【高考模拟】云南省昆明市2025届高三“三诊一模”摸底诊断测试数学试题（含解析）

云南省昆明市2025届高三“三诊一模”摸底诊断测试数学试题1．已知向量a=(0,2)，b=(1,0)，则A．2 B．3 C．2 D．52．复数−1+iiA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知集合A={−1 , 0 , 1 , 2}，B={yy=3x+1 , x>0A．−1∈A∩B B．0∈A∩B C．1∈A∩B D．2∈A∩B4．某次测试成绩X~N(105 , 225)，记成绩120分以上为优秀，则此次测试的优秀率约为（）参考数据：若X~N(μ , σ2)，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827A．31.73% B．15.87% C．4.55%5．已知函数f(x)=xα−1（α>0），实数m，n满足f(m)+f(n)=4，f(m)f(n)=3A．1 B．7 C．8 D．126．已知点F1(−2,0)，F2(2,0)，动点P满足A．62 B．32 C．527．已知一个圆锥的顶点和底面圆都在球O的球面上，若圆锥的母线与球O的半径之比为3，则圆锥与球O的体积之比等于（）A．132 B．3632 C．98．从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断、不重复地画完所有棱的画法称为“一笔画”．下列几何体可以“一笔画”的是（）A． B．C． D．9．设A , B是一个随机试验中的两个事件，若P(A)=12，P(B)=1A．P(B)=23 B．P(B|A)=1210．已知函数f(x)=cosA．f(x)图象关于y轴对称 B．2π是y=f(x)的一个周期C．f(x)在(0,π)单调递减 D．f(x)图象恒在x轴的上方11．“四叶草”形态优美、寓意美好．已知曲线C:(x2+y2)3=4xy2，其形态极像“四叶草”，设O为坐标原点，PA．C有4条对称轴 B．C围成的面积大于4πC．AB=4 D．△OAB12．已知函数f(x)=xx2+a(x≠0)满足13．围棋是世界上最古老的棋类游戏之一．一副围棋的棋子分黑白两种颜色，现有6枚黑色棋子和2枚白色棋子随机排成一行，每枚棋子排在每个位置可能性相等，则两端是同色棋子的概率为．14．已知函数f(x)=lnx，曲线y=f(x)在A，B两点（不重合）处的切线互相垂直，垂足为H，两切线分别交y轴于C，D两点，设△CDH面积为S，若S<λ恒成立，则λ的最小值为15．已知△ ABC内角A , B , C所对的边分别为a , b , c，asin（1）求A；（2）若a=6，2AB⋅AC16．已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线l过F与C交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA交C（1）当l的倾斜角为π4时，求AB（2）求直线BD的斜率；（3）若O，F，B，D四点共圆，求该圆的半径．17．如图，四棱台ABCD−A1B1C1D（1）证明：ED1 //（2）若侧面DCC1D（i）证明：平面DCC1D（ii）求平面BDC1和平面18．已知函数f(x)=(a+2)ex+a（1）若a=0，求f(x)的极值；（2）讨论f(x)的单调性．19．已知数列{an}，a1=9，an+1=3（1）证明：数列{a（2）求Sn（3）若bn=2nSn−n,n为奇数,参考数据：ln2≈0.69

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：因为a=(0,2)，b所以a−所以a−故答案为：D.【分析】先求出向量a−b的坐标，再根据向量的模的坐标表示，从而得出2．【答案】A【解析】【解答】解：化简复数−1+ii对于复数1+i，实部a=1，虚部b=1，因为实部1>0，虚部1>0，所以复数−1+ii在复平面内对应的点(1,1)故答案为：A.【分析】先要将复数化简为a+bi的形式，其中a为实部，b为虚部，根据复数的运算法则进行化简，再根据实部和虚部的正负确定其在复平面内对应的点所在的象限.3．【答案】D【解析】【解答】解：因为B={yy=3x+1 , x>0}=y|y>1，又因为A={−1 , 0 , 1 , 2}，

