市，求总运费y（单位：元）关于x（单位：台）的函数关系．【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题对点集训二：二次函数模型典型例题(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？(2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元【知识点】分式型函数模型的应用、基本（均值）不等式的应用、求二次函数的值域或最值、分段函数模型的应用最大利润是1680万元．(1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？(2)该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？【答案】(1)第3年(2)第7年平均利润最大，为12万元【知识点】基本（均值）不等式的应用、利用二次函数模型解决实际问题【分析】（1）先求得利润的表达式，由此列不等式来求得正确答案.（2）先求得平均利润的表达式，然后利用基本不等式求得正确答案.综上，第7年，平均利润最大，为12万元.精练1．（2324高一上·浙江台州·开学考试）某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）与（天）的关系如表：时间（天）1361036日销售量（件）9490847624(1)请利用一次函数，二次函数，反比例函数的知识，直接写出日销售量与时间（天）之间的关系式；(2)请预测示来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少?(2)第18天的日销售利润最大，最大日销售利润为450元；【知识点】待定系数法、利用二次函数模型解决实际问题【分析】（1）利用待定系数法求解即可；【详解】（1）通过表格可知m与x之间的关系为一次函数，（2）设销售利润为W元，∴未来40天中第18天日销售利润最大，最大日销售利润为450元；(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)从第几年开始，使用该设备开始盈利?(2)第三年【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、解不含参数的一元二次不等式【分析】（1）根据题意，即可得出函数；(2)当生产多少台该设备时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？(2)生产60台该设备时，该企业所获利润最大，最大利润为820万元．【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、基本不等式求和的最小值、求二次函数的值域或最值、分段函数模型的应用（2）根据（1）求得的利润函数，分段求出每段函数的最大值，比较即得最大利润.所以该企业生产20台该设备时，所获利润为400万元．对点集训三：分式函数模型（基本不等式工具）典型例题(2)当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润.【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求二次函数的值域或最值、基本（均值）不等式的应用、分段函数的值域或最值(2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？(2)公司获得的年利润最大，每年应生产9万件该芯片【知识点】分段函数模型的应用、基本（均值）不等式的应用（2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解.【详解】（1）根据题意得，即为使公司获得的年利润最大，每年应生产万件该芯片．精练1．（2324高一上·上海浦东新·期末）要建造一个高为3米，容积为48立方米的无盖长方体蓄水池.已知池底的造价为每平方米1500米，池壁的造价为每平方米1000元.该蓄水池的总造价（元）关于池底一边的长度（米）的函数关系为：.【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题【分析】根据条件便可得到池底面积为4平方米，底面的另一边长，从而便可得到总造价与的解析式.【详解】根据条件，该蓄水池的总造价元，池底一边的长度米，底面另一边长为米,(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，企业所获得年利润最大？最大利润是多少？(2)当年产量为千件时，年利润最大，最大值为万元【知识点】分段函数模型的应用、基本不等式求和的最小值、求二次函数的值域或最值【分析】（1）根据题意，分段求出年利润即可求解；（2）对每一段函数求出最大值，再进行比较即可求解.(1)求口罩销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式；（销售利润销售总价固定成本生产成本）(2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？(2)当产量为60万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是580万元【知识点】求二次函数的值域或最值、分段函数模型的应用、基本（均值）不等式的应用综上，当产量为60万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是580万元．对点集训四：分段函数模型典型例题(1)试写出关于的函数关系，并求该函数的最大值；(2)若该顾客这次购物所享受到的优惠超过九折，且不超过八五折，求的取值范围.【知识点】分段函数模型的应用、方程与不等式、函数【分析】（1）根据题意列出分段函数式，根据函数单调性即可求解最值；（2）根据关于的函数关系式，得到不等式，即可求解.综上，该函数的最大值为.(1)将利润（单位：万元）表示为月产量的函数；(2)为了让公司所获得利润不低于10万元，求月产量的取值范围．【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、分段函数模型的应用、建立拟合函数模型解决实际问题、解不含参数的一元二次不等式【详解】（1）由题可知利润表示总收入减去固定成本和投入成本所得，精练(1)求一年中最高月利润及对应的月份；(2)求该饮料月利润超过3万元的月份.【答案】(1)第8个月的月利润最大，为7万元(2)第6，7，8，9，10月.【知识点】利用函数单调性求最值或值域、利用二次函数模型解决实际问题、分段函数模型的应用、解不含参数的一元二次不等式【分析】（1）对分段函数进行分段考虑，运用换元法和配方法分别求出的最大值，最后综合比较即得；综上，第8个月的月利润最大，为7万元.（2）由（1）可知前5个月中，最大月利润为第3个月的3万元，故超过3万元的月份只可能在后面的7个月里，故月利润超过3万元的月份有第6，7，8，9，10月.2．（2324高一上·浙江嘉兴·期中）我国是用水相对贫乏的国家，据统计，我国的人均水资源仅为世界平均水平的．因此我国在制定用水政策时明确提出“优先满足城乡居民生活用水”，同时为了更好地提倡节约用水，对水资源使用进行合理配置，对居民自来水用水收费采用阶梯收费．某市经物价部门批准，对居民生活用水收费如下：第一档，每户每月用水不超过立方米，则水价为每立方米元；第二档，若每户每月用水超过立方米，但不超过立方米，则超过部分水价为每立方米元；第三档，若每户每月用水超过立方米，则超过部分水价为每立方米元，同时征收其全月水费的用水调节税．设某户某月用水立方米，水费为元．(1)试求关于的函数；(2)若该用户当月水费为元，试求该年度的用水量；(2)立方米(3)元【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、求分段函数解析式或求函数的值、分段函数模型的应用【详解】（1）因为某户该月用水立方米，（2）由题可得，当该用户水费为元时，处于第二档，所以该月的用水量为立方米．【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、分段函数模型的应用、解分段函数不等式（2）解分段函数不等式，即可求出.对点集训五：对钩函数及其应用典型例题(1)怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸（单位：），能使整个矩形海报面积最小，并求最小值；(2)如果要求矩形栏目的宽度不小于高度的倍，那么怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸（单位：），能使整个矩形海报面积最小，并求最小值.【知识点】基本不等式求和的最小值、对勾函数求最值【详解】（1）解：设矩形栏目的高为，宽为，（2）若公共通道DE每米造价2000元，请你做一下预算，求出该通道造价最大值和最小值及对应的x值.【知识点】三角形面积公式及其应用、对勾函数求最值、余弦定理解三角形精练(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；【答案】(1)4米，28800元【知识点】基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的应用、对勾函数求最值【分析】(1)建立函数模型，利用基本不等式求最小值;(2)根据不等式的恒成立问题求参数的取值范围.【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元.(1)求的取值范围；(2)最大值为【知识点】对勾函数求最值、解不含参数的一元一次不等式一、单选题A．1.5min B．2min C．3min D．4min【答案】D【知识点】分段函数模型的应用所以需要等待的时间为4min．故选：D

