2015年高考数学模拟题冲刺-答案

目录TOC\o"13"\h\z\u一、选择题的解法 错误!未找到引用源。没有考虑均匀分组：Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)·Aeq\o\al(3,4)＝288.正解把4个球分成3组，每组至少1个，即分的小球个数分别为2,1,1的3组，有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))种．最后将三组球放入4个盒中的3个，有分配方法数Aeq\o\al(3,4)种，因此，放法共有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))×Aeq\o\al(3,4)＝144(种)．答案1441．在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是()A．众数 B．平均数C．中位数 D．标准差答案D解析对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差，众数、中位数、平均数都发生改变．2．(2014·湖北)根据如下样本数据x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则()A.eq\o(a,\s\up6(^))>0，eq\o(b,\s\up6(^))B.eqB.eq\o(a,\s\up6(^))>0，eq\o(b,\s\up6(^))<0C.eq\o(a,\s\up6(^))<0，eq\o(b,\s\up6(^))D.eqD.eq\o(a,\s\up6(^))<0，eq\o(b,\s\up6(^))<0答案B解析作出散点图如下：观察图象可知，回归直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率eq\o(b,\s\up6(^))<0，当x＝0时，eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))>0.故eq\o(a,\s\up6(^))>0，eq\o(b,\s\up6(^))<0.3．(2014·湖北)由不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y≥0，,y－x－2≤0))确定的平面区域记为Ω1，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1，,x＋y≥－2))确定的平面区域为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,4) D.eq\f(7,8)

答案D解析如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD，易知C(－eq\f(1,2)，eq\f(3,2))，故由几何概型的概率公式，得所求概率P＝eq\f(S四边形OACD,S△OAB)＝eq\f(2－\f(1,4),2)＝eq\f(7,8).4．(2014·湖南)(eq\f(1,2)x－2y)5的展开式中x2y3的系数是()A．－20B．－5C．5D．20答案A解析(eq\f(1,2)x－2y)5展开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(eq\f(1,2)x)5－r·(－2y)r＝Ceq\o\al(r,5)·(eq\f(1,2))5－r·(－2)r·x5－r·yr.当r＝3时，Ceq\o\al(3,5)(eq\f(1,2))2·(－2)3＝－20.5.如图，矩形ABCD中，点E为边CD上任意一点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)答案C解析这是一道几何概型的概率问题，点Q取自△ABE内部的概率为eq\f(S△ABE,S矩形ABCD)＝eq\f(\f(1,2)·|AB|·|AD|,|AB|·|AD|)＝eq\f(1,2).故选C.6．(2014·福建)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．答案eq\f(2,e2)解析由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S＝2eq\i\in(0,1,)(e－ex)dx＝2(ex－ex)|eq\o\al(1,0)＝2[e－e－(0－1)]＝2.又该正方形面积为e2，故由几何概型的概率公式可得所求概率为eq\f(2,e2).7．(2014·江西)10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．答案eq\f(1,2)解析从10件产品中取4件，共有Ceq\o\al(4,10)种取法，取到1件次品的取法为Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(3,7)种，由古典概型概率计算公式得P＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(3,7),C\o\al(4,10))＝eq\f(3×35,210)＝eq\f(1,2).8．如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是eq\f(1,4)，则此长方体的体积是________．答案3解析设长方体的高为h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P＝eq\f(2＋4h,2h＋22h＋1)＝eq\f(1,4)，解得h＝3或h＝－eq\f(1,2)(舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3.9．已知某人投篮的命中率为eq\f(3,4)，则此人投篮4次，至少命中3次的概率是________．答案eq\f(189,256)解析该人投篮4次，命中3次的概率为P1＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＝eq\f(27,64)；该人投篮4次，命中4次的概率为P2＝Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))4＝eq\f(81,256)，故至少命中3次的概率是P＝eq\f(27,64)＋eq\f(81,256)＝eq\f(189,256).10．某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有1000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如图所示的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中车速不小于90km/h的约有________辆．(注：分析时车速均取整数)

高考专题训练概率与统计(解答题)1．(2014·保定调研)近年来，我国的高铁技术发展迅速，铁道部门计划在A、B两城之间开通高速列车，假设在试运行期间，每天8：00－9：00,9：00－10：00两个时段内各发一趟列车由A城到B城(两车发生情况互不影响)，A城发车时间及其概率如下表所示：发生时间8：108：308：509：109：309：50概率eq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(1,3)若甲、乙两位旅客打算从A城到B城，假设他们到达A城火车站侯车的时间分别是周六8：00和周日8：20.(只考虑候车时间，不考虑其他因素)(1)设乙侯车所需时间为随机变量X，求X的分布列和数学期望；(2)求甲、乙二人候车时间相等的概率．解(1)X的所有可能取值为10、30、50、70、90(分钟)，其概率分布列如下X1030507090Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,36)eq\f(1,12)eq\f(1,18)X的数学期望E(X)＝10×eq\f(1,2)＋30×eq\f(1,3)＋50×eq\f(1,36)＋70×eq\f(1,12)＋90×eq\f(1,18)＝eq\f(245,9)(分钟)．(2)甲、乙二人候车时间分别为10分钟、30分钟、50分钟的概率为P甲10＝eq\f(1,6)，P甲30＝eq\f(1,2)，P甲50＝eq\f(1,3)；P乙10＝eq\f(1,2)，P乙30＝eq\f(1,3)，P乙50＝eq\f(1,6)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,36).