基于梳理知识结构的“数列”单元复习小结3教学设计-高二下学期数学人教B版选择性

基于梳理知识结构的“数列”单元复习小结教师姓名：工作单位：一、教学内容解析1．本单元教学内容及解析教学内容本单元内容出自人教B版《普通高中教科书·数学选择性必修第三册》第五章“数列”，其内容包括：（1）等差数列的判断和证明，基本量的求解，判断单调性，求通项公式及前n项和．（2）等比数列的判断和证明，基本量的求解，判断单调性，求通项公式及前n项和．（3）等差数列与一次函数和等比数列与指数函数之间的区别和联系．（4）以递推关系为载体求解数列的通项公式，重视累加法、累乘法、构造法求通项公式的通性通法．（5）根据数列的性质选择恰当的方法求数列前n项和，重视倒序相加，错位相减、裂项相消等求和方法的渗透．（6）数列的实际应用（分期还款，政府支出的“乘数”效应）以及数学归纳法．内容解析（1）计算等差、等比数列两类模型的基本量是数列运算的基础，帮助学生提高学生逻辑思维和运算求解能力．（2）围绕递推关系求数列通项公式，对学生转化与化归的能力要求很高，需要教师培养学生利用通性通法去分析问题和解决问题的能力，发展学生数学抽象、逻辑推理的数学素质．（3）关注数列的函数本质，以此为切入点搭建数列与高中数学其它知识之间的桥梁，理解数列与其它数学知识之间的内在逻辑联系，加强函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合等思想的渗透．（4）本单元复习过程中重视对学生思维品质和思维过程的培养，在求解与数列有关情景问题时，引导学生根据情境抽象出数列的表示形式，通过运算进行求解，帮助学生在实践中不断提高创新能力和数学建模能力．单元课时分配等差数列及其前n项和3课时等比数列及其前n项和3课时利用递推关系求通项公式1课时数列求和1课时数列与函数的区别和联系2课时数列的情境问题1课时数学归纳法1课时数列与其它模块知识交汇问题1课时本单元教学重点：（1）数列的递推关系、通项公式、前n项和；（2）建立数列与函数之间的联系，明确它们的区别．本单复习基本流程图：学习阶段知识明线方法暗线素养眼线整体感知数列的基本知识特殊与一般转化与化归函数与方程分类讨论数形结合数学抽象逻辑推理数学运算数学建模探究建构函数观点看数列应用迁移数列的情景问题重构拓展其它模块知识交汇问题2．本节课内容及解析本节课之前，本单元的教学内容已经完成了9课时，但由于数列迭代特点和函数属性的重要性，所以设置本节课对这两部分内容进行深入研究，教学内容设置如下：教学内容（1）通过数列递推关系求数列通项公式；（2）用函数观点研究数列．内容解析（1）数列是反应运算规律的重要模型，其中递推关系、通项公式（相应于函数解析式）是数列的表示方法，通过研究数列的性质，选择合适的方法，求数列的前n项和．通项公式和求和公式是重点，更强调通过代数运算解决问题．（2）数列也是一类特殊的函数，即定义在正整数集或其子集的离散型函数．建立等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的联系，其实是同一种关系在离散和连续下的两种状态．引导学生用函数的观点看数列，体会数学的整体性．（3）本节在梳理知识结构的同时，使学生经历知识的再发现、再创造以及知识体系的再建构过程，帮助学生自主形成知识图谱．数列的学习能有效提升学生的数学运算、逻辑推理、数学抽象等素养．本节课教学重点：（1）将不熟悉的递推关系通过代数运算化归成熟悉的递推数列；（2）利用函数观点研究数列；（3）引导学生自主构建知识图谱．教学目标设置在《普通高中数学课程标准（2020年修订版）》的指导下，教学目标设置为：1．单元目标以及达成目标的标识目标（1）通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数．（2）通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义．探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．体会等差数列与一元一次函数的关系．（3）通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义．探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．体会等比数列与指数函数的关系．（4）了解数学归纳法的原理及其过程。目标达成的标识（1）能从具体实例中归纳、概括出数列的表示方法（表格、图象、递推关系和通项公式）．（2）能根据数列的通项公式，写出任意项．能理解递推公式中体现的是项与项之间的迭代关系,并能根据递推公式选择恰当的方法求出数列通项公式．（3）能理解数列的前n项和公式的定义,并会根据数列的前n项和公式求出数列的通项公式，会根据数列的性质选择恰当的方法求数列前n项和．（4）会类比函数的“定义—表示方法—性质“的研究路径来研究数列，会用函数思想解决数列问题．