所以A∩B=故答案为：D.【分析】先根据一次函数求值域的方法求出集合B，再根据交集的运算法则得出集合A∩B，则由元素与集合的关系，从而找出正确的选项.4．【答案】B【解析】【解答】解：因为120=105+15=μ+σ，所以由正态分布性质得120分以上的概率为12故优秀率约为15.87%故答案为：B.【分析】根据正态分布对应的概率密度函数图象的对称性，再结合题中的参考数据和概率之和等于1的性质，从而得出此次测试的优秀率.5．【答案】B【解析】【解答】解：根据题意，可得mα+n∴fmn故答案为：B.【分析】由已知条件代入函数解析式，再结合指数幂的运算法则可得mnα的值，从而代入函数解析式得出f6．【答案】A【解析】【解答】解：设P(x,y)，由PF1−PF因为实轴长为2的双曲线右支，则方程为x2−y2=1(x>0)，

所以点P到坐标原点的距离是54故答案为：A【分析】根据已知条件结合双曲线的定义，从而求出点P的轨迹方程，再根据代入法点P的纵坐标求出点P的坐标，再结合两点距离公式得出当点P的纵坐标是12时的点P7．【答案】C【解析】【解答】解：设圆锥底面半径和高分别为r,ℎ，

则母线l=r2显然球O为圆锥外接球，设半径为R，

由(ℎ−R)2+r又因为圆锥的母线与球O的半径之比为3，即lR联立可得l=3R，将l=3R代入将l=3R和ℎ=32R再求圆锥体积V1与球O体积V2之比：圆锥体积V1则V1V2=13π故答案为：C.

【分析】先根据已知条件画出草图，从而建立等式关系，再逐步推导出圆锥和球的相关参数，最后由圆锥和球的体积公式，从而求出圆锥与球O的体积之比.8．【答案】C【解析】【解答】解：从一顶点出发的边数为双数的顶点叫偶点，凡是偶点组成的图形一定可以一笔画，

故C正确；从一顶点出发的边数为单数的顶点叫奇点，凡是奇点组成的图形，

必须满足只有两个奇点，其余点为偶点才可以一笔画，因为选项A、选项B、选项D的图形中，每个点都是奇点，所以不能一笔画.故答案为：C.【分析】根据一笔画的要求，先找到都是偶点的图形，一定可以一笔画，再验证奇点的图形是否符合一笔画的条件，从而找出可以“一笔画”的几何体.9．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：因为P(A)=12，P(B)=1所以P(B因为P(B|A)=P因为P(B)=P(AB+A所以PA因为PA+B故答案为：ABC.【分析】根据对立事件求概率公式，则判断选项A；根据条件概率公式判断出选项B；根据全概率公式判断出选项C；根据和事件的概率公式判断出选项D，从而找出正确的选项.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：因为函数f(x)=cos(sinf(−x)=所以fx为偶函数，则f(x)图象关于y因为fx+2π所以2π是y=f(x)的一个周期，故B正确；因为f0fπ又因为1∈0,π2，所以sin1>0，所以f0所以f(x)在(0,π)不可能单调递减，故C错误；因为−1≤sin当0≤sinx≤1时，π2又因为sinx+所以cosx<π2由y=sinx在−π所以f(x)=cos当−1≤sinx≤0时，π2又因为cosx−所以cosx<π2由y=sinx在−π2,所以f(x)=cos综上可得：对∀x∈R，f(x)>0恒成立，即f(x)图象恒在x轴的上方，故D正确.故答案为：ABD.【分析】根据偶函数的定义判断出选项A；计算fx+2π11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：依题意，如图所示：

对于A，将x换为−x方程不变，所以曲线关于y轴对称；将y换为−y方程不变，所以曲线关于x轴对称；将x换为y，y换为x方程不变，所以曲线关于y=x对称；将x换为−y，y换为−x方程不变，所以曲线关于y=−x对称，所以曲线C有4条对称轴，故A正确；对于B，∵x2+所以曲线C包含在圆x2+y2=4的内部，

因为圆x2+对于C，设点Pm,n，则kOP=所以直线AB:y−n=−mnx−m令x=0，得y=m2+令y=0，得x=m2+由m2+n23∴AB对于D，由选项C可知，AB=4，

又因为x2+∴S△OAB=12AB⋅故答案为：ACD.