所以所求概率P＝eq\f(1,6)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,36)＝eq\f(28,108)＝eq\f(7,27)，即甲、乙二人候车时间相等的概率为eq\f(7,27).2．(2014·皖南八校联考)从正方体的各个表面上的12条面对角线中任取2条，设ξ为2条面对角线所成的角(用弧度制表示)，如当2条面对角线垂直时，ξ＝eq\f(π,2).(1)求概率P(ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．解(1)当ξ＝0时，即所选的2条面对角线平行，则P(ξ＝0)＝eq\f(6,C\o\al(2,12))＝eq\f(1,11).(2)ξ的可能取值为0，eq\f(π,3)，eq\f(π,2).则P(ξ＝0)＝eq\f(6,C\o\al(2,12))＝eq\f(1,11)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(π,3)))＝eq\f(48,C\o\al(2,12))＝eq\f(8,11)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(π,2)))＝eq\f(12,C\o\al(2,12))＝eq\f(2,11).ξ的分布列如下：ξ0eq\f(π,3)eq\f(π,2)Peq\f(1,11)eq\f(8,11)eq\f(2,11)E(ξ)＝0×eq\f(1,11)＋eq\f(π,3)×eq\f(8,11)＋eq\f(π,2)×eq\f(2,11)＝eq\f(π,3).3．(2014·广州调研)空气质量指数PM2.5(单位：μg/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重．PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：PM2.5日均浓度0～3535～7575～115115～150150～250>250空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染从甲城市2014年9月份的30天中随机抽取15天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如图所示．(1)试估计甲城市在2014年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数；(2)在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良的天数，求X的分布列及数学期望．解(1)由茎叶图可知，甲城市在2014年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数为5.所以可估计甲城市在2014年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10.(2)X的所有可能取值为0,1,2，因为P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,5)C\o\al(2,10),C\o\al(2,15))＝eq\f(3,7)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,10),C\o\al(2,15))＝eq\f(10,21)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(0,10),C\o\al(2,15))＝eq\f(2,21)，所以X的分布列为：X012Peq\f(3,7)eq\f(10,21)eq\f(2,21)数学期望E(X)＝0×eq\f(3,7)＋1×eq\f(10,21)＋2×eq\f(2,21)＝eq\f(2,3).4．(2014·浙江名校联考)甲、乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为eq\f(1,2).据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率；(2)设总决赛中获得门票总收入为X，求X的均值E(X)．解(1)依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列．设此数列为{an}，则易知a1＝40，an＝10n＋30，所以Sn＝eq\f(n10n＋70,2)＝300.解得n＝－12(舍去)或n＝5，所以总决赛共比赛了5场．则前4场比赛中，一支球队共赢了3场，且第5场比赛中，领先的球队获胜，其概率为Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(1,4).(2)随机变量X可取的值为S4，S5，S6，S7，即220,300,390,490.又P(X＝220)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(1,8)，P(X＝300)＝Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(1,4)，P(X＝390)＝Ceq\o\al(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5＝eq\f(5,16)，P(X＝490)＝Ceq\o\al(3,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))6＝eq\f(5,16)，所以X的分布列为X220300390490Peq\f(1,8)eq\f(1,4)eq\f(5,16)eq\f(5,16)所以X的均值E(X)＝377.5(万元)．5．自驾游从A地到B地有甲、乙两条线路，甲线路是A－C－D－B，乙线路是A－E－F－G－H－B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵车路段．假设这三条路段堵车与否相互独立．这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示．经调查发现，堵车概率x在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))上变化，y在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上变化．在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲路线的司机，得到表2数据．CD段EF段GH段堵车概率xyeq\f(1,4)平均堵车时间(单位：小时)a21堵车时间(单位：小时)频数[0,1]8(1,2]6(2,3]38(3,4]24(4,5]24(1)求CD段平均堵车时间a的值；(2)若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．

七、数列、不等式1．已知前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1n＝1,Sn－Sn－1n≥2)).由Sn求an时，易忽略n＝1的情况．[问题1]已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________.答案eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1,2n－1，n≥2))2．等差数列的有关概念及性质(1)等差数列的判断方法：定义法an＋1－an＝d(d为常数)或an＋1－an＝an－an－1(n≥2)．(2)等差数列的通项：an＝a1＋(n－1)d或an＝am＋(n－m)d.(3)等差数列的前n项和：Sn＝eq\f(na1＋an,2)，Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.(4)等差数列的性质①当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)·d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n项和Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋(a1－eq\f(d,2))n是关于n的二次函数且常数项为0.②若公差d>0，则为递增等差数列；若公差d<0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列．