（5）会从具体的情景中抽象出数列模型，进而应用数学知识解决实际问题．2．本课时教学目标以及达成目标的标识目标（1）通过对简单数列的分析，学生能明确数列递推关系的重要性，会将不熟悉的迭代关系通过代数变形化归成数列相邻两项的关系或与数列相关数列相邻两项的关系．探索知识之间的纵向联系，体会特殊与一般、转化与化归的思想，同时还发展了数学抽象、数学运算、逻辑推理素养．（2）通过自主探究、合作探究进一步了解数列与函数之间的联系和区别，让学生会用函数的观点看数列，发现和理解数列的性质，认识数列的应用价值，体会函数与方程的数学思想，提高学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力．（3）在解题活动中，进一步理解数列知识的内在联系，感受数列的迭代特点和函数属性．引导学生自主构建知识图谱，提高学生归纳总结的能力．目标达成的标识（1）学生通过对探究1的分析研究，得到将不熟悉的递推关系转化成熟悉的递推关系的一般思想和方法，并利用这个方法去解决新的问题．（2）学生通过对全国甲卷理科高考题第17题（2）问的梳理，明确等差数列通项与一次函数，等差数列前n项和与二次函数之间的区别和联系，通过对探究2的合作研究，明确指数函数的底数和等比数列的公比之间的区别．（3）通过本节课的梳理使学生能对本章的知识有更新的认识，完善已有的知识体系，自主建构适合自己的知识图谱．三、学生学情分析1．学生已具备的认知基础本节课的授课对象是沈阳铁路实验中学高三、三班的学生，通过几节课的复习，他们已经基本掌握了数列的定义、通项公式的求法，已经掌握等差数列和等比数列的判断、证明和基本量的求解．以及求数列前n项和的方法，也了解数列是特殊函数，具备了一定的分析问题和解决问题的能力．2．达成教学目标所需具备的认知基础（1）将不熟悉的迭代关系通过代数变形化归成了数列相邻两项的关系或与数列相关数列相邻两项的关系．（2）会用函数的观点看数列，在利用函数解决数列问题的过程中，发现函数与数列之间的区别．（3）对已掌握的知识进行再发现、再创造以及知识体系的再构建能力．3．可能出现的障碍学生整章知识的掌握缺乏系统性认识，不能灵活应用代数变形将复杂的递推关系进行转化，进而求出数列的通项公式．将函数类比成函数进行研究时，易忽略解析中相关参数的差异性以及数列图象的离散性．教学难点及突破策略教学难点：使学生经历知识的再发现、再创造以及知识体系的再建构的过程，形成知识图谱．突破策略：通过展示交流，让学生会从题目中提炼出对应的数学知识及思想方法，教师通过问题串引领，培养学生发现问题和提出问题的能力，加强数学思想的渗透．学生在自主探究和小组合作中，理解知识的内在关联，达到温故知新的目的．四、教学策略分析本节课是一节单元复习课，贯彻“学生为主体，教师为主导”的教学理念．1．教法分析结合本课时的内容特点和学情分析，通过一系列有层次的问题串生成探究活动，注重启发式、互动式教学．本课时以提升学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养为目标．围绕着数列的函数属性和迭代特点，研究数列的性质，获得数列的一般路径．在课堂活动中使得学生获得“四基”，提高“四能”，发展数学核心素养，让学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界．2．学法分析在学法上，注重学生的学习过程体验，勿忘学生是主体，把复习构建知识体系的主动权交给学生，发挥学生在学习中的主体作用，使学生由被动变为主动，由配角变为主角，真正做课堂的主人．学生在展示交流的过程中，对基本知识、基本技能和基本方法有更深刻的理解，促进他们知识的灵活应用．学生通过主动思考、自主探究、合作探究进而突破重、难点．五、教学过程设计环节一：挖掘本质互动探究教师：数列是一类特殊的函数，是反映运算规律的重要模型，在现实生活中有着广泛应用，这节课我们来复习数列这一单元的主要内容和思想方法．首先请同学回顾一下我们是按照什么样的路径对等差数列和等比数列开展研究的？教师：数列的大部分问题都是围绕着递推关系、通项和求和这三个要素展开的，在课前老师给大家布置了一项作业，完成2022年全国高考甲卷第17题，在批改的过程中，老师发现同学们的思考角度各不相同，接下来找同学跟大家分享他的解题思路．