第2章有理数（5个知识点25个考点讲练中考真题演练培优训练共70题）学生版

有理数（5个知识点+25个考点讲练+中考真题演练+培优训练共70题）TOC\o"13"\h\u知识梳理强化基础 2知识点梳理01：正数与负数及相关概念 2知识点梳理02：数轴、相反数与绝对值 3知识点梳理03：有理数的运算 3知识点梳理04：有理数的大小比较 4知识点梳理05：科学记数法 4高频考点逐一攻克 4考点训练01：正负数的实际应用 4考点训练02：有理数的分类 5考点训练03：带“非”字的有理数 5考点训练04：用数轴上的点表示有理数 6考点训练05：数轴上点的平移（动点问题） 7考点训练06：数轴上整点覆盖问题 7考点训练07：数轴上的规律探究 7考点训练08：绝对值得几何意义 8考点训练09：绝对值得非负性 10考点训练10：绝对值得其他应用 11考点训练11：有理数大小的实际应用 12考点训练12：化简多重复号 13考点训练13：有理数加减中的简便运算 14考点训练14：有理数加减中的简便运算的实际应用 14考点训练15：有理数四则混合运算 16考点训练16：有理数四则混合运算的实际应用 17考点训练17：根据点在数轴上的位置判断式子的正负 18考点训练18：有理数的乘方运算 18考点训练19：有理数乘方的逆运算 20考点训练20：有理数乘方的应用 21考点训练21：用科学计数法表示绝对值大于1的数 22考点训练22：用科学计数法表示的数变为原数 22考点训练23：程序流程图与有理数的计算 23考点训练24：算“24”点 24考点训练25：含乘方的有理数混合运算 25中考真题实战演练 26优选题型突破自我 27知识点梳理01：正数与负数及相关概念1、认识正数、负数、零（1）正数：大于0的数叫做正数，正数大于0；（2）负数：正数前面加个符号“－”（负号）的数叫做负数，负数小于0；（3）0：既不是正数也不是负数，正负数以0为界。规定：0是最小的自然数。2、有理数的概念及分类（1）整数和分数统称有理数.（2）有理数的分类知识点梳理02：数轴、相反数与绝对值1．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．2．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．3．绝对值：（1）代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．数a的绝对值记作．几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．知识点梳理03：有理数的运算1.有理数运算法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即ab=a+(b)．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0)．（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．(6）有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．2．运算律：（1）交换律：①加法交换律：a+b=b+a；②乘法交换律：ab=ba；（2）结合律：①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法结合律：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac知识点梳理04：有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；（3)作差比较法．（4）作商比较法；（5）倒数比较法．知识点梳理05：科学记数法考点训练01：正负数的实际应用1．（2223七年级上·江苏南京·期中）某校七年级1至4班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，如表是实际购书情况：班级1班2班3班4班实际购书量（本）a32c22实际购书量与计划购书量的差值（本）b(1)直接写出___，___；(2)根据记录的数据可知4个班实际购书共___本；(3)书店给出一种优惠方案：一次购买达到15本，其中2本书免费．若每本书售价为30元，求这4个班团体购书的最低费用．2．（2223七年级上·黑龙江大庆·期中）《道路交通安全法实施条例》规定：在一个记分周期（12个月）内扣满12分，将扣留其机动车驾驶证．如果超速50%以上扣12分；超速20%以上未达50%扣6分；超速10%以上未达20%扣3分．刘师傅以100千米/时的速度行驶在公路上，前方出现限速标志（如图）．如果他保持原来的速度继续行驶，他将受到扣几分的处罚？（通过计算说明）考点训练02：有理数的分类3．（2425七年级上·陕西西安·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号里．﹣18，3.1416，0，﹣2.001，，5%．(1)整数集合：{}；(2)分数集合：{}；(3)负数集合：{}；4．（2425七年级上·河南三门峡·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内：正有理数集合：{}；负有理数集合：{}；整数集合：{}；考点训练03：带“非”字的有理数正数集合：｛__________…｝；

