广东省广州市四校2025-2026学年高二数学上学期期末联考试题理资料

广东省广州市四校2025-2026学年高二数学上学期期末联考试题理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．考生必须保持答题卡的整洁．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分,满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合，，则(). （A） （B） （C） （D）（2）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是().OAMNBC OAMNBC （C）按学段分层抽样 （D）系统抽样（3）如图，在三棱锥中，，点在上，且，为中点，则(). （A） （B） （C） （D）（4）把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为(). （A） （B） （C） （D）（5）已知等差数列前项的和为，，则(). （A） （B） （C） （D）（6）设平面向量,,若,则().（A） （B） （C） （D）（7）与双曲线有共同的渐近线，且焦点在轴上的双曲线的离心率为(). （A） （B） （C）或 （D）正视图侧视图俯视图11正视图侧视图俯视图1122222 （A） （B） （C） （D）（9）在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安，至齐.齐去长安三千里，良马初日行一百零三里，日增一十三里：驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？().（A）日 （B）日 （C）日 （D）日（10）下列选项中，说法错误的是().（A）如果命题“”与命题“”都是真命题，那么命题一定是真命题（B）R，使得函数是幂函数，且在上单调递减（C）设与是两个非零向量，则“”是“与共线”的充分不必要条件（D）“”是“”的必要不充分条件（11）已知函数，若不等式对任意上恒成立,则实数的取值范围是().（A） （B） （C） （D）（12）已知抛物线的焦点为，、为抛物线上两点，若，为坐标原点，则的面积为(). （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.（13）某电子商务公司对10000名网络购物者2025年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示则直方图中的．（14）设函数则．（15）若，满足约束条件则的最大值为．（16）在△中，,,分别为内角,,的对边，，，则△的面积的最大值为．解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分10分)甲乙97580590甲乙9758059052x75（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率.(18)(本小题满分12分)设函数.（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）在△中，,,分别为内角,,的对边,,,,求△的面积.(19)(本小题满分12分)四棱锥中，底面，且，，，点是侧棱的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（=3\*ROMANⅢ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.APBCDQ(20)(本小题满分12分)等比数列的各项均为正数，且，，数列的前项和为，且(). （Ⅰ）求数列和的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和.(21)(本小题满分12分)已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为，抛物线与椭圆有公共焦点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过作两条相互垂直的直线,,其中直线交椭圆于,两点，直线交抛物线于,两点,求四边形面积的最小值.(22)(本小题满分12分)已知函数，．（Ⅰ）当时，求在上的值域；（Ⅱ）求函数的单调区间；（=3\*ROMANⅢ）用表示，中的最小值，设函数（），求零点的个数．

理科数学一、选择题题号123456789101112答案DCBACBBDBBCC二、填空题13．；14．；15．；16．．三、解答题(17)(本小题满分10分)解：（Ⅰ）乙的平均分……………1分则甲的平均分……………2分解得……………3分（Ⅱ）记甲被抽到的成绩为，乙被抽到成绩为，用数对表示基本事件：基本事件总数……………6分记“甲的成绩比乙高”为事件,……………7分事件包含的基本事件：事件包含的基本事件数，……………8分所以……………9分所以甲的成绩比乙高的概率为.……………10分(18)(本小题满分12分)解：（Ⅰ）∵……………3分……………4分由，Z知，Z……………5分所以的单调递减区间为（Z）……………6分（Ⅱ）即又，所以，故，从而……………8分由余弦定理，得……………9分又，所以……………10分APBCDQEl图1APBCDQEl图1xzy(19)本小题满分12分证：（Ⅰ）如图1，取的中点，连、.为中点，则为的中位线，∴且.且，∴且，∴四边形为平行四边形，则.∵平面，平面，∴平面.……………3分（Ⅱ）∵底面，∴.∵，，∴平面.∵平面，∴.∵，为中点，∴.∵，∴平面.∵，∴平面.∵平面，∴平面平面.……………7分(Ⅲ)解法一：设平面平面.∵平面，平面，∴.∵平面，∴平面，∴.故就是平面与平面所成锐二面角的平面角.……………10分∵平面，∴.设，则，，故.……………11分∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.……………12分解法二：如图1建立直角坐标系，设，则,，则，.设平面的法向量为，则由，取.……………9分由平面，，知平面，∴平面的法向量为.……………10分设所求锐二面角的大小为，则.……………11分APBCDQF图2APBCDQF图2另法：（Ⅰ）如图2，取的中点，连、.易证平面平面（略），由平面，得平面.（Ⅱ）通过计算证明（略），由为中点，得.再通过计算，利用勾股定理逆定理证明（略）.于是，有平面，进而证得平面平面.(Ⅲ)由平面平面知，平面与平面所成锐二面角的平面角为所求.（略）(20)本小题满分12分解：（Ⅰ）设数列的公比为，由得所以．由条件可知，故．……………1分由得，所以．……………2分故数列的通项式为．……………3分当时，解得……………4分故当时，……………6分经检验知，也适用于所以……………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得．……………8分∴,①,②……………9分①－②得:……………10分．……………11分∴．……………12分本小题满分12分解：（Ⅰ）由题意知抛物线的焦点坐标为……………1分故设椭圆的标准方程为又，，所以.从而……………3分∴椭圆的标准方程为.……………4分（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，直线的斜率为0，易得，，四边形的面积.……………5分②当直线的斜率存在时，设其方程为，联立得，……………6分设，则，∴，……………7分∵，∴直线的方程为，联立得，，……………8分设，，∴，……………9分∴四边形的面积，……………10分令，∴.……………11分综上，，即四边形面积的最小值为.……………12分本小题满分12分解：（Ⅰ）当时，若，函数的值域为若，函数的值域为所以在上的值域为……………2分（Ⅱ）①当时，函数的对称轴为，若，即，函数在上单调递增；若，即，函数在上单调递增，在上单调递减．②当时，函数的对称轴为，则函数在上单调递增，在上单调递减．综上所述，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数单调递增区间为和,单调递减区间为和．……………6分（=3\*ROMANIII）（=1\*romani）当时，，所以即在上不存在零点；……………7分（=2\*romanii）当时，，若即时，1是的零点若即时，1不是的零点……8分（=3\*romaniii）当时