两点分布在新高考Ⅰ卷中的应用讲义-高三数学一轮复习

两点分布在23到25年新高考1卷中的应用一.基本原理1.两点分布:对于只有两个可能结果的随机试验,用A表示"成功",A表示"失败",定义X如果PA=p,则PA=1X01P1p我们称X服从两点分布(twopointdistribution)或01分布.实际上,X为在一次试验中成功(事件A发生)的次数(0或1).像购买的彩券是否中奖,新生婴儿的性别,投篮是否命中等,都可以用两点分布来描述.2.已知随机变量Xi,i=1二.典例分析例1.计算二项分布的期望公式方法1.人教A版选择性必修第三册76页方法2.(利用两点分布)二项试验可以看成是一串独立重复的伯努利试验,而X是这n重伯努利试验中"成功"的总次数,令X则X=X1+⋯+X从而EX=例2.计算超几何分布的期望公式.方法1.人教A版选择性必修第三册79页方法2.(利用两点分布)我们可以将问题描述为:一个框里有M个相同的红球和N−M相同的绿球.现采用简单随机抽样从中抽取K个球,问其中正好有x个红球的概率是多少?此试验可以看成是一串重复但不独立的伯努利试验,而X是这串伯努利试验中"成功"(抽到红球)的总次数,令X则X=X1+⋯+Xn,且EXi=PXi=1=MN,i=1,⋯,n从而EX=EX1+⋯+EXn=KMN.例3.(2025年新高考1卷)一个箱子里有5个相同的球,分别以1~5标号,若每次取一颗,有放回地取三次,记至少取出一次的球的个数X,则数学期望EX=_____.解析:法一:依题意,X的可能取值为1、2、3,总的选取可能数为53=125,其中X=1:三次抽取同一球,选择球的编号有5种方式,故PX=1=5125=125,X=2:恰好两种不同球被取出(即一球出现两次,另一球出现一次),选取出现两次的球有5种方式,选取出现一次的球有4种方式,其中选取出现一次球的位置有3种可能,故事件X=2的可能情况有5×4×3=60种,故PX=2=60125=12故EXi=61125,所以EX=例4(2024年新高考1卷).甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为_____.解析:设甲在四轮游戏中的得分分别为X1,X2,对于任意一轮,甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等,其中使得甲得分的出牌组合有六种,从而甲在该轮得分的概率PXk=1=从而EX记pk如果甲得0分,则组合方式是唯一的:必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出2,4,6,8,所以p0如果甲得3分,则组合方式也是唯一的:必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出8,2,4,6,所以p3而X的所有可能取值是0,1,2,3,故p0所以p1+p2+112=1所以甲的总得分不小于2的概率为p2+p3=1三.习题演练1.某动物园观光车载有5位旅客自动物园门口出发,游览途中游客有4个车站可以下车.如到达一个车站没有游客下车就不停车.设每位游客在各个车站下车是等可能的,并设各位游客是否下车相互独立.随机变量Xi(1)求随机变量X3(2)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且PXi=Ei=1nXi=i=1n2.(2023年新高考1卷)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率；(2)求第i次投篮的人是甲的概率；(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且PXi=1=1−PXi=0=qi,i=1,2,⋯,n,则参考答案1.解析:(1)由已知可得任一游客在第3站不下车的概率为34因此5位游客都不在第3站下车的概率为34则在第3站有人下车的概率为1−所以PX所以X3X01P243781所以EX(2)由已知可得任一游客在第i站不下车的概率为34因此5位游客都不在第i站下车的概率为34则在第i站有人下车的概率为1−所以PX所以EX因为X=所以EX2.解析:(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai