2025版新高考版高考总复习数学成对数据的统计分析（十年高考）

2025版新高考版高考总复习数学11.5成对数据的统计

分析

考点1变量间的相关关系

1.(2020课标〃理，18,12分)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调

查该地区某种野牛.动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取

20个作为样区，调查得到样本数据(刘,田(i=l,2，.…20),其中H和y,分别表示第，个样区的植物覆盖面积(单

20202020

2

位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得£=]AF60，S/=I)7=1200,^=1G㈤2=80,»=1(yi-y)=

20

9000,Xi=i(xf-x)(>,r-y)=800,

(D求该地区这种野牛.动物数度的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野牛.动物数量的平均数

乘以地块数)；

⑵求样本a,V)G=l,2,…,2。)的相关系数(精确到0.01);

(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物

数量更选确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.

附：相关系数，产[ay=rt产:5了=：=,^1,414.

222

JSj-i(AT(-X)SI.I(y(-yyJSi-i(X(-X)SI.J(y(-y)

解析⑴由已知得样本平均数9=显:;y,=60,从而该地区这种野生动物数量的估计值为60x200=

12000.

⑵样本㈤)力(i=1,2,…,20)的相关系数

2020

£-1。|一幻(乂-歹)=1(勺-7)(乂-刃__800=2喔094

I~20201I~2020V80X9003-3■

2

君2匕.1(yt-y)jEi-1(XL元)2£T(yt-y)2

(3)分层抽样:根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样.

理由如下：由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆孟面枳有很强的正相关.由于各地块间植物覆芾.面

积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大,采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总

体结构的一致性,提高了样本的代表性,从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.

2.(2015课标I,理19,文19,12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位:

千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传斐x.和年销售量

y.(i=l,2，…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

620

600■.♦♦

580-.♦

560.♦

540.♦

520

50()♦

48()11一一一一一

M3638404244464850525456

年宣传费/千元

8888

Xyw£(x.-x)"2af-w)2£(x,-x)(y.-y)£(w.-w)(y-y)

(=11=1f=i1=1

46.

5636.8289.81.61469108.8

6

_18

表中Wj=Jxi，w=oX1%

of=l

(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+dG哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出

判断即可，不必说明理由)

(2)根据(1)的判断结果及表樱据,建立y关于x的回归方程：

(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题：

(D年宣传费x:19时，年销售且及年利润的预报值是多少？

(ii)年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据(u.,v,),(皿vj%),其回归直线v=a+例的斜率和截距的最小二乘估计分别为

n

“(Ui-U)(Vi-V)“A

0占-------;­，a=v-pu.

E(u«-u)2

f=l

解析(D由散点图可以判断,y-c+d4适宜作为年销售是y关于年宣传费x的回归方程类型.(2分)

⑵令先建立y关于w的线性回归方程.由于

8

时8「刃

“£(WL108.8”

d=^------------------二

8h68,

国52

c=y~d新563-68x6.8=100.6,

所以y关于w的线性回归方程为y=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为y=100.6+684.(6分)

⑶⑴由⑵知,当x=49时，年销售量y的预报值

/100.6+68再=576.6,

年利润z的预报值;=576.6x0.249=66.32.（9分）

（ii）根据（2）的结果知,年利润z的预报值

70.2（100.6+68\/x）-x=-x+13.6>/x+20.12.

所以当«=亨=6.8,即x=46.24时,z取得最大值.

故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.（12分）

3.（2015重庆文,17,13分）随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币诸蓄

存款（年底余额）如下表：

年份20102011201220132014

时间代号t12345

储蓄存款y（千亿元）567810

⑴求y关于t的回归方程ytt+a;

（2）用所求回归方程预测该地区2015年（t=6）的人民币储蓄存款.

附:回归方程ybt-a中，

解析（1）列表计算如下:

it?

l（山tiYi

11515

226412

337921

4481632

55102550

X153655120

=72

这里n=5,t=-£ti=Y=3,y=-Sy>=Y-,

n自5n^.5

又ls=£tf-n?2=55-5x32=10,Ly=£t】y1-n£歹二120-5x3x7.2=12,

i=l1=1

Al]2A八

从而加■^=TT;=L2,a=y-bt=7.2-1.2x3=3.6,

10

故所求回归方程为，=1.2t+3.6.

⑵将t=6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为，=1.2x6+3.6=10.8（千亿元）.