③当m＋n＝p＋q时，则有am＋an＝ap＋aq，特别地，当m＋n＝2p时，则有am＋an＝2ap.④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．[问题2]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝12，S20＝17，则S30为()A．15B．20C．25D．30答案A3．等比数列的有关概念及性质(1)等比数列的判断方法：定义法eq\f(an＋1,an)＝q(q为常数)，其中q≠0，an≠0或eq\f(an＋1,an)＝eq\f(an,an－1)(n≥2)．如一个等比数列{an}共有2n＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an＋1＝eq\f(5,6).(2)等比数列的通项：an＝a1qn－1或an＝amqn－m.(3)等比数列的前n项和：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).易错警示：由于等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q＝1和q≠1两种情形讨论求解．(4)等比中项：若a，A，b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项．值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为±eq\r(ab).如已知两个正数a，b(a≠b)的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为A>B.(5)等比数列的性质当m＋n＝p＋q时，则有am·an＝ap·aq，特别地，当m＋n＝2p时，则有am·an＝a2p.[问题3](1)在等比数列{an}中，a3＋a8＝124，a4a7＝－512，公比q是整数，则a10＝________.(2)各项均为正数的等比数列{an}中，若a5·a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________.答案(1)512(2)104．数列求和的方法(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式；(2)分组求和法；(3)倒序相加法；(4)错位相减法；(5)裂项法；如：eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)；eq\f(1,nn＋k)＝eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋k))).(6)并项法．数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法．[问题4]数列{an}满足an＋an＋1＝eq\f(1,2)(n∈N，n≥1)，若a2＝1，Sn是{an}的前n项和，则S21的值为________．答案eq\f(9,2)5．在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示．[问题5]不等式－3x2＋5x－2>0的解集为________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))6．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负．两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行．[问题6]已知a，b，c，d为正实数，且c>d，则“a>b”是“ac>bd”的________条件．答案充分不必要7．基本不等式：eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a，b>0)(1)推广：eq\r(\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))(a，b>0)．(2)用法：已知x，y都是正数，则①若积xy是定值p，则当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(p)；②若和x＋y是定值s，则当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)s2.易错警示：利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件．[问题7]已知a>0，b>0，a＋b＝1，则y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是________．答案98．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解．[问题8]设定点A(0,1)，动点P(x，y)的坐标满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≤x，))则|PA|的最小值是________．答案eq\f(\r(2),2)易错点1忽视对等比数列中公比的分类讨论致误例1设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则数列的公比q是________．错解－1找准失分点当q＝1时，符合要求．很多考生在做本题时都想当然地认为q≠1.正解①当q＝1时，S3＋S6＝9a1，S9＝9a1，∴S3＋S6＝S9成立．②当q≠1时，由S3＋S6＝S9得eq\f(a11－q3,1－q)＋eq\f(a11－q6,1－q)＝eq\f(a11－q9,1－q)∴q9－q6－q3＋1＝0，即(q3－1)(q6－1)＝0.∵q≠1，∴q3－1≠0，∴q6＝1，∴q＝－1.答案1或－1易错点2忽视分类讨论或讨论不当致误例2若等差数列{an}的首项a1＝21，公差d＝－4，求：Sk＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|ak|.错解由题意，知an＝21－4(n－1)＝25－4n，因此由an≥0，解得n≤eq\f(25,4)，即数列{an}的前6项大于0，从第7项开始，以后各项均小于0.|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|ak|＝(a1＋a2＋a3＋…＋a6)－(a7＋a8＋…＋ak)＝2(a1＋a2＋…＋a6)－(a1＋a2＋…＋a6＋a7＋a8＋…＋ak)＝2k2－23k＋132所以Sk＝2k2－23k＋132.找准失分点忽视了k≤6的情况，只给出了k≥7的情况．正解由题意，知an＝21－4(n－1)＝25－4n，因此由an≥0，解得n≤eq\f(25,4)，即数列{an}的前6项大于0，从第7项开始，以后各项均小于0.当k≤6时，Sk＝|a1|＋|a2|＋…＋|ak|＝a1＋a2＋…＋ak＝－2k2＋23k.当k≥7时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|ak|＝(a1＋a2＋a3＋…＋a6)－(a7＋a8＋…＋ak)＝2(a1＋a2＋…＋a6)－(a1＋a2＋…＋a6＋a7＋a8＋…＋ak)＝2k2－23k＋132，所以Sk＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2k2＋23kk≤6,2k2－23k＋132k≥7)).易错点3忽视等比数列中的隐含条件致误例3各项均为实数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S30＝70，则S40＝________.错解150或－200找准失分点数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30的公比q10>0.忽略了此隐含条件，就产生了增解－200.正解记b1＝S10，b2＝S20－S10，b3＝S30－S20，b4＝S40－S30，b1，b2，b3，b4是以公比为r＝q10>0的等比数列．∴b1＋b2＋b3＝10＋10r＋10r2＝S30＝70，∴r2＋r－6＝0，∴r＝2或r＝－3(舍去)，∴S40＝b1＋b2＋b3＋b4＝eq\f(101－24,1－2)＝150.答案150易错点4忽视基本不等式中等号成立的条件致误例4已知：a>0，b>0，a＋b＝1，求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))2的最小值．错解由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))2＝a2＋b2＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＋4≥2ab＋eq\f(2,ab)＋4≥4eq\r(ab·\f(1,ab))＋4＝8，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))2的最小值是8.找准失分点两次利用基本不等式，等号不能同时取到．正解eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))2＝a2＋b2＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＋4＝(a2＋b2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(1,b2)))＋4＝[(a＋b)2－2ab]＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))2－\f(2,ab)))＋4＝(1－2ab)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a2b2)))＋4由ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(1,4)，得1－2ab≥1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，且eq\f(1,a2b2)≥16,1＋eq\f(1,a2b2)≥17.∴原式≥eq\f(1,2)×17＋4＝eq\f(25,2)(当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时，等号成立)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))2的最小值是eq\f(25,2).1．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7等于()A．10 B．18C．20 D．28答案C解析因为a3＋a8＝10，所以由等差数列的性质，得a5＋a6＝10，所以3a5＋a7＝2a5＋2a6＝20，选C.2．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列不等式：①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b中，正确的不等式有()A．0个 B．1个C．2个 D．3个答案B解析由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，得a<0，b<0，故a＋b<0且ab>0，所以a＋b<ab，即①正确；由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))>eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))，两边同乘|ab|，得|b|>|a|，故②错误；由①②知|b|>|a|，a<0，b<0，所以a>b，即③错误，选B.3．已知，x>1，y>1，且eq\f(1,4)lnx，eq\f(1,4)，lny成等比数列，则xy有()A．最小值e B．最小值eq\r(e)C．最大值e D．最大值eq\r(e)答案A解析x>1，y>1，且eq\f(1,4)lnx，eq\f(1,4)，lny成等比数列，eq\f(1,4)lnx·lny＝(eq\f(1,4))2，即eq\f(1,4)＝lnx·lny≤(eq\f(lnx＋lny,2))2，lnx＋lny≥1，lnxy≥1，故xy≥e.4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于()A．3∶4 B．2∶3C．1∶2 D．1∶3答案A解析∵{an}是等比数列，∴S5，S10－S5，S15－S10也构成等比数列，记S5＝2k(k≠0)，则S10＝k，可得S10－S5＝－k，进而得S15－S10＝eq\f(1,2)k，于是S15＝eq\f(3,2)k，故S15∶S5＝eq\f(3,2)k∶2k＝3∶4.5．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为()A．195 B．197C．392 D．396答案C解析将三个括号作为一组，则由50＝16×3＋2，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数．又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列{2n－1}的第16×6＝96项，第50个括号的第一个数应为数列{2n－1}的第98项，即为2×98－1＝195，第二个数为2×99－1＝197，故第50个括号内各数之和为195＋197＝392.故选C.6．已知点A(m，n)在直线x＋2y－1＝0上，则2m＋4n的最小值为________．答案2eq\r(2)解析点A(m，n)在直线x＋2y－1＝0上，则m＋2n＝1；2m＋4n＝2m＋22n≥2eq\r(2m·22n)＝2eq\r(2m＋2n)＝2eq\r(2).7．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则eq\f(a＋b2,cd)的最小值是________．答案4解析由x，a，b，y成等差数列知a＋b＝x＋y，①由x，c，d，y成等比数列知cd＝xy，②把①②代入eq\f(a＋b2,cd)得eq\f(a＋b2,cd)＝eq\f(x＋y2,xy)＝eq\f(x2＋y2＋2xy,xy)≥4，∴eq\f(a＋b2,cd)的最小值为4.8．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\r(2),y≤2,x≤\r(2)y))给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(eq\r(2)，1)，则z＝eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))的最大值为________．答案4∴y＝－eq\r(2)x＋z，令l0：y＝－eq\r(2)x，将l0平移到过点(eq\r(2)，2)时，截距z有最大值，故zmax＝eq\r(2)×eq\r(2)＋2＝4.9．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－\f(a,2)x＋4x≤6，,ax－5x>6))(a>0，a≠1)．数列{an}满足an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是单调递增数列，则实数a的取值范围是________．答案(4,8)解析∵{an}是单调递增数列，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－\f(a,2)>0,a>1,4－\f(a,2)×6＋4<a2))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<8,a>1,a<－7或a>4))，∴4<a<8.10．已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足8Sn＝aeq\o\al(2,n)＋4an＋3，且a2是a1和a7的等比中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)符号[x]表示不超过实数x的最大整数，记bn＝[log2(eq\f(an＋3,4))]，求b1＋b2＋b3＋…＋b2n.

