第06讲直线与圆的位置关系(原卷版)

第06讲直线与圆的位置关系题型梳理题型梳理易错分析易错点一求圆的切线方程考虑不全致误题型方法题型一直线与圆位置关系的判断与应用题型二直线与圆相切的有关问题题型三直线与圆相交的有关问题题型四直线与圆的方程的应用知识清单知识清单知识点01直线与圆的位置关系1.设直线l和圆M的方程分别为Ax+By+C=0，x2+y2+Dx+Ey+F=0.如果直线l与圆M有公共点，那么公共点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个方程有公共解，那么以公共解为坐标的点必是直线l与圆M的公共点.2.直线l与圆M的方程联立，得方程组Ax+By+C=0，x方程组解的情况无解仅有一组解有两组不同的解直线与圆公共点的情况没有公共点有且只有一个公共点有两个公共点直线与圆的位置关系相离相切相交知识点02直线与圆的位置关系的判断1.代数法：通过联立直线与圆的方程组成方程组，根据方程组解的组数来判断，若有两组不同的实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离.2.几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离.3.定点法：若直线恒过定点且定点在圆内，则直线与圆相交.该法有一定的局限性，若定点在圆上或在圆外，则需利用代数法或几何法进行讨论.知识点03倾过点P(x0，y0)的圆的切线方程的求法1.过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程的求法(1)直接法：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为1k(k≠0)，由直线的点斜式方程可得切线方程为yy0=1k(xx0).如果切点与圆心连线的斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程为x=x0或y=y(2)待定系数法：设切线方程为yy0=k(xx0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，即得切线方程.注意此时切点与圆心的纵坐标不相等.注：过圆上一点的切线仅有一条，可熟记下列结论：①若点P(x0，y0)在圆x2+y2=r2(r>0)上，则过点P的切线方程为x0x+y0y=r2；②若点P(x0，y0)在圆(xa)2+(yb)2=r2(r>0)上，则过点P的切线方程为(x0a)·(xa)+(y0b)(yb)=r2；③若点P(x0，y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E24F>0)上，则过点P的切线方程为x0x+y0y+D·x0+x22.过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程的求法通常用待定系数法，其求法同1中的待定系数法.当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x=x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条.一般不用联立方程的方法求解k.知识点04切线长的求法过圆外一点P，可作圆的两条切线，我们把点P与切点所连线段的长称为切线长.切线长可由勾股定理来计算.如图，从圆外一点P(x0，y0)作圆(xa)2+(yb)2=r2(r>0)的切线，则切线长为(x知识点05弦长与中点弦问题1.直线与圆相交时弦长的两种求法(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为AB的长，则有AB22+d2=r2，则AB=2图1

 图2(2)代数法：如图2所示，设直线l与圆的两个交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线与圆的方程联立，消元，结合根与系数的关系，得AB=(x1−x2)2+(y1−y2(直线l的斜率k存在且不为0).2.中点弦问题若线段AB是圆C(a，b)的弦，D是弦AB的中点，则①AB⊥CD，若斜率kAB，kCD都存在，则kAB·kCD=1；②点差法：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，则x0=x1+x22，y0=y1+y22，将A，B坐标分别代入圆C知识点06与圆有关的最值问题利用圆的方程解决最大(小)值问题的方法由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题，常涉及的有：①关于x，y的一次分式形式常转化为直线的斜率；②关于x，y的一次式常转化为直线的截距；③关于x，y的二次式常转化为两点间的距离等.(2)将待求式转化成函数解析式，利用函数的性质解决.(3)利用三角代换，若点P(x，y)在圆(xa)2+(yb)2=r2(r>0)上，则设x=a+rcos(θ为参数)，代入目标函数，利用三角函数知识求最大(小)值.易错分析易错分析【易错点一】求圆的切线方程考虑不全致误(1)求圆的方程；题型方法题型方法【题型一】直线与圆位置关系的判断与应用A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定解题技巧直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断(2)求过A、B、C三点的圆的方程．【题型二】直线与圆相切的有关问题A．点在圆上 B．点在圆外C．点在圆内 D．不能确定解题技巧求过某一点的圆的切线方程(1)点(x0，y0)在圆上．①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－eq\f(1,k)，由点斜式可得切线方程．②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.(2)点(x0，y0)在圆外．①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况．③过圆外一点的切线有两条．(1)求圆的标准方程；【题型三】直线与圆相交的有关问题A．0 B．1 C．2 D．3解题技巧(1)求直线与圆的弦长的三种方法：代数法、几何法及弦长公式．(2)利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况．(1)过点圆作切线，切点为，求线段的长度；(2)过点作一条斜率为的直线与圆交于，两点，求线段的长度；(3)点为圆上一点，求线段长度的最大值.【题型四】直线与圆的方程的应用

(1)在西辅道上与建筑物底面中心O距离4米处的游客，是否