整数集合：｛__________…｝；非负数集合：｛__________…｝；

负分数集合：｛__________…｝；6．（2324七年级上·山东菏泽·阶段练习）把下列序号填在相应的大括号里．(1)整数{}；(2)正分数{}；(3)非负数{}；(4)负有理数{}；考点训练04：用数轴上的点表示有理数7．（2425七年级上·甘肃陇南·期末）如图，点A、在数轴上对应的数为、7，点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度也向右运动．设运动时间为秒．(1)求运动前的中点对应的数；(2)为何值时A、对应的数相同；(3)为何值时A、之间的距离等于2个单位长度．8．（2425七年级上·北京·期中）如图，观察数轴，解答下列问题：(1)A点表示的有理数是______，表示有理数的点是______；(3)将这五个数，6，，0，用“”连接的结果是：______．考点训练05：数轴上点的平移（动点问题）9．（2324六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是．10．（2425七年级上·福建福州·期中）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答问题：(1)将A点向左移动5个单位长度，这是的点表示的数是___________；(2)怎样移动A、B、C的其中个点，才能使点C恰好是线段的中点？请写出三种移动的方法．方法一（移动A点）：___________，方法二（移动B点）：___________，方法三（移动C点）：___________．考点训练06：数轴上整点覆盖问题A．9个 B．10个 C．100个 D．101个12．（2021七年级上·安徽·阶段练习）如图，数轴上被遮挡的整数是（

）A． B． C． D．3考点训练07：数轴上的规律探究A． B． C． D．考点训练08：绝对值得几何意义15．（2425七年级上·福建漳州·期中）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题：（1）探究：①数轴上表示6和3的两点之间的距离是．②数轴上表示和的两点之间的距离是．③数轴上表示和2的两点之间的距离是．（2）归纳：（3）应用：16．（2425七年级上·江苏连云港·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．【知识探索】（1）数轴上表示与的两点之间的距离是______；②若使所表示的点到表示和的点的距离之和为，所有符合条件的整数的和为______；【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：（3）折叠纸面，若表示的点和表示的点重合，则表示的点和______表示的点重合；（4）折叠纸面，若表示的点和表示的点重合，①则表示的点和______表示的点重合；【拓展运用】考点训练09：绝对值得非负性17．（2425七年级上·福建福州·期中）【知识准备】【问题探究】（）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向右运动．设运动时间为秒，求当为何值时，的中点所对应的数为．【拓展延伸】①填空：若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的等分点，则我们有等分点公式：对应的数为_______．(1)，，．(2)若将数轴对折，使得对折后点与点重合，此时点与点也重合，求点所表示的数x．(3)设和的中点分别为点，，点从点出发沿数轴向右运动，在此过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长．考点训练10：绝对值得其他应用19．（2425七年级上·湖南湘西·期中）陈英杰老师要求同学们，结合数轴与绝对值的相关知识回答下列问题：(1)探究：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______；②数轴上表示和的两点之间的距离是_______；③数轴上表示4和的两点之间的距离是_______；(2)归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离是_______；(3)应用：考点训练11：有理数大小的实际应用21．（2324七年级上·山西阳泉·期末）元旦促销活动期间，很多国货品牌受到人们的青睐，销量大幅增长．某平台的体育用品旗舰店对原价元/件的某款运动速干衣和原价元/双的某款运动棉袜开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．方案：买一件运动速干衣送一双运动棉袜；方案：运动速干衣和运动棉袜均按折付款．(1)若该户外俱乐部按方案购买，需付款________元；若该户外俱乐部按方案购买，需付款________元；（用化简后的含的整式表示）(1)分别用含有的代数式表示用两种方案购买所需的费用；考点训练12：化简多重复号23．（2425七年级上·安徽淮南·期中）在数轴上表示下列各数，并用“”将它们连接起来．(1)把这些数在下面的数轴上表示出来：(2)请将这些数按从小到大的顺序排列（用“”连接）．考点训练13：有理数加减中的简便运算上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算：考点训练14：有理数加减中的简便运算的实际应用27．（2425七年级上·河南南阳·期末）“十一”周期间，某乐园在7天假期中每天的游客人数变化如下表所示．以1万人为标准，多于1万人的记为“+”，不足1万人的记为“”，刚好1万人的记为“0”日期1日2日3日4日5日6日7日人数变化/万人0(1)10月2日这一天的游客有_____万人．(2)请求出周期间游客最多的一天比最少的一天多多少万人．(3)若该乐园的门票是每人100元，请计算周期间该乐园的门票收入．28．（2425七年级上·湖北襄阳·期末）如图，在一张纸上画出一条水平的数轴，在数轴上放置一枚黑棋、一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置对应的数分别是5，5，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋，乙移动白棋）．甲、乙两人同时出示“石头、剪子、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果移动棋子（石头胜剪子，剪子胜布，布胜石头），移动规则如下：①若甲赢，则甲将黑棋向右移动2个单位长度，同时乙将白棋向右移动1个单位长度；②若乙赢，则乙将白棋向左移动2个单位长度，同时甲将黑棋向左移动1个单位长度：③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动1个单位长度．前四局的部分手势情况如下表：局次第一局第二局第三局第四局甲的手势石头剪子布布乙的手势石头布石头(1)从起始位置开始，第一局后黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数的和为_______；(2)规定若每局结束后黑棋的位置离原点更近，则甲获胜，若白棋的位置离原点更近，则乙获胜，那么第三局结束时获胜的是_______（填“甲”或“乙”）：(3)若第四结束后，在数轴上黑棋和白棋之间的距离最小，则乙第四局的手势是（填“石头”或“剪子”或“布”）；考点训练15：有理数四则混合运算29．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）计算：考点训练16：有理数四则混合运算的实际应用31．（2425七年级上·福建漳州·阶段练习）自行车厂要生产一批相同型号的自行车，计划每天生产100辆．但由于各种原因，实际每天的生产量与计划量相比会有所差异．下表是工人在某周的生产情况：（超过100辆记为正，不足100辆记为负）星期一二三四五六日增减（辆）(1)根据记录可知，前三天共生产了辆；(2)生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了辆；(3)该厂实行计件工资制，每生产一辆得100元，对于每天的计划生产量，若每多生产一辆再额外奖20元，若每少生产一辆则要扣20元，求工人这一周的工资总额是多少元．32．（2425七年级上·河北沧州·期中）体育课上全班女生进行了一分钟仰卧起坐测验，达标成绩为30个，第一组8名女生的成绩记录为：，0，，，，，，．其中+号表示超过达标成绩的个数，表示不足达标成绩的个数．(1)第一组8名女生中最好成绩与最差成绩相差________个；(2)求第一组8名女生的平均成绩；(3)规定：一分钟仰卧起坐次数为达标成绩，不得分；超过达标成绩，每多做1个得2分；未达到达标成绩，每少做1个扣1分．若一分钟仰卧起坐总积分超过60分，便可得到优秀体育小组称号，请通过计算说明第一组8名女生能否获得该称号．考点训练17：根据点在数轴上的位置判断式子的正负A．2个 B．3个 C．4个 D．5个34．（2425七年级上·辽宁盘锦·期中）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示：考点训练18：有理数的乘方运算35．（2425七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．【初步探究】(2)关于除方，下列说法错误的是______．A．任何非零数的圈2次方都等于1