高考专题训练数列(解答题)1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，a4＝a1－9，a5，a3，a4成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：对任意k∈N*，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．解(1)设公比为q，在等比数列{an}中，a5，a3，a4成等差数列，∴2a3＝a5＋a4，即2a1q2＝a1q4＋a1q3，整理得：q2＋q－2＝0.解得q＝1，或q＝－2.又a4＝a1－9，即a1q3＝a1－9，当q＝1时，无解．当q＝－2时，解得a1＝1，∴等比数列{an}通项公式为an＝(－2)n－1(n∈N*)．(2)证明：∵Sn为等比数列{an}的前n项和，∴Sk＝eq\f(1·[1－－2k],1－－2)＝eq\f(1－－2k,3)，Sk＋1＝eq\f(1－－2k＋1,3)，Sk＋2＝eq\f(1－－2k＋2,3)，∵Sk＋1＋Sk＋2＝eq\f(1－－2k＋1,3)＋eq\f(1－－2k＋2,3)＝eq\f(2－－2k＋1－－2k＋2,3)＝eq\f(2－－2k＋1[1＋－2],3)＝eq\f(2＋－2k＋1,3)＝2·eq\f(1－－2k,3)＝2Sk，∴Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差数列．2．已知各项均不相等的等差数列{an}的前5项和为S5＝35，且a1＋1，a3＋1，a7＋1成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn为数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))的前n项和，问是否存在常数m，使Tn＝meq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n,n＋1)＋\f(n,2n＋2)))，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．解(1)设数列{an}的公差为d，由已知得a3＝a1＋2d＝7，又a1＋1，a3＋1，a7＋1成等比数列，∴82＝(8－2d)(8＋4d)，解得a1＝3，d＝2，∴an＝2n＋1.(2)由(1)得Sn＝n(n＋2)，eq\f(1,Sn)＝eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))，∴Tn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq\f(1,2)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,5)＋…＋eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n)－eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋2)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)－\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n,n＋1)＋\f(n,2n＋2)))，故存在常数m＝eq\f(1,2)，使Tn＝meq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n,n＋1)＋\f(n,2n＋2)))

3．(2014·温州十校联考)已知等差数列{an}的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；(2)若{bn}是首项为4，公比为eq\f(1,2)的等比数列，前n项和为Tn，求证：当t>6时，对任意n，m∈N*，Sn<Tm＋t恒成立．解(1)由a2＋a7＋a12＝－6得a7＝－2，∴a1＝4，∴an＝a1＋(n－1)d＝5－n，从而Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝eq\f(n9－n,2).(2)由等比数列求和公式得Tm＝eq\f(4\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))m)),1－\f(1,2))＝8eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))m))，Tm≥T1＝4.(或者：各项为正的等比数列T1＝4为最小值)又Sn＝eq\f(n9－n,2)＝－eq\f(1,2)(n2－9n)＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(9,2)))2－\f(81,4)))，故(Sn)max＝S4＝S5＝10，当t>6时，对任意n、m∈N*，Tm＋t>T1＋6>10≥Sn，∴当t>6时，Sn<Tm＋t恒成立．4．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋an＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝2(n∈N*)，设cn＝2nan.(1)求证：数列{cn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；(2)按以下规律构造数列{bn}，具体方法如下：b1＝c1，b2＝c2＋c3，b3＝c4＋c5＋c6＋c7，…，第n项bn由相应的{cn}中2n－1项的和组成，求数列{bn}的通项bn.解(1)证明：在Sn＋an＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝2①中，令n＝1，得S1＋a1＋1＝2，∴a1＝eq\f(1,2).当n≥2时，Sn－1＋an－1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－2＝2，②①－②得，an＋an－an－1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝0(n≥2)，∴2an－an－1＝eq\f(1,2n－1)，∴2nan－2n－1an－1＝1.又cn＝2nan，∴cn－cn－1＝1(n≥2)．又c1＝2a1＝1，∴数列{cn}是等差数列．于是cn＝1＋(n－1)×1＝n又∵cn＝2nan，∴an＝eq\f(n,2n).(2)由题意得bn＝c2n－1＋c2n－1＋1＋c2n－1＋2＋…＋c2n－1＝2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1)，而2n－1,2n－1＋1,2n－1＋2，…，2n－1是首项为2n－1，公差为1的等差数列，且共有2n－1项，∴bn＝eq\f([2n－1＋2n－1]×2n－1,2)＝eq\f(22n－2＋22n－1－2n－1,2)＝3×22n－3－2n－2

5．(2014·南京一模)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，S6＝22.(1)求Sn；(2)若从{an}中抽取一个公比为q的等比数列{akn}其中k1＝1，且k1<k2<…<kn<…，kn∈N*.①当q取最小值时，求{kn}的通项公式；②若关于n(n∈N*)的不等式6Sn>kn＋1有解，试求q的值．解(1)设等差数列的公差为d，则S6＝6a1＋eq\f(1,2)×6×5d＝22，解得d＝eq\f(2,3)，∴Sn＝eq\f(nn＋5,3).(2)①∵数列{an}是正项递增等差数列，∴数列{akn}的公比q>1，若k2＝2，则由a2＝eq\f(8,3)，得q＝eq\f(a2,a1)＝eq\f(4,3)，此时ak3＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2＝eq\f(32,9)，由eq\f(32,9)＝eq\f(2,3)(n＋2)，解得n＝eq\f(10,3)∉N*，∴k2>2，同理k2>3；若k2＝4，则由a4＝4，得q＝2，此时akn＝2×2n－1，另一方面，akn＝eq\f(2,3)(kn＋2)，∴eq\f(2,3)(kn＋2)＝2n，即kn＝3×2n－1－2，∴对任何正整数n，akn是数列{an}的第3×2n－1－2项．∴最小的公比q＝2.∴kn＝3×2n－1－2.②由akn＝eq\f(2kn＋4,3)＝2qn－1，得kn＝3qn－1－2，而q>1，所以当q>1且q∈N时，所有的kn＝3qn－1－2均为正整数，符合题意；当q>1且q∉N时，kn＝3qn－1－2∈N不全是正整数，不合题意．而6Sn>kn＋1有解，∴eq\f(2nn＋5＋2,3qn)>1有解，经检验，当q＝2，q＝3，q＝4时，n＝1都是eq\f(2nn＋5＋2,3qn)>1的解，符合题意；下面证当q≥5时，eq\f(2nn＋5＋2,3qn)>1无解，设bn＝eq\f(2nn＋5＋2,3qn)，则bn＋1－bn＝eq\f(2[1－qn2＋7－5qn＋7－q],3qn＋1)，∵eq\f(5q－7,2－2q)<0，∴f(n)＝2[(1－q)n2＋(7－5q)n＋7－q]在n∈N*上单调递减．∵f(1)<0，∴f(n)<0恒成立，∴bn＋1－bn<0，∴bn≤b1恒成立，又当q≥5时，b1<1，∴当q≥5时，6Sn>kn＋1无解．综上所述，q的值为2,3,4.版权所有：高考资源网(.)版权所有：高考资源网(.)

