第04讲实践与探索

思维导图第04讲实践与探索思维导图1.审题：审清题意，明确已知和未知，找到它们之间的等量关系。等量关系往往体现在关键词句中。2.设未知数：设未知数，一种是直接设元法，另一种是间接设元法。有单位的要带单位。3.列方程：用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程。方程两边单位要统一。4.解方程：根据方程的特点，选择适当的解法求出未知数的值。一般不必写出解方程的过程。5.检验：检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义。一般两个根中只有一个符合实际意义。6.作答：写出实际问题的答案。注意带上单位且语句完整。1.几何图形面积问题：涉及的常见计算有三角形的三边关系、勾股定理、各种规则图形的面积或周长等。2.平均增长率（降低率）问题：需要掌握平均增长率公式和平均降低率公式。3.商品销售问题：需要理解利润、售价、进价、利润率等概念，以及它们之间的关系，如利润等于售价减进价，利润率等于利润除以进价，总利润等于总售价减总成本或单件利润乘总销量。4.数字问题：涉及两位数和三位数的表示方法，以及数字之间的运算关系。5.传播问题、循环问题、存款利息问题等：这些问题也需要根据题意找出等量关系，并列出一元二次方程进行求解。教材习题01有一个人患了某种传染病，经过两轮传染后共有81人患病．(1)每轮平均1个人会感染几人？(2)若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？（1）解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，答：每轮传染中平均一个人传染8个人．（2）患病的人数会超过700人．答：患病的人数会超过700人教材习题02(1)求每月盈利的平均增长率；(2)按照这个增长率，请你预计这家奶茶店今年十一月的利润将达到多少元．（1）解：设每月盈利的平均增长率为，教材习题03(1)求围栏的长和宽；围栏的宽为米，长为：米教材习题04一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，求这个两位数．答：这个两位数是81．教材习题05第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚．(1)求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率；(2)从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？（1）解：设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x，答：当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元．考点一、一元二次方程的应用——传播问题1．2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有3人被感染，经过两轮传播后就有192人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的人数为（

）A．5人 B．6人 C．7人 D．8人【答案】C【详解】解：设每个人传染人，根据题意列方程得，故选：C．2．若有一个人患了某传染病，经过两轮传染后共有25个人患了该传染病，则每轮传染中平均一个人传染了人．【答案】4【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，先设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据一共有25人被传染得出方程，求出解即可.【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据题意，得所以每轮传染中平均一个人传染4个人.故答案为：4.3．春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了个人(2)经过三轮传染后共有人会患流感【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．（1）设每轮传染中平均一个人传染个人，根据经过两轮传染后共有人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据经过三轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意得：每轮传染中平均一个人传染了个人；答：经过三轮传染后共有人会患流感．考点二、一元二次方程的应用——循环问题1．2024年法国巴黎奥运会，男子篮球比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，一共进行66场比赛，则参加比赛的队伍共有（

）A．10支 B．11支 C．12支 D．8支【答案】C【详解】解；设参加比赛的队伍共有x支，∴参加比赛的队伍共有12支，故选：C．2．某地进行“迎国庆振兴杯”篮球邀请赛，赛制为单循环（每两队之间赛一场），若计划安排21场比赛，则邀请个球队参赛．【答案】7【详解】解：设应邀请个球队参加比赛，答：应邀请7个球队参加比赛．故答案为：7．3．象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下：(1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局；(2)求这次比赛共有多少个选手参加？(2)45个【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键：（1）根据题意，列出代数式即可；（2）根据每局比赛必得2分，以及所获总分，列出一元二次方程，进行求解即可．答：这次比赛共有45个选手参加．考点三、一元二次方程的应用——数字问题1．已知两个相邻的偶数之积为，若设较小的偶数为，则可列方程为（