A．

B．

C．

D．

【答案】D【知识点】函数图像的识别、二次函数的图象分析与判断故选：D.A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒【答案】A【知识点】求二次函数的值域或最值、利用二次函数模型解决实际问题、二次函数的图象分析与判断【分析】利用配方法，求二次函数最大值及相应值即可.故选：A.A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元【答案】D【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用因此，当生产万件时，当月能获得最大总利润万元，当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元.故选：D.A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时【答案】C【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、解分段函数不等式、分段函数模型的应用故选:CA．3000元 B．4000元 C．3800元 D．4200元【答案】B【知识点】利用二次函数模型解决实际问题【分析】先建立二次函数模型，再由二次函数的性质求解【详解】设灯具商店每月的利润为z元，故选：BA．135 B．149C．165 D．195【答案】B【知识点】分式型函数模型的应用、基本不等式求和的最小值【分析】把给定函数变形，利用基本不等式即可得解.所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故选：BA．18万件 B．20万件 C．16万件 D．8万件【答案】A【知识点】利用二次函数模型解决实际问题【分析】先求得利润的表达式，然后结合二次函数的性质求得利润取得最大值时对应的生产数量.故选：A【点睛】本小题主要考查二次函数模型的应用，属于基础题.二、多选题【答案】AC【知识点】分段函数模型的应用【分析】分别计算不同选项两个商场的优惠判断即可.所以选项A正确；所以乙商场费用低，故在乙商场购物，故选项D错误.故选：AC10．（多选）一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水量与时间的关系如图①②.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图③.则下列说法中一定正确的有（

）A．0点到3点只进水不出水 B．3点到4点不进水只出水C．3点到4点总蓄水量降低 D．4点到6点不进水不出水【答案】AC【知识点】函数图象的应用【分析】结合函数图象分析得进水速度是出水速度的，从而分段分析第3个图形的进水与出水情况，从而得解.【详解】由①②两图知，进水速度是出水速度的，所以由图③可知，0点到3点不出水，A正确；3点到4点一个进水口进水，一个出水口出水，总蓄水量降低，B错误，C正确；4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，D错误.故选：AC.三、填空题【答案】【知识点】基本不等式求和的最小值故答案为:.【答案】【知识点】分段函数模型的应用【分析】根据二次函数的单调性和反比例函数的单调性进行求解即可.故答案为：.四、解答题(1)设2024年该童装生产线的利润为W（2024年利润=总收入生产线的成本物料及人工等成本合计），求：W的函数解析式及其定义域；(2)请问2025年生产多少万套童装时，使得生产线利润最大，最大利润为多少？(2)40万套，520万元【知识点】分段函数模型的应用、基本（均值）不等式的应用（2）利用二次函数的性质和基本不等式分段求最值，再进一步比较即可.综上所述，2025年生产40万套童装时，使得生产线利润最大，最大利润为520万元(2)当2025年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？(2)当游客量为60万台时，该项目年利润最大，最大利润为350万元.