【分析】通过方程中的变换得出新曲线的对称轴，则判断出选项A；由该曲线在以原点为圆心，半径为2的圆内，故该曲线的面积小于圆的面积，则判断出选项B；设点Pm,n，再利用已知条件求出直线AB的方程，再结合赋值法得出点A,B的坐标，则根据m2+n23=12．【答案】1【解析】【解答】解：因为函数f(x)=xx2则xx2+a=1x1x2+a=故答案为：1.【分析】根据f(x)=f(1x)推导出a−113．【答案】4【解析】【解答】解：若两端的棋子颜色不同，

那么两端的棋子的颜色分布有2种可能，中间的棋子的颜色分布有C6所以两端棋子颜色不同的概率为2×6C82故答案为：47【分析】先根据题意计算出两端棋子颜色不同的概率，再结合组合数公式得出中间的棋子的颜色分布，则根据古典概率公式和对立事件求概率公式，从而得出两端是同色棋子的概率.14．【答案】1【解析】【解答】解：由函数f(x)=|lnx|=−lnx,0<x<1lnx,x>1，

对y=−lnx(0<x<1)求导得y'=−1对y=lnx(x>1)求导得y'=1因为两切线垂直，则−1x1⋅1x2=−1，所以x1x2=1，此时C(0,1−ln由y=−1x1x+1−lnx1y=1x2x−1+lnx2又因为x2>1，x2由S<λ恒成立，则λ∈[1,+∞).则故答案为：1.

【分析】先根据已知条件求出x1x2的值，从而得到|CD|的值，再求出xH=2x2+15．【答案】（1）解：由正弦定理和二倍角公式得sinA因为A , B∈(0 , π)，所以sinA>0，sinB>0，

​​​​​​​故cosA=（2）解：由2AB⋅AC=15，得由余弦定理得a2所以(b+c)2=a所以△ ABC周长为a+b+c=15.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角的方法和二倍角的正弦公式化简，再结合三角形中角A和角B的取值范围和三角函数值在各象限的符号，从而得出角A的余弦值，进而得出角A的值.（2）由2AB⋅AC=15和数量积的定义得出bc的值，再结合余弦定理得出（1）由正弦定理及二倍角公式得sinA因为A , B∈(0 , π)，所以sinA>0，sinB>0，故所以A=π（2）由2AB⋅AC=15，得由余弦定理得a2所以(b+c)2=a所以△ ABC周长为a+b+c=15.16．【答案】（1）解：由题意知，抛物线C焦点F坐标为(1,0)，直线l的方程为x=y+1，联立y2=4xx=y+1，则y2−4y−4=0，

所以AB=（2）解：设直线AB的方程为x=my+1，Ax1,联立y2=4xx=my+1，y2−4my−4=0，

所以y则直线AD方程为y=y1x1x，

所以y2=y（3）解：由题意知，O(0,0)，F(1,0)，B(x2,y2)，D(−1,y2)，

不妨设A在第一象限，因为O，F，B，D四点共圆，直线DB平行x轴，x2−12=12，即x2=2，所以B(2,−22)，

则【解析】【分析】（1）先将直线方程与抛物线方程联立，再根据韦达定理和弦长公式计算出AB的值.

（2）先求出B、D两点坐标，再将直线OA与准线方程联立求出点D坐标，再结合直线AB与抛物线方程求出点B的坐标.

（3）若O，F，B，D四点共圆，则根据圆内接四边形的性质求出相关关系，从而求出圆的半径.（1）由题意知，抛物线C焦点F坐标为(1,0)，直线l的方程为x=y+1，联立y2=4xx=y+1，则y2−4y−4=0所以AB=（2）设直线AB的方程为x=my+1，Ax1,联立y2=4xx=my+1，y2−4my−4=0，所以y直线AD方程为y=y1x1x所以y2=y（3）由题意知，O(0,0)，F(1,0)，B(x2,y2因为O，F，B，D四点共圆，直线DB平行x轴，故可设圆心坐标为(12,b)x2−12=1R2解得b2=258，故17．【答案】（1）证明：取BD中点为M，连结EM，C1M，、