学生活动：学生展示问题（1）解题思路，阐述问题涉及的基础知识和基本方法．思路一：思路二：【设计意图】教师引导学生自评、互评，建立信心，共同发展．允许学生从不同的角度和层面进行思考，培养学生的创新思维和批判性思维．教师：同学们提供的两种解题方法各有千秋，但两种方法也有着异曲同工之妙，那就是将不熟悉的迭代关系通过代数变形化归成了数列相邻两项差的关系或与数列相关数列相邻两项差的关系．所以通过合理的代数变形将迭代关系化归成特殊数列，就值得我们进一步探究．【预期效果】【追问1预期效果】【追问1预期课堂呈现效果】【追问2预期效果】数列；【设计意图】探究及两个追问的设计，旨在强调数列递推关系的重要性，强化特殊与一般、转化与化归的数学思想．环节二：类比迁移拓展思维教师：函数既有迭代特点，还具有函数属性，找同学继续分享作业第（2）问的解题思路．学生活动：学生展示问题（2）解题思路，阐述问题涉及的基础知识和基本方法．思路一：思路二：【设计意图】通过学生不同解题方法的展示，使同学们感受数列与函数的共性和差异．教师：从定义上看，数列是特殊的函数，从表示方法上看，通项相应于函数的解析式，图象是数列的又一种表示方法，数列与其类比之后的函数在图象上既有区别又有联系，我们可以用函数的观点研究数列．刚才解题过程中，第一位同学将等差数列前n项和类比成了二次函数，通过二次函数的对称性找到了最小值，另一位同学将等差数列通项类比成了一次函数，利用一次函数的零点，找到了数列的正负分界项，从而找到了最小值．数列不仅可以类比成一次函数和二次函数，还可以类比成其它函数，接下来给同学们一些时间，请大家认真思考探究2．探究2．设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，若QUOTEan为等比数列，QUOTEbn为等差数列，请问这两个数列中最多有多少个公共元素？追问1：将QUOTEbn改为等比数列，这两个数列最多有多少个公共元素？追问2：将改QUOTEan为递增数列，将QUOTEbn改为递减数列，这两个数列最多有多少个公共元素？学生活动：思考，自主探究，小组合作，分享交流．【课堂呈现】第一小组呈现内容第二小组呈现内容第三小组呈现内容【设计意图】以学生展示的解题思路为生长点，在学生最近发展区提出问题，进一步感受数列与函数的共性和差异，一是函数图象的交点并不一定是数列图象的交点，二是指数型函数的底数与等比数列的公比取值范围不一样．体会数学的整体性，提升转化与化归、函数与方程和数形结合的数学思想．在自主的探索过程中，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养．环节三：反思感悟构建图谱学生活动：学生自主构建知识图谱，展示、补充、完善．【课堂呈现】生1补充：（1）将等差数列中的公差类比成一次函数的斜率进行研究；（2）等差数列的【设计意图】学生经历再研究、再探索，感悟本章知识的内在联系，建构完整的认知结构，提高学生总结归纳的能力．环节四：归纳提升建构体系1、研究数列的一般途径：提炼—概念—表示—性质—求和—应用．2、本节课的目标【设计意图】帮助学生形成研究数列的一般途径，理清知识结构，体会数学思想，提高关键能力，发展核心素养，达成育人目标．环节五：布置作业应用迁移作业1：通过本节课的学习绘制适合自己的思维导图；作业2：导学案课后分层作业（其中A组、B组为必做题；C组为选做题）A组A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件（2020·全国Ⅱ卷）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块B组（2021·全国甲卷）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．第项最大．C组【设计意图】1．学生经历了知识的再发现、再创造以及知识体系的再建构过程，重新构建思维导图，帮助学生完善知识体系，内化知识结构．2．分层作业的设计满足学生的个性化需求，提高作业的有效性，落实因材施教原则．使不同层次的学生都能体会成功的喜悦，既巩固所学知识，又给学有余力的同学有发展空间，使得不同层次的学生都能够得到提高．3．作业设计将数列与函数和不等式等知识相结合，培养学生的逻辑思维和运算求解能力．设计同样注重了数列与现实情境相结合，发展学生数学抽象和数学建模等学科素养．六、课堂教学评价1．教师为主导，精心设计教学环节本节课从