八、函数与导数1．求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根、被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))2．用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题．[问题2]已知f(cosx)＝sin2x，则f(x)＝________.答案1－x2(x∈[－1,1])3．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．[问题3]已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x<0，,lnx，x>0，))则feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))))＝________.答案eq\f(1,e)4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．[问题4]f(x)＝eq\f(lg1－x2,|x－2|－2)是________函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)．答案奇解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2>0，,|x－2|－2≠0))得定义域为(－1,0)∪(0,1)，f(x)＝eq\f(lg1－x2,－x－2－2)＝eq\f(lg1－x2,－x).∴f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数．

5．弄清函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．(2)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．(3)若奇函数f(x)的定义域中含有0，则必有f(0)＝0.故“f(0)＝0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件．[问题5]设f(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1－x)＋a))是奇函数，且在x＝0处有意义，则该函数为()A．(－∞，＋∞)上的减函数B．(－∞，＋∞)上的增函数C．(－1,1)上的减函数D．(－1,1)上的增函数答案D解析由题意可知f(0)＝0，即lg(2＋a)＝0，解得a＝－1，故f(x)＝lgeq\f(1＋x,1－x)，函数f(x)的定义域是(－1,1)，在此定义域内f(x)＝lgeq\f(1＋x,1－x)＝lg(1＋x)－lg(1－x)，函数y1＝lg(1＋x)是增函数，函数y2＝lg(1－x)是减函数，故f(x)＝y1－y2是增函数．选D.6．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接，或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．[问题6]函数f(x)＝eq\f(1,x)的减区间为________．答案(－∞，0)，(0，＋∞)7．求函数最值(值域)常用的方法：(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数．(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数．(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数．(4)导数法：适合于可导函数．(5)换元法(特别注意新元的范围)．(6)分离常数法：适合于一次分式．(7)有界函数法：适用于含有指数函数、对数函数或正、余弦函数的式子．无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域．[问题7]函数y＝eq\f(2x,2x＋1)(x≥0)的值域为________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析方法一∵x≥0，∴2x≥1，∴eq\f(y,1－y)≥1，解得eq\f(1,2)≤y<1.∴其值域为y∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).方法二y＝1－eq\f(1,2x＋1)，∵x≥0，∴0<eq\f(1,2x＋1)≤eq\f(1,2)，∴y∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).8．函数图象的几种常见变换(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移——“上加下减”．(2)翻折变换：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|)．(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；②函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称；③函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0(y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称．[问题8]函数y＝|log2|x－1||的递增区间是________．答案[0,1)，[2，＋∞)解析∵y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|log2x－1|x>1，,|log21－x|x<1，))作图可知正确答案为[0,1)，[2，＋∞)．9．有关函数周期的几种情况必须熟记：(1)f(x)＝f(x＋a)(a>0)，则f(x)的周期T＝a；(2)f(x＋a)＝eq\f(1,fx)(f(x)≠0)或f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的周期T＝2a.[问题9]对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x＋2)＝－eq\f(1,fx)，若当2<x<3时，f(x)＝x，则f(2012.5)＝________.答案－eq\f(2,5)10．二次函数问题(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合．二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系．(2)二次函数解析式的三种形式：①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(3)一元二次方程实根分布：先观察二次系数，Δ与0的关系，对称轴与区间关系及有穷区间端点函数值符号，再根据上述特征画出草图．尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形．[问题10]若关于x的方程ax2－x＋1＝0至少有一个正根，则a的范围为________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))11．(1)对数运算性质已知a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0.则loga(MN)＝logaM＋logaN，logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN，logaMn＝nlogaM，对数换底公式：logaN＝eq\f(logbN,logba).推论：logamNn＝eq\f(n,m)logaN；logab＝eq\f(1,logba).(2)指数函数与对数函数的图象与性质可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y＝ax的图象恒过定点(0,1)，对数函数y＝logax的图象恒过定点(1,0)．[问题11]函数y＝loga|x|的增区间为_________________．答案当a>1时，(0，＋∞)；当0<a<1时，(－∞，0)12．幂函数形如y＝xα(α∈R)的函数为幂函数．(1)①若α＝1，则y＝x，图象是直线．②当α＝0时，y＝x0＝1(x≠0)图象是除点(0,1)外的直线．③当0<α<1时，图象过(0,0)与(1,1)两点，在第一象限内是上凸的．