4.（2014课标口理，19,12分）其地区2007年至2013年衣村居民家庭人均纯收入y（单位:千元）的数据如下

表：

年份200720082009201020H20122013

年份代号tI234567

人均纯收入y2.93.33.6I.I4.85.25.9

⑴求y关于t的线性回归方程；

（2）利用（1）中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地

区2015年农村居民家庭人均纯收入.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

人£(tf-t)(y,-y)A八_

b=i^n-----;-,a=y-bt.

t=i

解析（D由所给数据计算得

E=；x(14-2+3+4+5+6+7)=4,

歹=；x⑵9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,

7

£(ti-t)-9+4+1+0+1+4+9=28,

i=i

7

E(y,-y)=(-3)x(-1.4)+(-2)x(-1)+(-1)x(-0.7)+0x0.1+1x0.5+2x0.9+3xl.6=14,

7

E5

-14

--=o5

i=一17

b=y228

-

-

所求回归方程为y-0.5t+2.3.

(2)由⑴知,b=0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加C.5千

将2015年的年份代号t=9代入⑴中的回归方程,得，=0.5x9+2.3=6.8,

故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.

评析本题考查了回归直线方程的求解,注意回归直线恒过点3j)是关键,考直了回归系数b的几何意义.

考查了学生的计算求解能力.

考点2列联表和独立性检验

(2023全国甲理，19,12分，中)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下:选40只小白

鼠,随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在

高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的

增加量(单信:g).

(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望；

(2)试验结果如下：

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

15.218.820.221.322.523.225.8

26.527.530.132.634.334.835.6

35.635.836.237.340.543.2

试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.6228

23.623.925.128.232.336.5

⑴求40只小白鼠体重的增加量的中位数再分别统计两样本中小于m与不小于m的

数据的个数,完成如下列我表：

对照组

试验组

(ii)根据⑴中的列联表,能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环

境中体重的增加量有差异？

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P阵k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

解析(1)依题意得,X的所有可能取值为0,1,2,

贝|JP(X=O)二警=段,

P(X=1)=警嗤

p(X=2)=鬻如:号，

・・・X的分布列为

X012

2019

3978

・・・E⑶=>。+等1琮仑上

(2)⑴依题意可得〃『‘黄=23.4.

则对照组样本中小于根的数据的个数为6,

试验组样本中小于m的数据的个数为14,

则列联表为

<m>m

对照组614

试验组146

(ii)由⑴中列联表可得

心喘标筹二63.8"

・••有95%的把握认为小臼鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.

1.(2021全国甲理，17,12分)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台

机床产品的质量,分别用两台机床各生产厂200件产品，产品的质量情况统计如下表：

一级品二级品合计

甲机床15050200

乙机床12080200

合计270130400

（1）甲机床、乙机床牛.产的产品中一级品的频率分别是多少？

（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？

附.心=----Mad-》.----

'(a+h)(c+d)(a+c)(b+d)

Pgk

0.0500.0100.001

)

k3.8416.63510.828

解析（1）因为甲机床生产的200件产品中有150件一级品,所以甲机床生产的产品中一级品的频率为黑=

因为乙机床生产的200件产品中有120件一级品，所以乙机床生产的产品中一级品的频率为哭=

42005

n(ad-bc)2

（2）根据2x2列联表中的数据,得K?二

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

=嗤需鬻翳=^10.256,因为10.256>6.635,所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床

的产品质量有差异.

方法总结解决独立性检验问题的一般步骤:

（列表H认女读题，根据相关数据列出2x2列联表）

（算卜｛将2x2舛联表的数据代人公式求去的观测值

将求得的4的值与临界值进行比较J

（当;论｝•（由比较结果得出相应结论1

2.（2020新高考/,19,12分）为加强环境保护,治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机

抽查了100天空气中的PM2.5和SO?浓度（单位：ug/m》得下表:

so>

[o,50](50,150](150,475]

PM2.5

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

⑴估计事件“该市一天空气口PM2.5浓度不超过75,且SO?浓度不超过150”的概率;

(2)根据所给数据,完成下面的2x2列联表：

so2

\sPM2.5

[0,150](150,475]

[0,75]

(75,115]

⑶根据⑵中的列联表,判断世否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与S6浓度有关.

附.心=_n(-z

'(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

Pgk

0.0500.0100.001

)

k3.8416.63510.828

解析(I)根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75,H.SO2浓度不超过150的天数为

32+18+6+8=64,因此该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且S(h浓度不超过150的概率的估计值为

益二°&,：4分)

(2)根据抽查数据,可得2x2列联表:

[0,75]6416

(75,1⑸1()1()