D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？(4)将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式为______．【灵活应用】(1)上述六个有理数中，互为相反数的一组是______；(2)将上述六个有理数表示在如图所示的数轴上；(3)将上述六个有理数按从小到大的顺序排列，并用“”连接．考点训练19：有理数乘方的逆运算38．（2024七年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，并解决后面的问题．问题：考点训练20：有理数乘方的应用一、小明的做法：如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分．第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；…二、小亮的做法：(2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论；A．32 B．1044 C．253 D．16192考点训练21：用科学计数法表示绝对值大于1的数考点训练22：用科学计数法表示的数变为原数43．（2425七年级上·全国·随堂练习）将下列用科学记数法表示的数还原成原数．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个考点训练23：程序流程图与有理数的计算A． B． C． D．46．（2425七年级上·广西桂林·期中）平平和安安进行摸球游戏，如图，框1中有A，B两个大小相同的球，框2中有C，D，E，F四个大小相同的球，先从框1中摸出一个球，再从框2中将4个球全部摸出，并按摸出的顺序进行计算．(1)平平先从框1中摸出了球A，再从框2中摸出球的顺序为D→E→C→F，请你帮助平平计算最终结果．(2)①若安安从框1中摸出了球B，从框2中摸出球的顺序为F→E→______→______，计算结果为，请你通过计算判断安安从框2中摸出球的顺序；②若安安从框1中摸出了球A，从框2中先摸出的球为球D，则摸球游戏计算的最大结果为______．请你写出计算过程．考点训练24：算“24”点47．（2425七年级上·山东威海·期末）有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题：(1)从中选择两张卡片①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____；②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____；③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____；④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____；(2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可）48．（2425七年级上·广东汕头·期中）红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，解决下列问题：(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相减的差最大，最大值是______．(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是______．(3)从中取出0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，使结果为24，写出一种符合要求的运算等式．（注：每个数字只能用一次）．考点训练25：含乘方的有理数混合运算49．（2425七年级上·甘肃兰州·期中）计算：(2)深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？①试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式．②想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于；【真题演练1】（2024·山东烟台·中考真题）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【真题演练2】（2022·湖北鄂州·中考真题）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【真题演练3】（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：A． B． C． D．(2)如果计算结果等于6，求被污染的数字．故选：C．2．（2425七年级上·甘肃兰州·期中）天天在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，输入一个有理数x，则可相应的输出一个结果y．若输入x的值为，则输出的结果y为（

）A．7 B．6 C．8 D．12A．2