④当α>1时，在第一象限内，图象是下凸的．(2)增减性：①当α>0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是增函数，②当α<0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是减函数．[问题12]函数f(x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的零点个数为()A．0B．1C．2D．3答案B13．函数与方程(1)对于函数y＝f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．事实上，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根．(2)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间[a，b]内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时这个c就是方程f(x)＝0的根．反之不成立．[问题13]已知定义在R上的函数f(x)＝(x2－3x＋2)·g(x)＋3x－4，其中函数y＝g(x)的图象是一条连续曲线，则方程f(x)＝0在下面哪个范围内必有实数根()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)答案B解析f(x)＝(x－2)(x－1)g(x)＋3x－4，∴f(1)＝0＋3×1－4＝－1<0，f(2)＝2×3－4＝2>0.又函数y＝g(x)的图象是一条连续曲线，∴函数f(x)在区间(1,2)内有零点．因此方程f(x)＝0在(1,2)内必有实数根．14．求导数的方法①基本导数公式：c′＝0(c为常数)；(xm)′＝mxm－1(m∈Q)；(sinx)′＝cosx；(cosx)′＝－sinx；(ex)′＝ex；(ax)′＝axlna；(lnx)′＝eq\f(1,x)；(logax)′＝eq\f(1,xlna)(a>0且a≠1)．②导数的四则运算：(u±v)′＝u′±v′；(uv)′＝u′v＋uv′；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(u,v)))′＝eq\f(u′v－uv′,v2)(v≠0)．③复合函数的导数：yx′＝yu′·ux′.如求f(ax＋b)的导数，令u＝ax＋b，则(f(ax＋b))′＝f′(u)·a.[问题14]f(x)＝eq\f(ex,x)，则f′(x)＝________.答案eq\f(exx－1,x2)15．利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)>0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f′(x)<0，那么f(x)在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么f(x)在该区间内为常函数．注意：如果已知f(x)为减函数求字母取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0.增函数亦如此．[问题15]函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上是增函数，则a的取值范围是________．答案a≥eq\f(1,3)解析f(x)＝ax3－x2＋x－5的导数f′(x)＝3ax2－2x＋1.由f′(x)≥0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝4－12a≤0，))解得a≥eq\f(1,3).a＝eq\f(1,3)时，f′(x)＝(x－1)2≥0，且只有x＝1时，f′(x)＝0，∴a＝eq\f(1,3)符合题意．

16．导数为零的点并不一定是极值点例如：函数f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．[问题16]函数f(x)＝eq\f(1,4)x4－eq\f(1,3)x3的极值点是________．答案x＝117．定积分运用微积分基本定理求定积分ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx值的关键是用求导公式逆向求出f(x)的原函数，应熟练掌握以下几个公式：ʃeq\o\al(b,a)xndx＝eq\f(xn＋1,n＋1)|eq\o\al(b,a)，ʃeq\o\al(b,a)sinxdx＝－cosx|eq\o\al(b,a)，ʃeq\o\al(b,a)cosxdx＝sinx|eq\o\al(b,a)，ʃeq\o\al(b,a)eq\f(1,x)dx＝lnx|eq\o\al(b,a)(b>a>0)，ʃeq\o\al(b,a)axdx＝eq\f(ax,lna)|eq\o\al(b,a).[问题17]计算定积分ʃeq\o\al(1,－1)(x2＋sinx)dx＝________.答案eq\f(2,3)解析ʃeq\o\al(1,－1)(x2＋sinx)dx＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x3,3)－cosx))))eq\o\al(1,－1)＝eq\f(2,3).易错点1函数概念不清致误例1已知函数f(x2－3)＝lgeq\f(x2,x2－4)，求f(x)的定义域．错解由eq\f(x2,x2－4)>0，得x>2或x<－2.∴函数f(x)的定义域为{x|x>2或x<－2}．找准失分点错把lgeq\f(x2,x2－4)的定义域当成了f(x)的定义域．正解由f(x2－3)＝lgeq\f(x2,x2－4)，设x2－3＝t，则x2＝t＋3，因此f(t)＝lgeq\f(t＋3,t－1).∵eq\f(x2,x2－4)>0，即x2>4，∴t＋3>4，即t>1.∴f(x)的定义域为{x|x>1}．易错点2忽视函数的定义域致误例2判断函数f(x)＝(1＋x)eq\r(\f(1－x,1＋x))的奇偶性．错解因为f(x)＝(1＋x)eq\r(\f(1－x,1＋x))＝eq\r(\f(1－x,1＋x)1＋x2)＝eq\r(1－x2)，所以f(－x)＝eq\r(1－－x2)＝eq\r(1－x2)＝f(x)，所以f(x)＝(1＋x)eq\r(\f(1－x,1＋x))是偶函数．找准失分点对函数奇偶性定义理解不够全面，事实上对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，或f(－x)＝－f(x)．正解f(x)＝(1＋x)eq\r(\f(1－x,1＋x))有意义时必须满足eq\f(1－x,1＋x)≥0⇒－1<x≤1，即函数的定义域是{x|－1<x≤1}，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数．

易错点3混淆“切点”致误例3求过曲线y＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程．错解∵y′＝3x2－2，∴k＝y′|x＝1＝3×12－2＝1，∴切线方程为y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.找准失分点错把(1，－1)当切点．正解设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为y′|＝3x20－2.∴切线方程为y－y0＝(3xeq\o\al(2,0)－2)(x－x0)，即y－(xeq\o\al(3,0)－2x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－2)(x－x0)．又知切线过点(1，－1)，把它代入上述方程，得－1－(xeq\o\al(3,0)－2x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－2)(1－x0)，整理，得(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1，或x0＝－eq\f(1,2).故所求切线方程为y－(1－2)＝(3－2)(x－1)，或y－(－eq\f(1,8)＋1)＝(eq\f(3,4)－2)(x＋eq\f(1,2))，即x－y－2＝0，或5x＋4y－1＝0.易错点4极值的概念不清致误例4已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则a＋b＝________.错解－7或0找准失分点x＝1是f(x)的极值点⇒f′(1)＝0；忽视了“f′(1)＝0x＝1是f(x)的极值点”的情况．