）【答案】D故选：D．2．已知一个数x与比它大2的数的积等于35．请根据题意，列出关于x的方程．【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据“一个数x与比它大2的数的积等于35”，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．3．一个两位数，十位数与个位数字之和是3，把这个数的个位数与十位数字对调后，得到的新两位数与原来的两位数的乘积为252，求原来的两位数．【答案】原来的两位数是12或21依题意得：原来的两位数是12或21，答：原来的两位数是12或21．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际运用，读懂题意，正确列出一元二次方程是解题的关键．考点四、一元二次方程的应用——增长率问题【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理清题意，正确列出一元二次方程是解答本题的关键．【详解】解：解：设全国旅游收入日平均增长率为，由题意得：故选：D．2．目前机器人进入服务行业已经成为产业新风口．某市在2023年服务行业引进机器人2万台，计划2025年全市服务行业引进机器人3.92万台．设这两年全市机器人台数年平均增长率为，则值为．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这两年全市机器人台数年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．【详解】解：设这两年全市机器人台数年平均增长率为，故答案为：．3．某商场在五一期间将单价400元的某种商品经过两次降价后，以324元的价格出售．(1)求平均每次降价的百分率；(2)售货员的方案对顾客更优惠，理由见解析【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．（1）设平均每次降价的百分率为，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，求解即可；（2）根据题意直接计算可得出答案．【详解】（1）解：设平均每次降价的百分率为，（2）解：售货员的方案对顾客更优惠，理由如下：∴售货员的方案对顾客更优惠．考点五、一元二次方程的应用——图形问题A．或 B． C．或 D．【答案】B∴长为，故选：B．(1)所有路的总面积为___________（用含的代数式表示）；(2)求的值．【分析】本题主要考查一元二次方程与图形面积，因式分解法解一元二次方程，掌握以上知识是关键．考点六、一元二次方程的应用——销售问题1．“双减”政策倡导学生合理使用电子产品，控制使用时长，防止网络沉迷．某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？【答案】该商店需要将每台学习机售价定为1300元【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每台学习机售价为x元，利用商店每天销售该品牌学习机获得的利润等于每台的销售利润乘以日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．∵减少库存，答：该商店需要将每台学习机售价定为1300元．(1)设涨价x元，则每天的销售量为______斤；(2)请你利用所学知识帮助王先生给该红橙定价，使王先生每天的销售利润为800元．(2)售价定为6元每斤，每天的销售利润为800元【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，解题的关键是理清题中的数量关系正确列式．（1）根据每天的销售量为原来销售量500斤减去涨价导致减少的销售量即可；（2）根据利润（定价进价）销售量，列出方程求解即可．∴红橙售价定为6元每斤，每天的销售利润为800元．3．某服装厂生产一批服装，2022年该类服装的出厂价是200元/件，2023年、2024年连续两年改进技术，降低成本，2024年该类服装的出厂价调整为128元/件．(1)这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．(2)2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以166元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低2元，每天可多售出4件，如果每天盈利1144元，为了尽快减少库存，单价应降低多少元？【答案】(1)平均下降率为(2)单价应降低元【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键：（2）设单价应降低元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可．【详解】（1）解：设平均下降率为，由题意，得：答：平均下降率为．∵要尽快减少库存，答：单价应降低元．考点七、一元二次方程的应用——几何动点问题【答案】不能，理由见详解【分析】本题主要考查了利用一元二次方程解决实际问题，解题的关键是根据题意找准等量关系并判断自变量的取值范围．根据题目要求假设出时间来，根据面积的间接求法列出等量关系，求解并进行判断取值即可．【详解】解：不能，理由如下：假设运动时间为，根据题意得，∴不存在这样的点，(2)【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用．（1）根据路程速度时间，即可求解；【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，根据题意表示出，即可求解；（4）根据题意，分四种情况讨论，找到等量关系，建立方程，即可求解．∵在上的速度为每秒1个单位，∵在上的速度变为每秒个单位，（2）解：如图所示，当落在上时，∵动点从点出发，以每秒1个单位的速度向终点运动，如图，当在上时，延长交于点，延长交于点，【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，解一元二次方程，分类讨论是解题的关键．知识导图记忆【答案】B【详解】解：设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，故选：B．【答案】A【详解】解：设该草坪的长和宽各增加，根据题意得故选：A．【答案】D故选：D．4．随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，该公司2021年缴税40万，2023年缴税48.4万，该公司这两年缴税的年平均增长率是（

）【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．【详解】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是，故选：A．【答案】C故选：C．【详解】设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，7．学校组织篮球赛，参赛的每两队之间都要比赛一场．赛程计划安排4天，每天安排9场比赛，问共有多少个队参赛？设共有个队参赛，根据题意可列出方程为．【分析】本题考查了一元二次方程的应用（其他问题），根据题意正确列出方程是解题的关键．【详解】解：设共有个队参赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，一共有个队参赛，队队比赛和队与队比赛是同一场，每两个队的比赛都被重复计算了一次，共进行比赛场，【答案】1【详解】解：由题意，设这个数为，故选：1．9．要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为．【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．设共有x个队参加比赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程．已知共比赛90场，【答案】【分析】本题考查了解二元二次方程组.无解；综上所述，的长为．故答案为：.11．宝鸡辣椒身条细长、皱纹均匀、肉质丰厚、色泽红亮、辣味佳美，在国内外市场，被誉为“椒中之王”．某辣椒种植基地2022年的单位面积产椒量为50千克，因为改进了种植技术，单位面积产椒量逐年增加，到2024年该基地的单位面积产椒量达到了72千克．请你计算该基地这两年单位面积产椒量的年平均增长率．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该基地这两年单位面积产椒量的年平均增长率为，根据题意列出方程即可求解．【详解】解：设该基地这两年单位面积产椒量的年平均增长率为，答：该基地这两年单位面积产椒量的年平均增长率为．(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；(2)按照（1）中收到的捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？【答案】(1)捐款增长率为【详解】（1）设捐款增长率为x，根据题