由E为AD的中点得EM//AB，在四棱台中，由已知条件得D1C1//AB，D1C1所以四边形EMC1D又因为MC1⊂平面BDC1所以ED1 //（2）证明：（i）因为ED1:D1所以ED⊥D1D又因为AD⊥DC，D1D∩DC=D，DC,D所以AD⊥平面DCC由AD⊂平面ABCD，故平面DCC1D解：（ii）过D点作直线DZ⊥平面ABCD，

以D为坐标原点建立如图坐标系D−xyz，

不妨设A1B1因为平面DCC1D1⊥平面ABCD且侧面DC则D1(0,1,22所以DD1=(0,1,2设平面ADD1A则由DD1⋅令z=1，得平面ADD1A同理，得平面BDC1的一个法向量为设平面BDC1和平面ADD1A1的夹角为所以平面BDC1和平面ADD【解析】【分析】（1）取BD中点为M，先证出四边形EMC1D1为平行四边形，从而得出ED（2）（i）由勾股定理可得ED⊥D1D，即AD⊥D1D，再利用AD⊥DC证出AD⊥平面DCC1D1，由面面垂直的判断定理证出平面DCC1D1⊥平面ABCD.

（ii）过点D作直线DZ⊥（1）取BD中点为M，连结EM，C1M，由E为AD的中点得EM//AB，在四棱台中，由已知得D1C1//AB，D1所以四边形EMC1D又MC1⊂平面BDC1所以ED1 //（2）（i）因为ED1:所以ED⊥D1D又AD⊥DC，D1D∩DC=D，DC,D所以AD⊥平面DCC由AD⊂平面ABCD，故平面DCC1D（ii）过D点作直线DZ⊥平面ABCD，以D为坐标原点建立如图坐标系D−xyz，不妨设A1B1因为平面DCC1D1⊥平面ABCD则D1(0,1,22所以DD1=(0,1,2设平面ADD1A则由DD1⋅令z=1，得平面ADD1A同理，得平面BDC1的一个法向量为设平面BDC1和平面ADD1A所以平面BDC1和平面ADD18．【答案】（1）解：当a=0时，f(x)=2ex−2x则f'(x)=2ex−2，

当x<0时，f'(x)<0，当x>0时，f'(x)>0，所以f(x)有极小值，无极大值，极小值为f(0)=2.（2）解：f'①当a≤−2时，a+2≤0，(a+2)e当x∈−∞,0时，ex<1当x∈0,+∞时，ex>1，②当−2<a<−1时，a+2>0，aa+2<−1，则f'当x∈(−∞,0)时，ex−1<0，ex+当x∈(0,ln−aa+2)时，ex−1>0，当x∈(ln(−aa+2),+∞)时，ex③当a=−1时，f'(x)=(ex④当−1<a<0时，a+2>0，−1<aa+2<0当x∈(−∞,ln(−aa+2))时，ex当x∈(ln(−aa+2),0)时，ex−1<0，当x∈(0,+∞)时，ex−1>0，ex+⑤当a≥0时，(a+2)e当x∈−∞,0时，ex<1当x∈0,+∞时，ex>1，【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，在结合求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数f(x)的极值.（2）先求出f'(x)，分a≤−2、−2<a<−1、a=−1、−1<a<0和a≥0五种情况讨论，再结合导数判断函数的单调性的方法，从而讨论出函数（1）a=0时，f(x)=2ex−2xf'(x)=2ex−2当x<0时，f'(x)<0，当x>0时，f'(x)>0，所以f(x)有极小值，无极大值，极小值为f(0)=2；（2）f'①当a≤−2时，a+2≤0，(a+2)e当x∈−∞,0时，ex<1当x∈0,+∞时，ex>1，②当−2<a<−1时，a+2>0，aa+2<−1，f'x∈(−∞,0)时，ex−1<0，exx∈(0,ln−aa+2)时，ex−1>0x∈(ln(−aa+2),+∞)时，e③当a=−1时，f'(x)=(ex④当−1<a<0时，a+2>0，−1<aa+2<0x∈(−∞,ln(−aa+2))时，ex∈(ln(−aa+2),0)时，ex−1<0x∈(0,+∞)时，ex−1>0，ex⑤当a≥0时，(a+2)ex∈−∞,0时，ex<1x∈0,+∞时，