正解f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由x＝1时，函数取得极值10，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′1＝3＋2a＋b＝0，①,f1＝1＋a＋b＋a2＝10，②))联立①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－11，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝3.))当a＝4，b＝－11时，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)在x＝1两侧的符号相反，符合题意．当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3(x－1)2在x＝1两侧的符号相同，所以a＝－3，b＝3不符合题意，舍去．综上可知a＝4，b＝－11，∴a＋b＝－7.答案－7易错点5错误利用定积分求面积例5求曲线y＝sinx与x轴在区间[0,2π]上所围部分的面积S.错解分两部分，在[0，π]上有ʃeq\o\al(π,0)sinxdx＝2，在[π，2π]上有ʃeq\o\al(2π,π)sinxdx＝－2，因此所求面积S为2＋(－2)＝0.找准失分点面积应为各部分的绝对值的代数和，也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积，而是面积的相反数．所以，不应该将两部分直接相加．正解S＝ʃeq\o\al(π,0)sinxdx＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ʃ\o\al(2π,π)sinxdx))＝2＋2＝4.答案41．(2014·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A．y＝eq\r(x＋1) B．y＝(x－1)2C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)答案A解析A项，函数y＝eq\r(x＋1)在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故正确；B项，函数y＝(x－1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故错误；C项，函数y＝2－x＝(eq\f(1,2))x在R上为减函数，故错误；D项，函数y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故错误．2．(2014·山东)函数f(x)＝eq\f(1,\r(log2x2－1))的定义域为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．(2，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[2，＋∞)答案C解析由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,log2x2>1，))解得x>2或0<x<eq\f(1,2).故选C.3．下列各式中错误的是()A．0.83>0.73 B．log0.50.4>log0.50.6C．0.75－0.1<0.750.1 D．lg1.6>lg1.4答案C解析构造相应函数，再利用函数的性质解决，对于A，构造幂函数y＝x3，为增函数，故A对；对于B、D，构造对数函数y＝log0.5x为减函数，y＝lgx为增函数，B、D都正确；对于C，构造指数函数y＝0.75x，为减函数，故C错．4．函数f(x)＝－eq\f(1,x)＋log2x的一个零点落在下列哪个区间()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)答案B解析根据函数的零点的存在性定理得f(1)f(2)<0.5．(2014·天津)函数f(x)＝logeq\f(1,2)(x2－4)的单调递增区间是()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)答案D解析因为y＝logeq\f(1,2)t在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．6．(2014·福建)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x>0，,cosx，x≤0，))则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞)答案D解析函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x>0，,cosx，x≤0))的图象如图所示，由图象知只有D正确．7.已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论正确的是()①f(x)<0恒成立；②(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0；③(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0；④f(eq\f(x1＋x2,2))>eq\f(fx1＋fx2,2)；⑤f(eq\f(x1＋x2,2))<eq\f(fx1＋fx2,2).A．①③ B．①③④C．②④ D．②⑤答案D解析由函数f(x)的导函数的图象可得，函数f(x)是减函数，且随着自变量的增大，导函数越来越大，即函数f(x)图象上的点向右运动时，该点的切线的斜率为负，且值越来越大，由此可作出函数f(x)的草图如图所示，由图示可得eq\f(fx2－fx1,x2－x1)<0且f(eq\f(x1＋x2,2))<eq\f(fx1＋fx2,2)，由此可得结论中仅②⑤正确，故应选D.8．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是________．答案(－2,2)解析因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．因为f(x)<0，f(2)＝0.所以f(|x|)<f(2)．又因为f(x)在(－∞，0]上是减函数，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以|x|<2，所以－2<x<2.9．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2xx>0，,3xx≤0))且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．答案(1，＋∞)10．(2014·江苏)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．答案(－eq\f(\r(2),2)，0)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m2－1<0，,m＋12＋mm＋1－1<0，))解得－eq\f(\r(2),2)<m<0.11．f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．答案6解析f(x)＝x3－2cx2＋c2x，f′(x)＝3x2－4cx＋c2，f′(2)＝0⇒c＝2或c＝6.若c＝2，f′(x)＝3x2－8x＋4，令f′(x)>0⇒x<eq\f(2,3)或x>2，f′(x)<0⇒eq\f(2,3)<x<2，故函数在(－∞，eq\f(2,3))及(2，＋∞)上单调递增，在(eq\f(2,3)，2)上单调递减，∴x＝2是极小值点，故c＝2不合题意，同样验证可知c＝6符合题意．12．已知函数f(x)＝ln(ax)(a≠0，a∈R)，g(x)＝eq\f(x－1,x).(1)当a＝1时，记φ(x)＝f(x)－eq\f(x＋1,x－1)，求函数φ(x)的单调区间；(2)若f(x)≥g(x)(x≥1)恒成立，求实数a的取值范围．解(1)当a＝1时，φ(x)＝f(x)－eq\f(x＋1,x－1)＝lnx－eq\f(x＋1,x－1)，则φ′(x)＝eq\f(1,x)＋eq\f(2,x－12)＝eq\f(x2＋1,xx－12).因为x>0且x≠1，所以φ′(x)>0.故函数φ(x)的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)．(2)因为ln(ax)≥eq\f(x－1,x)对x≥1恒成立，所以lna＋lnx≥eq\f(x－1,x)，即lna≥1－eq